አቢሲሳ እና ordinate ዘንግ ይባላሉ መጋጠሚያዎች ቬክተር. የቬክተር መጋጠሚያዎች በአብዛኛው በቅጹ ውስጥ ይገለጣሉ (x፣ y), እና ቬክተር ራሱ እንደ: = (x, y).
ለሁለት ገጽታ ችግሮች የቬክተር መጋጠሚያዎችን ለመወሰን ቀመር.
ባለ ሁለት ገጽታ ችግር በሚታወቅበት ቬክተር የነጥቦች መጋጠሚያዎች አ (x 1; y 1)እና ቢ(x 2 ; y 2 ) ሊሰላ ይችላል:
= (x 2 - x 1; y 2 - 1)
ለቦታ ችግሮች የቬክተር መጋጠሚያዎችን ለመወሰን ቀመር.
በቦታ ችግር ውስጥ, የሚታወቅ ቬክተር የነጥቦች መጋጠሚያዎችሀ (x 1; y 1;ዝ 1 ) እና ለ (x 2 ; y 2 ; ዝ 2 ) ቀመርን በመጠቀም ማስላት ይቻላል-
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; ዝ 2 - ዝ 1 ).
መጋጠሚያዎችን በመጠቀም ቬክተሩን በራሱ መገንባት ስለሚቻል መጋጠሚያዎች ስለ ቬክተሩ አጠቃላይ መግለጫ ይሰጣሉ. መጋጠሚያዎቹን ማወቅ, ለማስላት ቀላል ነው እና የቬክተር ርዝመት. (ንብረት 3 ከታች)።
የቬክተር መጋጠሚያዎች ባህሪያት.
1. ማንኛውም እኩል ቬክተሮችበነጠላ ቅንጅት ስርዓት ውስጥ እኩል መጋጠሚያዎች.
2. መጋጠሚያዎች ኮላይኔር ቬክተሮችተመጣጣኝ. የትኛውም ቬክተር ዜሮ ካልሆነ።
3. የማንኛውም የቬክተር ርዝመት ካሬው ከሱ ካሬዎች ድምር ጋር እኩል ነው መጋጠሚያዎች.
4.በቀዶ ጥገና ወቅት የቬክተር ማባዛትላይ እውነተኛ ቁጥርእያንዳንዱ መጋጠሚያዎች በዚህ ቁጥር ተባዝተዋል.
5. ቬክተሮችን ሲጨምሩ, ተዛማጅ ድምርን እናሰላለን የቬክተር መጋጠሚያዎች.
6. Scalar ምርትሁለት ቬክተሮች ከተዛማጅ መጋጠሚያዎቻቸው ምርቶች ድምር ጋር እኩል ነው.
የቬክተር መጋጠሚያዎችን መፈለግ ለብዙ የሂሳብ ችግሮች በጣም የተለመደ ሁኔታ ነው. የቬክተር መጋጠሚያዎችን የማግኘት ችሎታ በሌሎች ተመሳሳይ ርዕሰ ጉዳዮች ውስብስብ ችግሮች ውስጥ ይረዳዎታል። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎችን እና በርካታ ችግሮችን ለመፈለግ ቀመርን እንመለከታለን.
በአውሮፕላን ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎችን ማግኘት
አውሮፕላን ምንድን ነው? አንድ አውሮፕላን ባለ ሁለት አቅጣጫዊ ቦታ ተደርጎ ይወሰዳል ፣ ሁለት ልኬቶች ያሉት ቦታ (የ x ልኬት እና የ y ልኬት)። ለምሳሌ, ወረቀት ጠፍጣፋ ነው. የጠረጴዛው ገጽታ ጠፍጣፋ ነው. ማንኛውም የቮልሜትሪክ ምስል (ካሬ, ትሪያንግል, ትራፔዞይድ) እንዲሁ አውሮፕላን ነው. ስለዚህ በችግር መግለጫው ውስጥ በአውሮፕላን ላይ የሚተኛ የቬክተር መጋጠሚያዎችን ማግኘት ከፈለጉ ወዲያውኑ ስለ x እና y እናስታውሳለን። የእንደዚህ አይነት ቬክተር መጋጠሚያዎችን እንደሚከተለው ማግኘት ይችላሉ-የቬክተር AB መጋጠሚያዎች = (xB - xA; yB - xA). ቀመሩ እንደሚያሳየው የመነሻውን መጋጠሚያዎች ከመጨረሻው ነጥብ መጋጠሚያዎች መቀነስ ያስፈልግዎታል.
ለምሳሌ:
- የቬክተር ሲዲ የመጀመሪያ (5፤ 6) እና የመጨረሻ (7፤ 8) መጋጠሚያዎች አሉት።
- የቬክተሩን ራሱ መጋጠሚያዎች ያግኙ.
- ከላይ ያለውን ቀመር በመጠቀም የሚከተለውን አገላለጽ እናገኛለን: ሲዲ = (7-5; 8-6) = (2; 2).
- ስለዚህ የሲዲ ቬክተር = (2; 2) መጋጠሚያዎች.
- በዚህ መሠረት የ x መጋጠሚያው ከሁለት ጋር እኩል ነው, የ y መጋጠሚያ ደግሞ ሁለት ነው.
በጠፈር ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎችን ማግኘት
ቦታ ምንድን ነው? ቦታ አስቀድሞ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ልኬት ሲሆን 3 መጋጠሚያዎች የተሰጡበት፡ x፣ y፣ z። በጠፈር ላይ የሚተኛ ቬክተር ማግኘት ከፈለጉ ቀመሩ በተግባር አይለወጥም። አንድ መጋጠሚያ ብቻ ታክሏል። ቬክተር ለማግኘት የጅማሬውን መጋጠሚያዎች ከመጨረሻ መጋጠሚያዎች መቀነስ ያስፈልግዎታል. AB = (xB – xA፣ yB – yA፣ zB – zA)
ለምሳሌ:
- ቬክተር ዲኤፍ የመጀመሪያ (2፤ 3፤ 1) እና የመጨረሻ (1፤ 5፤ 2) አለው።
- ከላይ ያለውን ቀመር በመተግበር, እናገኛለን: የቬክተር መጋጠሚያዎች DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
- ያስታውሱ, የማስተባበር ዋጋው አሉታዊ ሊሆን ይችላል, ምንም ችግር የለበትም.
በመስመር ላይ የቬክተር መጋጠሚያዎችን እንዴት ማግኘት ይቻላል?
በሆነ ምክንያት እራስዎ መጋጠሚያዎችን ማግኘት ካልፈለጉ, የመስመር ላይ ካልኩሌተር መጠቀም ይችላሉ. ለመጀመር የቬክተር ልኬትን ይምረጡ። የቬክተር ልኬት ለቁመቶቹ ተጠያቂ ነው. ልኬት 3 ማለት ቬክተሩ በጠፈር ላይ ነው, ልኬት 2 ማለት በአውሮፕላኑ ላይ ነው ማለት ነው. በመቀጠል የነጥቦቹን መጋጠሚያዎች በተገቢው መስኮች ውስጥ ያስገቡ እና ፕሮግራሙ የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ለእርስዎ ይወስናል. ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው.
አዝራሩን ጠቅ በማድረግ ገጹ በራስ-ሰር ወደ ታች ይሸብልል እና ትክክለኛውን መልስ ከመፍትሔ እርምጃዎች ጋር ይሰጥዎታል።
ይህንን ርዕስ በደንብ ለማጥናት ይመከራል, ምክንያቱም የቬክተር ጽንሰ-ሐሳብ በሂሳብ ብቻ ሳይሆን በፊዚክስ ውስጥም ይገኛል. የኢንፎርሜሽን ቴክኖሎጂ ፋኩልቲ ተማሪዎችም የቬክተሮችን ርዕስ ያጠናሉ, ነገር ግን ውስብስብ በሆነ ደረጃ.
በመጨረሻም፣ በዚህ ሰፊ እና በጉጉት በጠበቅኩት ርዕስ ላይ እጄን አገኘሁ። የትንታኔ ጂኦሜትሪ. በመጀመሪያ፣ ስለዚህ የከፍተኛ የሂሳብ ክፍል ትንሽ... በርግጥ አሁን ብዙ ቲዎሬሞችን፣ ማስረጃዎቻቸውን፣ ሥዕሎቻቸውን፣ ወዘተ ያሉትን የት/ቤት ጂኦሜትሪ ኮርስ ታስታውሳላችሁ። ምን መደበቅ እንዳለበት፣ ያልተወደደ እና ብዙ ጊዜ ግልጽ ያልሆነ ርዕሰ ጉዳይ ለብዙ ተማሪዎች ክፍል። የትንታኔ ጂኦሜትሪ፣ በሚያስገርም ሁኔታ፣ የበለጠ ሳቢ እና ተደራሽ ሊመስል ይችላል። “ትንታኔ” የሚለው ቅጽል ምን ማለት ነው? ሁለት የተጣበቁ የሂሳብ ሀረጎች ወዲያውኑ ወደ አእምሯቸው ይመጣሉ፡ “ግራፊክ የመፍትሄ ዘዴ” እና “የመተንተን የመፍትሄ ዘዴ። ስዕላዊ ዘዴእርግጥ ነው, ከግራፎች እና ስዕሎች ግንባታ ጋር የተያያዘ ነው. ትንተናዊወይም ዘዴችግሮችን መፍታትን ያካትታል በዋናነትበአልጀብራ ስራዎች. በዚህ ረገድ ፣ ሁሉንም ማለት ይቻላል የትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮችን ለመፍታት ስልተ ቀመር ቀላል እና ግልፅ ነው ፣ ብዙውን ጊዜ አስፈላጊዎቹን ቀመሮች በጥንቃቄ መተግበር በቂ ነው - እና መልሱ ዝግጁ ነው! አይ ፣ በእርግጥ ፣ ያለ ስዕሎች ይህንን ማድረግ አንችልም ፣ እና በተጨማሪ ፣ ስለ ቁሳቁሱ የበለጠ ለመረዳት ፣ ከአስፈላጊነቱ በላይ እነሱን ለመጥቀስ እሞክራለሁ።
በጂኦሜትሪ ላይ አዲስ የተከፈተው የትምህርት ኮርስ በንድፈ ሀሳብ የተሟላ አስመስሎ ሳይሆን ተግባራዊ ችግሮችን በመፍታት ላይ ያተኮረ ነው። በትምህርቶቼ ውስጥ ከኔ እይታ አንፃር ተግባራዊ በሆነ መልኩ አስፈላጊ የሆነውን ብቻ አካትታለሁ። በማንኛውም ንዑስ ክፍል ላይ የበለጠ የተሟላ እርዳታ ከፈለጉ የሚከተሉትን በጣም ተደራሽ ጽሑፎች እመክራለሁ፡
1) ብዙ ትውልዶች የሚያውቁት ቀልድ አይደለም፡- የትምህርት ቤት መማሪያ መጽሐፍ በጂኦሜትሪደራሲያን - ኤል.ኤስ. አታናስያን እና ኩባንያ. ይህ የትምህርት ቤት መቆለፊያ ክፍል መስቀያ ቀድሞውንም በ20 (!) ድጋሚ ህትመቶች ውስጥ አልፏል፣ ይህም በእርግጥ ገደብ አይደለም።
2) ጂኦሜትሪ በ 2 ጥራዞች. ደራሲያን ኤል.ኤስ. አታናስያን፣ ባዚሌቭ ቪ.ቲ.. ይህ ለሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ሥነ ጽሑፍ ነው, ያስፈልግዎታል የመጀመሪያ ድምጽ. አልፎ አልፎ ያጋጠሙኝ ስራዎች ከዓይኔ ሊወድቁ ይችላሉ፣ እና መማሪያው በዋጋ ሊተመን የማይችል እገዛ ይሆናል።
ሁለቱም መጽሃፎች በመስመር ላይ በነፃ ማውረድ ይችላሉ። በተጨማሪም, የእኔን ማህደር በገጹ ላይ ሊገኙ በሚችሉ ዝግጁ መፍትሄዎች መጠቀም ይችላሉ በከፍተኛ ሂሳብ ውስጥ ምሳሌዎችን ያውርዱ.
ከመሳሪያዎቹ መካከል የራሴን እድገት እንደገና ሀሳብ አቀርባለሁ - የሶፍትዌር ጥቅልበመተንተን ጂኦሜትሪ, ይህም ህይወትን በእጅጉ ያቃልላል እና ብዙ ጊዜ ይቆጥባል.
አንባቢው መሰረታዊ የጂኦሜትሪክ ፅንሰ-ሀሳቦችን እና አሃዞችን ጠንቅቆ ያውቃል ተብሎ ይታሰባል፡- ነጥብ፣ መስመር፣ አውሮፕላን፣ ትሪያንግል፣ ትይዩ፣ ትይዩ፣ ኪዩብ፣ ወዘተ. አንዳንድ ንድፈ ሃሳቦችን ማስታወስ ጠቃሚ ነው, ቢያንስ የፓይታጎሪያን ቲዎረም, ሰላም ለተደጋጋሚዎች)
እና አሁን በቅደም ተከተል እንመረምራለን-የቬክተር ጽንሰ-ሐሳብ, ከቬክተሮች ጋር የተደረጉ ድርጊቶች, የቬክተር መጋጠሚያዎች. የበለጠ ለማንበብ እመክራለሁ በጣም አስፈላጊው ጽሑፍ የቬክተሮች ነጥብ ውጤት, እና እንዲሁም የቬክተር እና የተደባለቀ የቬክተሮች ምርት. የአካባቢ ተግባር - በዚህ ረገድ የአንድ ክፍል ክፍፍል - እንዲሁ ከመጠን በላይ አይሆንም። ከላይ ባለው መረጃ ላይ በመመስረት, ማስተር ይችላሉ በአውሮፕላን ውስጥ የአንድ መስመር እኩልታጋር በጣም ቀላል የመፍትሄ ምሳሌዎች, ይህም ይፈቅዳል የጂኦሜትሪ ችግሮችን ለመፍታት ይማሩ. የሚከተሉት መጣጥፎችም ጠቃሚ ናቸው። በጠፈር ውስጥ የአውሮፕላን እኩልነት, በጠፈር ውስጥ የአንድ መስመር እኩልታዎች, ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላን ላይ ያሉ መሰረታዊ ችግሮች, ሌሎች የትንታኔ ጂኦሜትሪ ክፍሎች. በተፈጥሮ, መደበኛ ስራዎች በመንገድ ላይ ግምት ውስጥ ይገባሉ.
የቬክተር ጽንሰ-ሐሳብ. ነፃ ቬክተር
በመጀመሪያ፣ የቬክተርን የትምህርት ቤት ትርጉም እንድገመው። ቬክተርተብሎ ይጠራል ተመርቷልመጀመሪያ እና መጨረሻው የተገለፀበት ክፍል፡-
በዚህ ሁኔታ, የክፍሉ መጀመሪያ ነጥቡ ነው, የክፍሉ መጨረሻ ነጥብ ነው. ቬክተሩ ራሱ በ. አቅጣጫአስፈላጊ ነው፣ ቀስቱን ወደ ሌላኛው ክፍል ጫፍ ካዘዋወሩ፣ ቬክተር ያገኛሉ፣ እና ይሄ አስቀድሞ ነው ሙሉ ለሙሉ የተለየ ቬክተር. የቬክተርን ጽንሰ-ሐሳብ ከሥጋዊ አካል እንቅስቃሴ ጋር ለመለየት አመቺ ነው-መስማማት አለብዎት, ወደ ኢንስቲትዩት በሮች መግባት ወይም የተቋሙን በሮች መውጣት ፈጽሞ የተለያዩ ነገሮች ናቸው.
የአውሮፕላኑን ወይም የቦታውን ግለሰባዊ ነጥቦች እንደ ሚጠራው ግምት ውስጥ ማስገባት ምቹ ነው። ዜሮ ቬክተር. ለእንዲህ ዓይነቱ ቬክተር መጨረሻው እና መጀመሪያው ይጣጣማሉ.
!!! ማስታወሻ: እዚህ እና በተጨማሪ, ቬክተሮች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ እንደሚተኛ መገመት ይችላሉ ወይም በጠፈር ውስጥ እንደሚገኙ መገመት ይችላሉ - የቀረቡት ቁሳቁሶች ይዘት ለአውሮፕላን እና ለቦታ ተስማሚ ነው.
ስያሜዎች፡-ብዙዎች ወዲያውኑ በመሰየም ውስጥ ያለ ቀስት ዱላውን አስተውለዋል እና ከላይ አንድ ቀስት አለ! እውነት ነው, በቀስት ሊጽፉት ይችላሉ: , ግን ደግሞ ይቻላል ወደፊት የምጠቀምበት መግቢያ. ለምን? በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ይህ ልማድ የተገነባው በተጨባጭ ምክንያቶች ነው, በትምህርት ቤት እና በዩኒቨርሲቲ ውስጥ የእኔ ተኳሾች በጣም የተለያየ መጠን ያላቸው እና ሻካራዎች ሆኑ. በትምህርታዊ ሥነ ጽሑፍ ውስጥ ፣ አንዳንድ ጊዜ በኩኒፎርም ጽሑፍ በጭራሽ አይጨነቁም ፣ ግን ፊደላቱን በደማቅ ያደምቁ ፣ በዚህም ይህ ቬክተር መሆኑን ያሳያል ።
ያ ስታሊስቲክስ ነበር፣ እና አሁን ቬክተርን ስለመፃፍ መንገዶች፡-
1) ቬክተሮች በሁለት ትላልቅ የላቲን ፊደላት ሊጻፉ ይችላሉ፡- 
እናም ይቀጥላል. በዚህ ጉዳይ ላይ, የመጀመሪያው ደብዳቤ የግድየቬክተሩን መጀመሪያ ነጥብ የሚያመለክት ሲሆን ሁለተኛው ፊደል ደግሞ የቬክተሩን የመጨረሻ ነጥብ ያመለክታል.
2) ቬክተሮች በትናንሽ የላቲን ፊደላት ተጽፈዋል፡-
በተለይም የእኛ ቬክተር በጥቃቅን የላቲን ፊደል ሊገለበጥ ይችላል።
ርዝመትወይም ሞጁልዜሮ ያልሆነ ቬክተር የክፍሉ ርዝመት ይባላል. የዜሮ ቬክተር ርዝመት ዜሮ ነው. ምክንያታዊ።
የቬክተሩ ርዝመት በሞጁል ምልክት ይገለጻል:,
የቬክተርን ርዝመት እንዴት ማግኘት እንደምንችል እንማራለን (ወይንም እንደማን እንደግመዋለን) ትንሽ ቆይቶ።
ይህ ስለ ቬክተሮች መሠረታዊ መረጃ ነበር፣ ለሁሉም የትምህርት ቤት ልጆች የታወቀ። በመተንተን ጂኦሜትሪ, የሚባሉት ነፃ ቬክተር.
በቀላሉ ለማስቀመጥ፡- ቬክተሩ ከየትኛውም ነጥብ ሊቀረጽ ይችላል:
እነዚህን ቬክተሮች እኩል መጥራት ለምደናል (የእኩል ቬክተር ፍቺ ከዚህ በታች ይገለጻል) ነገር ግን ከሒሳብ አንጻር ሲታይ እነሱ ተመሳሳይ VECTOR ወይም ነፃ ቬክተር. ለምን ነፃ? ምክንያቱም ችግሮችን በመፍታት ሂደት ውስጥ ይህንን ወይም ያንን "ትምህርት ቤት" ቬክተር ከሚፈልጉት የአውሮፕላኑ ነጥብ ወይም ቦታ ጋር "ማያያዝ" ይችላሉ. ይህ በጣም ጥሩ ባህሪ ነው! የዘፈቀደ ርዝመት እና አቅጣጫ አንድ የተመራው ክፍል በዓይነ ሕሊናህ ይታይህ - ማለቂያ በሌለው ጊዜ ብዛት “ሊከለል” ይችላል እና በጠፈር ውስጥ በማንኛውም ቦታ ፣ በእውነቱ ፣ በሁሉም ቦታ አለ። እንደዚህ ያለ ተማሪ አለ፡- እያንዳንዱ አስተማሪ ስለ ቬክተሩ እርግማን ይሰጣል። ደግሞም ፣ እሱ አስቂኝ ግጥም ብቻ አይደለም ፣ ሁሉም ነገር ትክክል ነው ማለት ይቻላል - የተመራው ክፍል እዚያም ሊጨመር ይችላል። ነገር ግን ለመደሰት አትቸኩል፣ ብዙ ጊዜ የሚሰቃዩት ተማሪዎቹ እራሳቸው ናቸው =)
ስለዚህ፣ ነፃ ቬክተር- ይህ ስብስብ ተመሳሳይ የሚመሩ ክፍሎች. በአንቀጹ መጀመሪያ ላይ የተሰጠው የትምህርት ቤት የቬክተር ትርጉም፡- “የተመራ ክፍል ቬክተር ይባላል…” የሚያመለክተው። የተወሰነበአውሮፕላኑ ወይም በቦታ ውስጥ ካለው የተወሰነ ነጥብ ጋር የተሳሰረ ከተሰጠው ስብስብ የተወሰደ ቀጥተኛ ክፍል።
ከፊዚክስ እይታ አንጻር የነፃ ቬክተር ጽንሰ-ሐሳብ በአጠቃላይ የተሳሳተ መሆኑን እና የአተገባበር ነጥቡ አስፈላጊ መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል. በእርግጥም, የእኔን ሞኝ ምሳሌ ለማዳበር በቂ የሆነ በአፍንጫ ወይም በግንባሩ ላይ ተመሳሳይ ኃይል ያለው ቀጥተኛ ምት የተለያዩ ውጤቶችን ያስከትላል. ሆኖም፣ ነፃ ያልሆነቬክተሮችም በ vyshmat አካሄድ ውስጥ ይገኛሉ (ወደዚያ አይሂዱ :)).
ከቬክተሮች ጋር ያሉ ድርጊቶች. የቬክተሮች አጠቃላይነት
የትምህርት ቤት ጂኦሜትሪ ኮርስ በርካታ ድርጊቶችን እና ደንቦችን ከቬክተሮች ጋር ይሸፍናል፡- መደመር በሦስት ማዕዘኑ ደንብ፣ መደመር እንደ በትይዩሎግራም ደንብ፣ የቬክተር ልዩነት ደንብ፣ የቬክተርን በቁጥር ማባዛት፣ የቬክተር ስክላር ምርት፣ ወዘተ.እንደ መነሻ፣ የትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮችን ለመፍታት በተለይ ጠቃሚ የሆኑ ሁለት ሕጎችን እንድገም።
የሶስት ማዕዘን ህግን በመጠቀም ቬክተሮችን ለመጨመር ደንቡ
ሁለት የዘፈቀደ ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮችን ተመልከት እና፡- 
የእነዚህን ቬክተሮች ድምር ማግኘት ያስፈልግዎታል. ሁሉም ቬክተሮች ነፃ ናቸው ተብሎ ስለሚታሰብ ቬክተሩን ወደ ጎን እንተዋለን መጨረሻቬክተር፡ 
የቬክተር ድምር ቬክተር ነው። ስለ ደንቡ የተሻለ ግንዛቤ ለማግኘት አካላዊ ፍቺን በእሱ ውስጥ ማስገባት ተገቢ ነው-አንዳንድ አካላት በቬክተር እና ከዚያም በቬክተር በኩል ይጓዙ. ከዚያም የቬክተሮች ድምር የውጤቱ መንገድ ቬክተር ነው መነሻው በመነሻ ነጥብ እና መጨረሻው በመድረሻ ነጥብ ላይ. ለማንኛውም የቬክተር ብዛት ድምር ተመሳሳይ ህግ ተዘጋጅቷል። እነሱ እንደሚሉት ፣ ሰውነት በዚግዛግ ፣ ወይም ምናልባት በአውቶፒሎት ላይ በጣም ዘንበል ብሎ መሄድ ይችላል - በተፈጠረው ድምር ውጤት።
በነገራችን ላይ ቬክተሩ ከዘገየ ጀመረቬክተር, ከዚያም ተመጣጣኝውን እናገኛለን parallelogram ደንብየቬክተሮች መጨመር.
በመጀመሪያ ፣ ስለ ቬክተሮች አጠቃላይነት። ሁለቱ ቬክተሮች ተጠርተዋል ኮላይኔር, በተመሳሳይ መስመር ላይ ወይም በትይዩ መስመሮች ላይ ቢዋሹ. በግምት፣ ስለ ትይዩ ቬክተሮች ነው እየተነጋገርን ያለነው። ነገር ግን ከነሱ ጋር በተገናኘ, "collinear" የሚለው ቅፅል ሁልጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.
እስቲ አስቡት ሁለት ኮላይኔር ቬክተሮች። የእነዚህ ቬክተሮች ቀስቶች ወደ አንድ አቅጣጫ ከተመሩ, እንደዚህ ያሉ ቬክተሮች ይባላሉ በጋራ ተመርቷል. ቀስቶቹ ወደ ተለያዩ አቅጣጫዎች የሚያመለክቱ ከሆነ, ቬክተሮች ይሆናሉ በተቃራኒ አቅጣጫዎች.
ስያሜዎች፡-የቬክተሮች ኮሊኔሪቲ ከተለመደው ትይዩ ምልክት ጋር ይፃፋል፡ ዝርዝር መዘርዘር ሲቻል፡ (ቬክተሮች በጋራ ይመራሉ) ወይም (ቬክተሮች በተቃራኒ አቅጣጫ ይመራሉ)።
ስራውበቁጥር ላይ ያለው ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ርዝመቱ እኩል የሆነ ቬክተር እና ቬክተሮች እና በጋራ እና በተቃራኒ አቅጣጫ የሚመሩ ናቸው.
ቬክተርን በቁጥር ለማባዛት ደንቡ በሥዕል እገዛ ለመረዳት ቀላል ነው- 
በዝርዝር እንመልከተው፡-
1) አቅጣጫ. ማባዛቱ አሉታዊ ከሆነ, ከዚያም ቬክተር አቅጣጫ ይለውጣልወደ ተቃራኒው.
2) ርዝመት. ማባዣው በውስጡ ካለ ወይም , ከዚያም የቬክተሩ ርዝመት ይቀንሳል. ስለዚህ, የቬክተሩ ርዝመት የቬክተሩ ግማሽ ርዝመት ነው. የማባዛቱ ሞጁል ከአንድ በላይ ከሆነ, ከዚያም የቬክተሩ ርዝመት ይጨምራልበጊዜው.
3) እባክዎን ያስተውሉ ሁሉም ቬክተሮች ኮላይኔር ናቸውአንዱ ቬክተር በሌላ በኩል ሲገለጽ ለምሳሌ . የተገላቢጦሹም እውነት ነው።: አንድ ቬክተር በሌላ በኩል ሊገለጽ የሚችል ከሆነ, እንደዚህ ያሉ ቬክተሮች የግድ ኮላይነር ናቸው. ስለዚህም፡- አንድን ቬክተር በቁጥር ብናባዛው ኮሊነር እናገኛለን(ከዋናው አንፃር) ቬክተር.
4) ቬክተሮች በጋራ ይመራሉ. ቬክተሮች እና እንዲሁም በጋራ ይመራሉ. የሁለተኛው ቡድን ማንኛውም ቬክተር በተቃራኒ አቅጣጫ ይመራል።
የትኞቹ ቬክተሮች እኩል ናቸው?
ሁለት ቬክተሮች በአንድ አቅጣጫ ካሉ እና ተመሳሳይ ርዝመት ካላቸው እኩል ናቸው. አስተውል ኮዴሬክተራሊቲ የቬክተሮችን ውህድነት እንደሚያመለክት ነው። “ሁለት ቬክተሮች ኮላይነር፣ ኮዲሬክሽናል እና ተመሳሳይ ርዝመት ካላቸው እኩል ናቸው” ካልን ትርጉሙ ትክክል አይደለም (የተደጋገመ) ነው።
ከነጻ ቬክተር ፅንሰ-ሀሳብ አንፃር እኩል ቬክተሮች ተመሳሳይ ቬክተር ናቸው, ባለፈው አንቀፅ ላይ እንደተገለፀው.
ቬክተር በአውሮፕላኑ ላይ እና በጠፈር ላይ ያስተባብራል
የመጀመሪያው ነጥብ በአውሮፕላኑ ላይ ያሉትን ቬክተሮች ግምት ውስጥ ማስገባት ነው. የካርቴዥያን አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓትን እናሳይ እና ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ እንቀዳው። ነጠላቬክተሮች እና:
ቬክተሮች እና orthogonal. Orthogonal = በቋሚ. ቃላቶቹን ቀስ በቀስ እንድትለማመዱ እመክራለሁ፡ ትይዩ እና ቀጥተኛነት ሳይሆን ቃላቱን በቅደም ተከተል እንጠቀማለን። አብሮነትእና ኦርቶዶክሳዊነት.
ስያሜ፡የቬክተሮች ኦርቶጎናዊነት በተለመደው የቋሚነት ምልክት ተጽፏል, ለምሳሌ:.
ከግምት ውስጥ የሚገቡት ቬክተሮች ይባላሉ ቬክተሮችን ማስተባበርወይም ኦርትስ. እነዚህ ቬክተሮች ይሠራሉ መሠረትላይ ላዩን። እንደማስበው ለብዙዎች ግልጽ የሆነ መሠረት ምንድን ነው ፣ የበለጠ ዝርዝር መረጃ በጽሁፉ ውስጥ ይገኛል። የቬክተሮች ቀጥተኛ (ያልሆኑ) ጥገኛ። የቬክተሮች መሠረትበቀላል ቃላት ፣ የመጋጠሚያዎች መሠረት እና አመጣጥ አጠቃላይ ስርዓቱን ይገልፃሉ - ይህ ሙሉ እና የበለፀገ የጂኦሜትሪክ ሕይወት የሚፈላበት መሠረት ዓይነት ነው።
አንዳንድ ጊዜ የተገነባው መሠረት ይባላል ኦርቶዶክሳዊየአውሮፕላኑ መሠረት: “ኦርቶ” - ምክንያቱም አስተባባሪ ቬክተሮች ኦርቶጎን ናቸው ፣ “መደበኛ” የሚለው ቅጽል አሃድ ማለት ነው ፣ ማለትም ። የመሠረት ቬክተሮች ርዝመት ከአንድ ጋር እኩል ነው.
ስያሜ፡መሰረቱ ብዙውን ጊዜ በቅንፍ ውስጥ ይጻፋል, በውስጡም በጥብቅ ቅደም ተከተልመሠረት ቬክተሮች ተዘርዝረዋል, ለምሳሌ:. ቬክተሮችን ያስተባብሩ ክልክል ነው።እንደገና ማስተካከል.
ማንኛውምየአውሮፕላን ቬክተር ብቸኛው መንገድእንደሚከተለው ተገልጿል፡- 
የት - ቁጥሮችየሚባሉት የቬክተር መጋጠሚያዎችበዚህ መሠረት. እና አገላለጹ ራሱ 
ተብሎ ይጠራል የቬክተር መበስበስመሠረት በማድረግ .
የቀረበ እራት፡-
በፊደል የመጀመሪያ ፊደል እንጀምር፡. ስዕሉ በግልጽ እንደሚያሳየው ቬክተርን ወደ መሠረት ሲበሰብስ አሁን የተብራሩት ጥቅም ላይ ይውላሉ.
1) ቬክተርን በቁጥር የማባዛት ደንብ: እና;
2) በሦስት ማዕዘኑ ደንብ መሠረት የቬክተሮች መጨመር:.
አሁን በአውሮፕላኑ ውስጥ ካለው ከማንኛውም ሌላ ነጥብ ቬክተሩን በአእምሮ ያቅዱ። መበስበሱ “ያለማቋረጥ እንደሚከተለው” ግልጽ ነው። እዚህ ነው የቬክተር ነፃነት - ቬክተሩ "ሁሉንም ነገር በራሱ ይይዛል." ይህ ንብረት, ለማንኛውም ቬክተር እውነት ነው. መሰረቱ (ነፃ) ቬክተሮች እራሳቸው ከመነሻው መቀረፅ አለማለታቸው የሚያስቅ ነው፤ አንዱ ለምሳሌ ከታች በግራ በኩል ሌላው ደግሞ በቀኝ በኩል መሳል ይቻላል ምንም አይለወጥም! እውነት ነው, ይህን ማድረግ አያስፈልግዎትም, ምክንያቱም መምህሩ ኦርጅናሉን ስለሚያሳይ እና ባልተጠበቀ ቦታ ላይ "ክሬዲት" ይስልዎታል.
ቬክተሮች አንድን ቬክተር በቁጥር የማባዛት ደንቡን በትክክል ይገልፃሉ፣ ቬክተሩ ከመሠረታዊ ቬክተር ጋር ኮዲሬክሽናል ነው፣ ቬክተሩ ከመሠረታዊ ቬክተር ጋር ተቃራኒ ነው የሚመራው። ለእነዚህ ቬክተሮች፣ ከመጋጠሚያዎቹ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ነው፣ በጥንቃቄ እንደሚከተለው ይፃፉ።
እና መሰረታዊ ቬክተሮች, በነገራችን ላይ, እንደዚህ ናቸው: (በእርግጥ, በራሳቸው ይገለጣሉ).
እና በመጨረሻ:,. በነገራችን ላይ የቬክተር መቀነስ ምንድን ነው, እና ለምን ስለ ቅነሳ ደንቡ አልተናገርኩም? በመስመር አልጀብራ ውስጥ የሆነ ቦታ፣ የት እንደሆነ አላስታውስም፣ መቀነስ ልዩ የመደመር ጉዳይ መሆኑን አስተውያለሁ። ስለዚህ የቬክተር “ደ” እና “e” መስፋፋት በቀላሉ እንደ ድምር ይጻፋል፡ 
. በሶስት ማዕዘን ህግ መሰረት የቬክተሮች ጥሩ አሮጌ መጨመር በእነዚህ ሁኔታዎች ውስጥ እንዴት እንደሚሰራ ለማየት ስዕሉን ይከተሉ.
የታሰበው የቅጹ መበስበስ 
አንዳንድ ጊዜ የቬክተር መበስበስ ይባላል በኦርት ሲስተም ውስጥ(ማለትም በዩኒት ቬክተሮች ስርዓት). ነገር ግን ቬክተርን ለመጻፍ ብቸኛው መንገድ ይህ አይደለም, የሚከተለው አማራጭ የተለመደ ነው.
ወይም በእኩል ምልክት፡-
የመሠረቱ ቬክተሮች እራሳቸው እንደሚከተለው ተጽፈዋል: እና
ያም ማለት የቬክተሩ መጋጠሚያዎች በቅንፍ ውስጥ ይገለጣሉ. በተግባራዊ ችግሮች, ሶስቱም የማስታወሻ አማራጮች ጥቅም ላይ ይውላሉ.
ለመናገር ተጠራጠርኩ፣ ግን ለማንኛውም እናገራለሁ፡- የቬክተር መጋጠሚያዎች እንደገና ሊደራጁ አይችሉም. በመጀመሪያ ደረጃ በትክክልከአሃዱ ቬክተር ጋር የሚዛመደውን መጋጠሚያ እንጽፋለን ፣ በጥብቅ በሁለተኛ ደረጃከዩኒት ቬክተር ጋር የሚዛመደውን መጋጠሚያ እንጽፋለን. በእርግጥ, እና ሁለት የተለያዩ ቬክተሮች ናቸው.
በአውሮፕላኑ ውስጥ ያሉትን መጋጠሚያዎች አወቅን. አሁን ቬክተሮችን በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ እንይ, እዚህ ሁሉም ነገር ማለት ይቻላል አንድ ነው! አንድ ተጨማሪ መጋጠሚያ ብቻ ይጨምራል። ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ስዕሎችን ለመስራት ከባድ ነው ፣ ስለሆነም እራሴን በአንድ ቬክተር ብቻ እገድባለሁ ፣ ይህም ለቀላልነት ከመነሻው ወደ ጎን እተወዋለሁ- 
ማንኛውም 3D ቦታ ቬክተር ብቸኛው መንገድበኦርቶዶክስ መሠረት መስፋፋት; 
, በዚህ መሠረት የቬክተር (ቁጥር) መጋጠሚያዎች የት አሉ.
ምሳሌ ከሥዕሉ፡- 
. የቬክተር ደንቦች እዚህ እንዴት እንደሚሠሩ እንይ. በመጀመሪያ ቬክተሩን በቁጥር ማባዛት: (ቀይ ቀስት), (አረንጓዴ ቀስት) እና (የራስቤሪ ቀስት). በሁለተኛ ደረጃ፣ ብዙ የመደመር ምሳሌ እዚህ አለ፣ በዚህ ሁኔታ ሶስት፣ ቬክተር፡. ድምር ቬክተር የሚጀምረው በመነሻ ነጥብ (በቬክተሩ መጀመሪያ) እና በመጨረሻው መድረሻ (የቬክተሩ መጨረሻ) ላይ ነው.
ሁሉም ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ቬክተር በተፈጥሮም እንዲሁ ነፃ ናቸው፡ ቬክተሩን ከየትኛውም ነጥብ ወደ ጎን በአእምሮ ለመተው ይሞክሩ እና መበስበሱ “ከእሱ ጋር እንደሚቆይ” ይገባዎታል።
ከጠፍጣፋው መያዣ ጋር ተመሳሳይ, ከመጻፍ በተጨማሪ 
በቅንፍ ያላቸው ስሪቶች በስፋት ጥቅም ላይ ይውላሉ: ወይ.
በማስፋፊያው ውስጥ አንድ (ወይም ሁለት) አስተባባሪ ቬክተሮች ከጠፉ ዜሮዎች በቦታቸው ይቀመጣሉ። ምሳሌዎች፡-
ቬክተር (በተለይ 
) - እንፃፍ;
ቬክተር (በተለይ 
) - እንፃፍ;
ቬክተር (በተለይ 
) - እንፃፍ።
የመሠረት ቬክተሮች እንደሚከተለው ተጽፈዋል.
ይህ, ምናልባት, የትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮችን ለመፍታት አስፈላጊው ዝቅተኛው የንድፈ ሃሳብ እውቀት ነው. ብዙ ቃላቶች እና ትርጓሜዎች ሊኖሩ ይችላሉ፣ስለዚህ የሻይ ማስቀመጫዎች ይህንን መረጃ እንደገና እንዲያነቡ እና እንዲረዱት እመክራለሁ። እናም ማንኛውም አንባቢ ትምህርቱን በተሻለ ሁኔታ ለመዋሃድ ከጊዜ ወደ ጊዜ መሰረታዊ ትምህርቱን መመልከቱ ጠቃሚ ይሆናል። ኮላይኔሪቲ, ኦርቶጎናዊነት, ኦርቶማላዊ መሠረት, የቬክተር መበስበስ - እነዚህ እና ሌሎች ጽንሰ-ሐሳቦች ለወደፊቱ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ. ሁሉንም ቲዎሬሞች (እና ያለማስረጃዎች) በጥንቃቄ ስለማመሰጥር በጣቢያው ላይ ያሉት ቁሳቁሶች የቲዎሪቲካል ፈተናን ወይም ኮሎኪዩምን በጂኦሜትሪ ለማለፍ በቂ እንዳልሆኑ አስተውያለሁ - የሳይንሳዊ የአቀራረብ ዘይቤን ለመጉዳት ፣ ግን ለግንዛቤዎ ተጨማሪ። ርዕሰ ጉዳዩን. ዝርዝር የንድፈ ሃሳባዊ መረጃ ለማግኘት፣ እባክዎን ለፕሮፌሰር አታናስያን ስገዱ።
እና ወደ ተግባራዊ ክፍል እንሸጋገራለን-
የትንታኔ ጂኦሜትሪ ቀላሉ ችግሮች።
በመጋጠሚያዎች ውስጥ ከቬክተሮች ጋር እርምጃዎች
ሙሉ በሙሉ በራስ-ሰር የሚታሰቡትን ስራዎች እና ቀመሮቹን እንዴት መፍታት እንደሚችሉ ለመማር በጣም ይመከራል ማስታወስ, ሆን ብሎ ለማስታወስ እንኳን አያስፈልግም, እነሱ ራሳቸው ያስታውሳሉ =) ይህ በጣም አስፈላጊ ነው, ምክንያቱም ሌሎች የትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮች በጣም ቀላል በሆኑ የመጀመሪያ ደረጃ ምሳሌዎች ላይ የተመሰረቱ ናቸው, እና ተጨማሪ ጊዜዎችን በመመገብ ማሳለፍ ያበሳጫል. . በሸሚዝዎ ላይ ከላይ ያሉትን ቁልፎች ማሰር አያስፈልግም፤ ከትምህርት ቤት ብዙ ነገሮች ያውቃሉ።
የቁሱ አቀራረብ ትይዩ ኮርስ ይከተላል - ለአውሮፕላንም ሆነ ለቦታ። በዚህ ምክንያት ሁሉም ቀመሮች ... እራስዎ ያያሉ.
ከሁለት ነጥቦች ቬክተር እንዴት ማግኘት ይቻላል?
የአውሮፕላኑ ሁለት ነጥቦች ከተሰጡ እና ከተሰጡ, ቬክተሩ የሚከተሉት መጋጠሚያዎች አሉት. 
በጠፈር ውስጥ ሁለት ነጥቦች ካሉ እና ከተሰጡ ቬክተሩ የሚከተሉት መጋጠሚያዎች አሉት።
ያውና, ከቬክተሩ መጨረሻ መጋጠሚያዎችተጓዳኝ መጋጠሚያዎችን መቀነስ ያስፈልግዎታል የቬክተር መጀመሪያ.
የአካል ብቃት እንቅስቃሴለተመሳሳይ ነጥቦች የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ለማግኘት ቀመሮችን ይጻፉ. በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ቀመሮች.
ምሳሌ 1
የአውሮፕላኑን ሁለት ነጥቦች እና . የቬክተር መጋጠሚያዎችን ያግኙ
መፍትሄ፡-በተገቢው ቀመር መሠረት:
በአማራጭ፣ የሚከተለውን ግቤት መጠቀም ይቻላል፡-
Aesthetes ይህንን ይወስናል:
በግሌ የቀረጻውን የመጀመሪያ ስሪት ለምጃለሁ።
መልስ፡-
እንደ ሁኔታው ስዕል መገንባት አስፈላጊ አልነበረም (ይህም ለትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮች የተለመደ ነው) ፣ ግን ለዳሚዎች አንዳንድ ነጥቦችን ለማብራራት ሰነፍ አይደለሁም ። 
በእርግጠኝነት መረዳት አለብህ በነጥብ መጋጠሚያዎች እና በቬክተር መጋጠሚያዎች መካከል ያለው ልዩነት:
የነጥብ መጋጠሚያዎች- እነዚህ አራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው የማስተባበሪያ ስርዓት ውስጥ ያሉ ተራ መጋጠሚያዎች ናቸው. እኔ እንደማስበው ከ5ኛ-6ኛ ክፍል በተቀናጀ አውሮፕላን ላይ ነጥቦችን እንዴት ማቀድ እንደሚቻል ሁሉም ሰው ያውቃል። እያንዳንዱ ነጥብ በአውሮፕላኑ ላይ ጥብቅ ቦታ አለው, እና ወደ የትኛውም ቦታ ሊንቀሳቀሱ አይችሉም.
የቬክተር መጋጠሚያዎች- ይህ በመሠረቱ መሠረት መስፋፋቱ ነው, በዚህ ጉዳይ ላይ. ማንኛውም ቬክተር ነፃ ነው, ስለዚህ ከተፈለገ ወይም አስፈላጊ ከሆነ, በአውሮፕላኑ ላይ ካለው ሌላ ቦታ በቀላሉ ልናንቀሳቅሰው እንችላለን. በጣም የሚገርመው ለቬክተሮች መጥረቢያ ወይም አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የማስተባበሪያ ስርዓት መገንባት አያስፈልግም, መሰረት ብቻ ያስፈልግዎታል, በዚህ ሁኔታ የአውሮፕላኑ መደበኛ መሠረት ነው.
የነጥቦች መጋጠሚያዎች እና የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ተመሳሳይነት ያላቸው ይመስላሉ፡ እና የመጋጠሚያዎች ትርጉምበፍጹም የተለየ, እና ይህን ልዩነት በደንብ ማወቅ አለብዎት. ይህ ልዩነት, በእርግጥ, በጠፈር ላይም ይሠራል.
ክቡራትና ክቡራን እጃችንን እንሙላ፡
ምሳሌ 2
ሀ) ነጥቦች እና ተሰጥተዋል. ቬክተሮችን ያግኙ እና.
ለ) ነጥቦች ተሰጥተዋል 
እና. ቬክተሮችን ያግኙ እና.
ሐ) ነጥቦች እና ተሰጥተዋል. ቬክተሮችን ያግኙ እና.
መ) ነጥቦች ተሰጥተዋል. ቬክተሮችን ያግኙ 
.
ምናልባት ያ በቂ ነው። እነዚህ በራስዎ ለመወሰን ምሳሌዎች ናቸው, እነሱን ችላ ላለማለት ይሞክሩ, ይከፈላል ;-). ስዕሎችን መስራት አያስፈልግም. በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መፍትሄዎች እና መልሶች.
የትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ምን አስፈላጊ ነው?የተዋጣለት "ሁለት ሲደመር ሁለት እኩል ዜሮ" ስህተት ላለመፍጠር በጣም ጥንቃቄ ማድረግ አስፈላጊ ነው. የሆነ ቦታ ላይ ስህተት ከሰራሁ ወዲያውኑ ይቅርታ እጠይቃለሁ =)
የአንድን ክፍል ርዝመት እንዴት ማግኘት ይቻላል?
ርዝመቱ, ቀደም ሲል እንደተገለፀው, በሞጁል ምልክት ይገለጻል.
የአውሮፕላኑ ሁለት ነጥቦች ከተሰጡ እና , ከዚያም የክፍሉ ርዝመት ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል
በጠፈር ውስጥ ሁለት ነጥቦች ከተሰጡ እና ከተሰጡ, የክፍሉ ርዝመት ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል
ማስታወሻ: ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ከተቀያየሩ ቀመሮቹ ትክክል እንደሆኑ ይቆያሉ፡ እና፣ ግን የመጀመሪያው አማራጭ የበለጠ መደበኛ ነው።
ምሳሌ 3
መፍትሄ፡-በተገቢው ቀመር መሠረት:
መልስ፡- 
ግልጽ ለማድረግ, ስዕል እሰራለሁ 
የመስመር ክፍል - ይህ ቬክተር አይደለም, እና በእርግጥ, ወደ የትኛውም ቦታ ማንቀሳቀስ አይችሉም. በተጨማሪም, ወደ ሚዛን ከሳሉ: 1 አሃድ. = 1 ሴ.ሜ (ሁለት የማስታወሻ ደብተር ሴሎች), ከዚያም የተገኘው መልስ የክፍሉን ርዝመት በቀጥታ በመለካት በመደበኛ ገዢ ሊረጋገጥ ይችላል.
አዎ፣ መፍትሄው አጭር ነው፣ ነገር ግን በዚህ ውስጥ ግልጽ ለማድረግ የምፈልጋቸው ሁለት ተጨማሪ ጠቃሚ ነጥቦች አሉ፡-
በመጀመሪያ ፣ በመልሱ ውስጥ ልኬቱን እናስቀምጣለን-“አሃዶች”። ሁኔታው ምን እንደሆነ, ሚሊሜትር, ሴንቲሜትር, ሜትሮች ወይም ኪሎሜትሮች አይናገርም. ስለዚህ፣ በሒሳብ ደረጃ ትክክለኛ መፍትሔው አጠቃላይ አጻጻፍ ይሆናል፡- “ዩኒቶች” - “አሃዶች” በሚል ምህጻረ ቃል።
በሁለተኛ ደረጃ ፣ ለተገመተው ተግባር ብቻ ሳይሆን የሚጠቅመውን የትምህርት ቤቱን ቁሳቁስ እንደገና እንድገመው-
ትኩረት ይስጡ አስፈላጊ ቴክኒክ – ማባዣውን ከሥሩ ስር ማስወገድ. በስሌቶቹ ምክንያት, ውጤት አለን እና ጥሩ የሒሳብ ዘይቤ ከሥሩ ስር (ከተቻለ) መንስኤውን ማስወገድን ያካትታል. በበለጠ ዝርዝር ሂደቱ ይህን ይመስላል: 
. በእርግጥ መልሱን እንደዚያው መተው ስህተት አይሆንም - ነገር ግን በእርግጠኝነት በመምህሩ ላይ ለመጨቃጨቅ ጉድለት እና ከባድ ክርክር ነው.
ሌሎች የተለመዱ ጉዳዮች እነኚሁና: 
ብዙውን ጊዜ ሥሩ በጣም ብዙ ቁጥር ይፈጥራል, ለምሳሌ. በእንደዚህ ዓይነት ጉዳዮች ምን ማድረግ አለበት? ካልኩሌተሩን በመጠቀም ቁጥሩ በ4፡ መከፋፈል አለመሆኑን እናረጋግጣለን። አዎ፣ ሙሉ በሙሉ ተከፍሎ ነበር፣ ስለዚህም፡- 
. ወይም ቁጥሩ እንደገና በ 4 ሊከፋፈል ይችላል? . ስለዚህም፡- 
. የቁጥሩ የመጨረሻ አሃዝ ያልተለመደ ነው ፣ ስለሆነም ለሶስተኛ ጊዜ በ 4 መከፋፈል አይሰራም። ለዘጠኝ ለመከፋፈል እንሞክር፡. ከዚህ የተነሳ:
ዝግጁ።
ማጠቃለያ፡-ከሥሩ ስር በአጠቃላይ ሊወጣ የማይችል ቁጥር ካገኘን ነገሩን ከሥሩ ስር ለማስወገድ እንሞክራለን - ካልኩሌተር በመጠቀም ቁጥሩ የሚከፋፈል መሆኑን በ 4 ፣ 9 ፣ 16 ፣ 25 ፣ 36 ፣ 49, ወዘተ.
የተለያዩ ችግሮችን በሚፈቱበት ጊዜ ሥረ-ሥሮች ብዙ ጊዜ ይገናኛሉ፤ ሁልጊዜም ከመምህሩ አስተያየት በመነሳት የመፍትሔ ሃሳቦችን በማጠናቀቅ ዝቅተኛ ደረጃን እና አላስፈላጊ ችግሮችን ለማስወገድ ከሥሩ ስር ያሉትን ምክንያቶች ለማውጣት ይሞክሩ።
እንዲሁም ስኩዌር ስሮች እና ሌሎች ሀይሎችን እንድገማቸው፡- 
በአጠቃላይ ቅፅ ከስልጣኖች ጋር ለመስራት የሚረዱ ደንቦች በትምህርት ቤት አልጀብራ የመማሪያ መጽሀፍ ውስጥ ሊገኙ ይችላሉ, ነገር ግን ከተሰጡት ምሳሌዎች ውስጥ ሁሉም ነገር ወይም ሁሉም ነገር ማለት ይቻላል ግልጽ ነው ብዬ አስባለሁ.
በጠፈር ውስጥ ካለው ክፍል ጋር ገለልተኛ መፍትሄ የማግኘት ተግባር፡-
ምሳሌ 4
ነጥቦች እና ተሰጥተዋል. የክፍሉን ርዝመት ይፈልጉ።
መፍትሄው እና መልሱ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው.
የቬክተርን ርዝመት እንዴት ማግኘት ይቻላል?
የአውሮፕላን ቬክተር ከተሰጠ, ርዝመቱ በቀመርው ይሰላል.
የቦታ ቬክተር ከተሰጠ, ርዝመቱ በቀመር ይሰላል 
.