የመስመራዊ ተግባር ቅንጅቶችን መፈለግ። የእኩልታ ቁልቁል እንዴት እንደሚገኝ

>> ሒሳብ፡ መስመራዊ ተግባር እና ግራፍ

መስመራዊ ተግባር እና ግራፍ

በ§ 28 ውስጥ የቀረፅነው የእኩልታ ax + by + c = 0 ግራፍ ለመገንባት ስልተ ቀመር ፣ ለሁሉም ግልፅነት እና እርግጠኛነት ፣ የሂሳብ ሊቃውንት በእውነት አይወዱም። ስለ መጀመሪያዎቹ ሁለት የአልጎሪዝም ደረጃዎች የይገባኛል ጥያቄ ያቀርባሉ። ለምን ይላሉ፣ እኩልታውን ለተለዋዋጭ y ሁለት ጊዜ ፈታው፡ መጀመሪያ ax1 + በ + c = O፣ በመቀጠል ax1 + by + c = O? ወዲያውኑ yን ከእኩል መጥረቢያ + በ + c = 0 መግለፅ የተሻለ አይደለም ፣ ከዚያ ስሌቶችን (እና ፣ ከሁሉም በላይ ፣ ፈጣን) ለማካሄድ ቀላል ይሆናል? እንፈትሽ። አስቀድመን እናስብ እኩልታው 3x - 2y + 6 = 0 (ምሳሌ 2 ከ § 28 ይመልከቱ)።

መስጠት x የተወሰኑ እሴቶችየ y ተዛማጅ እሴቶችን ለማስላት ቀላል ነው. ለምሳሌ, x = 0 y = 3 እናገኛለን; በ x = -2 y = 0 አለን; ለ x = 2 y = 6 አለን; ለ x = 4: y = 9 እናገኛለን።

ነጥቦቹ (0፤ 3)፣ (- 2፣ 0)፣ (2፣ 6) እና (4፣ 9) እንዴት በቀላሉ እና በፍጥነት እንደተገኙ ታያለህ፣ እነዚህም ከ§ 28 በምሳሌ 2 ላይ ተደምጠዋል።

በተመሳሳይ መልኩ, እኩልታ bx - 2y = 0 (ምሳሌ 4 ከ § 28 ይመልከቱ) ወደ ቅጽ 2y = 16 -3x ሊቀየር ይችላል. ተጨማሪ y = 2.5x; ይህንን እኩልነት የሚያሟሉ ነጥቦችን (0; 0) እና (2; 5) ማግኘት አስቸጋሪ አይደለም.

በመጨረሻም ፣ እኩልታ 3x + 2y - 16 = 0 ከተመሳሳይ ምሳሌ ወደ ቅጽ 2y = 16 -3x ሊቀየር ይችላል እና ከዚያ የሚያረካ ነጥቦችን (0; 0) እና (2; 5) ለማግኘት አስቸጋሪ አይደለም ።

አሁን እነዚህን ለውጦች በአጠቃላይ መልክ እንመልከታቸው.

ስለዚህ፣ መስመራዊ እኩልታ (1) በሁለት ተለዋዋጮች x እና y ሁልጊዜ ወደ ቅጹ ሊለወጥ ይችላል።
y = kx + m፣ (2) k፣m ቁጥሮች (መጋጠሚያዎች) ሲሆኑ እና .

ይህ የግል እይታመስመራዊ እኩልታ መስመራዊ ተግባር ተብሎ ይጠራል።

እኩልነትን (2) በመጠቀም የተወሰነ x እሴትን መግለጽ እና ተዛማጅ y እሴትን ማስላት ቀላል ነው። ለምሳሌ፡-

y = 2x + 3. ከዚያም፡-
x = 0 ከሆነ y = 3;
x = 1 ከሆነ y = 5;
x = -1 ከሆነ y = 1;
x = 3 ከሆነ ፣ ከዚያ y = 9 ፣ ወዘተ.

በተለምዶ እነዚህ ውጤቶች በቅጹ ውስጥ ቀርበዋል ጠረጴዛዎች:

ከሠንጠረዡ ሁለተኛ ረድፍ የ y ዋጋዎች የመስመር ተግባር y = 2x + 3 እሴቶች ይባላሉ, በቅደም ተከተል, በ x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.

በቀመር (1) ተለዋዋጮች hnu እኩል ናቸው ፣ ግን በቀመር (2) ውስጥ አይደሉም: የተወሰኑ እሴቶችን ለአንዱ - ተለዋዋጭ x እንመድባቸዋለን ፣ የተለዋዋጭ y ዋጋ በተለዋዋጭ x በተመረጠው እሴት ላይ የተመሠረተ ነው። ስለዚህ, እኛ ብዙውን ጊዜ x ገለልተኛ ተለዋዋጭ (ወይም ክርክር) ነው እንላለን, y ጥገኛ ተለዋዋጭ ነው.

ማስታወሻ: መስመራዊ ተግባር- ይህ ልዩ ዓይነትመስመራዊ እኩልታ ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር። የእኩልታ ግራፍ y - kx + m ፣ ልክ እንደ ማንኛውም መስመራዊ እኩልታ ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር ፣ ቀጥተኛ መስመር ነው - እሱ ደግሞ የመስመራዊ ተግባር ግራፍ y = kx + m ይባላል። ስለዚህ, የሚከተለው ቲዎሪ ትክክለኛ ነው.

ምሳሌ 1.የመስመራዊ ተግባር y = 2x + 3 ግራፍ ይገንቡ።

መፍትሄ። ጠረጴዛ እንሥራ፡-

በሁለተኛው ሁኔታ ፣ እንደ መጀመሪያው ሁኔታ ፣ የቀኖችን ብዛት የሚያመለክት ገለልተኛ ተለዋዋጭ x ፣ እሴቶቹን 1 ፣ 2 ፣ 3 ፣ ... ፣ 16 ብቻ ሊወስድ ይችላል። በእርግጥ x = 16 ከሆነ። ከዚያም ቀመር y = 500 - 30x በመጠቀም እናገኛለን: y = 500 - 30 16 = 20. ይህ ማለት ቀድሞውኑ በ 17 ኛው ቀን 30 ቶን የድንጋይ ከሰል ከመጋዘን ውስጥ ማውጣት አይቻልም, ምክንያቱም በዚህ ቀን 20 ብቻ ነው. ቶን በመጋዘን ውስጥ ይቀራል እና የድንጋይ ከሰል የማስወገድ ሂደት መቆም አለበት። ስለዚህ ፣ የሁለተኛው ሁኔታ የተጣራ የሂሳብ ሞዴል ይህንን ይመስላል።

y = 500 - ZOD:, የት x = 1, 2, 3, .... 16.

በሦስተኛው ሁኔታ ገለልተኛ ተለዋዋጭ x በንድፈ ሀሳብ ማንኛውንም አሉታዊ ያልሆነ እሴት (ለምሳሌ x እሴት = 0፣ x እሴት = 2፣ x እሴት = 3.5፣ ወዘተ) መውሰድ ይችላል፣ በተግባር ግን ቱሪስት አብሮ መሄድ አይችልም የማያቋርጥ ፍጥነትእንቅልፍ ሳይወስዱ ወይም እስከፈለጉት ጊዜ እረፍት ያድርጉ. ስለዚህ በ x ላይ ምክንያታዊ ገደቦችን ማድረግ ነበረብን፣ 0 ይበሉ< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

የጂኦሜትሪክ ሞዴል ጥብቅ ያልሆነ ድርብ አለመመጣጠን 0 መሆኑን አስታውስ< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

“x የ X ነው” ከሚለው ሐረግ ይልቅ ለመጻፍ እንስማማ (አንብብ፡ “ኤለመንት x የስብስብ X ነው”፣ e የአባልነት ምልክት ነው)። እንደምታየው፣ ከሂሳብ ቋንቋ ጋር ያለን ትውውቅ ያለማቋረጥ ይቀጥላል።

መስመራዊ ተግባር y = kx + m መታሰብ ያለበት ለሁሉም የ x እሴቶች አይደለም ፣ ግን ከተወሰነ የ x እሴቶች ብቻ ነው ። የቁጥር ክፍተት X፣ ከዚያም እንዲህ ብለው ይጽፋሉ፡-

ምሳሌ 2. የመስመራዊ ተግባርን ግራፍ፡-

መፍትሄ፣ ሀ) ለመስመር ተግባር y = 2x + 1 ሠንጠረዥ እንስራ

መጋጠሚያውን እንገንባ xOy አውሮፕላንነጥቦች (-3; 7) እና (2; -3) እና በእነሱ በኩል ቀጥታ መስመር ይሳሉ. ይህ የእኩልታው ግራፍ ነው y = -2x: + 1. በመቀጠል, የተገነቡትን ነጥቦች የሚያገናኝ ክፍል ይምረጡ (ምሥል 38). ይህ ክፍል የመስመራዊ ተግባር ግራፍ ነው y = -2x+1፣ wherexe [-3, 2]።

ብዙውን ጊዜ እንዲህ ይላሉ፡- በክፍል [- 3፣2] ላይ መስመራዊ ተግባር y = - 2x + 1 አዘጋጅተናል።

ለ) ይህ ምሳሌ ከቀዳሚው እንዴት ይለያል? የመስመራዊው ተግባር ተመሳሳይ ነው (y = -2x + 1) ይህም ማለት ተመሳሳይ ቀጥተኛ መስመር እንደ ግራፍ ሆኖ ያገለግላል. ግን - ተጠንቀቅ! - በዚህ ጊዜ x e (-3, 2), ማለትም እሴቶች x = -3 እና x = 2 ግምት ውስጥ አይገቡም, የክፍለ ጊዜው ውስጥ አይደሉም (- 3, 2). የክፍተት ጫፎችን በማስተባበር መስመር ላይ እንዴት ምልክት አደረግን? የብርሃን ክበቦች (ምስል 39), ስለዚህ ጉዳይ በ § 26 ውስጥ ተነጋግረናል. በተመሳሳይ, ነጥቦች (- 3; 7) እና B; - 3) በስዕሉ ላይ በብርሃን ክበቦች ላይ ምልክት መደረግ አለበት. ይህ እነዚያ የመስመር ነጥቦች y = - 2x + 1 የሚወሰዱት በክበቦች ምልክት በተደረገባቸው ነጥቦች መካከል መሆኑን ያስታውሰናል (ምስል 40)። ነገር ግን, አንዳንድ ጊዜ እንደዚህ ባሉ አጋጣሚዎች ከብርሃን ክበቦች ይልቅ ቀስቶችን ይጠቀማሉ (ምሥል 41). ይህ መሠረታዊ አይደለም, ዋናው ነገር የሚናገረውን መረዳት ነው.

ምሳሌ 3.በክፍሉ ላይ የመስመራዊ ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴቶችን ያግኙ።
መፍትሄ። ለመስመር ተግባር የሚሆን ጠረጴዛ እንሥራ

እንገንባ አውሮፕላን አስተባባሪ xОу ነጥቦች (0; 4) እና (6; 7) እና በእነሱ በኩል ቀጥታ መስመር ይሳሉ - የመስመራዊ x ተግባር ግራፍ (ምስል 42).

ይህንን የመስመራዊ ተግባር በአጠቃላይ ሳይሆን በአንድ ክፍል ላይ ማለትም ለ x e.

የግራፉ ተጓዳኝ ክፍል በስዕሉ ላይ ጎልቶ ይታያል. እኛ የተመረጠው ክፍል ንብረት ነጥቦች መካከል ትልቁ ordinate 7 ጋር እኩል መሆኑን እናስተውላለን - ይህ ነው ከፍተኛ ዋጋበክፍሉ ላይ የመስመር ተግባር. ብዙውን ጊዜ የሚከተለው ምልክት ጥቅም ላይ ይውላል: y max = 7.

በስእል 42 ላይ የተገለጸው የመስመሩ ክፍል ንብረት የሆኑት ነጥቦች ትንሹ ordinate ከ 4 ጋር እኩል መሆኑን እናስተውላለን - ይህ በክፍሉ ላይ ያለው የመስመራዊ ተግባር ትንሹ እሴት ነው።
ብዙውን ጊዜ የሚከተለው ምልክት ጥቅም ላይ ይውላል: y ስም. = 4.

ምሳሌ 4. y naib እና y naim ያግኙ። ለመስመር ተግባር y = -1.5x + 3.5

ሀ) በክፍሉ ላይ; ለ) በጊዜ ክፍተት (1.5);
ሐ) በግማሽ ክፍተት.

መፍትሄ። ለመስመር ተግባር y = -l.5x + 3.5 ሠንጠረዥ እንሥራ፡

በ xOy መጋጠሚያ አውሮፕላን ላይ ነጥቦችን (1; 2) እና (5; - 4) እንገንባ እና በእነሱ በኩል ቀጥታ መስመር እንሳል (ምስል 43-47). በተሰራው ቀጥታ መስመር ላይ ከ x እሴቶች ጋር የሚዛመደውን ክፍል ከክፍል (ምስል 43) ፣ ከመካከል A ፣ 5 (ምስል 44) ፣ ከግማሽ-ጊዜ (ምስል 47) እንመርጥ ።

ሀ) ምስል 43 ን በመጠቀም y max = 2 (የመስመሪያው ተግባር በ x = 1) እና y ደቂቃ ላይ ይደርሳል ብሎ መደምደም ቀላል ነው። = - 4 (የመስመሪያው ተግባር በ x = 5 እሴት ላይ ይደርሳል).

ለ) ምስል 44 ን በመጠቀም መደምደሚያ ላይ እንሆናለን-ይህ ቀጥተኛ ተግባር በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ውስጥ ትልቁም ትንሹም እሴት የለውም። ለምን? እውነታው ግን ከቀደምት ጉዳይ በተለየ ትልቁ እና ትንሹ እሴቶች የተደረሰባቸው የክፍሉ ሁለቱም ጫፎች ከግምት የተገለሉ ናቸው።

ሐ) ምስል 45 ን በመጠቀም y max. = 2 (እንደ መጀመሪያው ሁኔታ), እና ዝቅተኛው ዋጋመስመራዊው ተግባር አይሰራም (እንደ ሁለተኛው ጉዳይ).

መ) ምስል 46 ን በመጠቀም y max = 3.5 (የመስመሪያው ተግባር በ x = 0 ላይ ይደርሳል) እና y max. አልተገኘም.

ሠ) ስእል 47ን በመጠቀም y max = -1 (የመስመሪያው ተግባር በ x = 3 ላይ ይደርሳል) እና y max. የለም.

ምሳሌ 5. የመስመር ተግባርን ይሳሉ

y = 2x - 6. የሚከተሉትን ጥያቄዎች ለመመለስ ግራፉን ይጠቀሙ፡-

ሀ) በየትኛው የ x will y = 0 ዋጋ?
ለ) ለየትኞቹ የ x will y > 0 ዋጋዎች?
ሐ) በየትኛው የ x will y< 0?

መፍትሄ፡ ለመስመሪያው ተግባር y = 2x-6 ሠንጠረዥ እንሥራ፡-

በነጥቦቹ በኩል (0; - 6) እና (3; 0) ቀጥታ መስመር እንሰራለን - የተግባር ግራፍ y = 2x - 6 (ምስል 48).

ሀ) y = 0 በ x = 3. ግራፉ የ x ዘንግ በ x = 3 ላይ ያቋርጣል ፣ ይህ ከ ordinate y = 0 ጋር ያለው ነጥብ ነው።
ለ) y > 0 ለ x > 3. እንደውም x > 3 ከሆነ ቀጥታ መስመር የሚገኘው ከ x ዘንግ በላይ ነው ይህ ማለት ተራዎቹ ማለት ነው። ተዛማጅ ነጥቦችቀጥተኛ አዎንታዊ ናቸው.

ሐ) በ< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

እባክዎን በዚህ ምሳሌ ውስጥ ለመፍታት ግራፉን ተጠቅመንበታል፡-

ሀ) እኩልታ 2x - 6 = 0 ( x = 3 አግኝተናል);
ለ) እኩልነት 2x - 6> 0 ( x > 3 አግኝተናል);
ሐ) አለመመጣጠን 2x - 6< 0 (получили х < 3).

አስተያየት። በሩሲያኛ, ተመሳሳይ ነገር ብዙውን ጊዜ በተለየ መንገድ ይጠራል, ለምሳሌ "ቤት", "ህንፃ", "መዋቅር", "ጎጆ", "ማስያ", "ባርክ", "ሻክ", "ጎጆ". በሒሳብ ቋንቋ ሁኔታው ​​በግምት ተመሳሳይ ነው። በላቸው፣ ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር ያለው እኩልነት y = kx + m፣ k፣ m የተወሰኑ ቁጥሮች ሲሆኑ፣ መስመራዊ ተግባር ተብሎ ሊጠራ ይችላል፣ ሊጠራ ይችላል። መስመራዊ እኩልታበሁለት ተለዋዋጮች x እና y (ወይም በሁለት የማይታወቁ x እና y)፣ ቀመር ተብሎ ሊጠራ ይችላል፣ x እና y ግንኙነት ተብሎ ሊጠራ ይችላል፣ በመጨረሻም በ x እና y መካከል ጥገኝነት ሊባል ይችላል። ምንም አይደለም, ዋናው ነገር በሁሉም ሁኔታዎች ውስጥ መሆኑን መረዳት ነው እያወራን ያለነውኦ የሂሳብ ሞዴል y = kx + ሜትር

.

በስእል 49 ላይ የሚታየውን የመስመራዊ ተግባሩን ግራፍ አስቡ። በዚህ ግራፍ ከግራ ወደ ቀኝ ከተንቀሳቀስን “ወደ ኮረብታ እየወጣን” እንደሚመስለው በግራፉ ላይ ያሉት የነጥብ ምልክቶች በየጊዜው እየጨመሩ ነው። እንደዚህ ባሉ ጉዳዮች ላይ የሂሳብ ሊቃውንት መጨመር የሚለውን ቃል ይጠቀማሉ እና እንዲህ ይላሉ፡ k>0 ከሆነ መስመራዊ ተግባር y = kx + m ይጨምራል።

በስእል 49 ላይ የሚታየውን የመስመራዊ ተግባርን ግራፍ አስቡ። በዚህ ግራፍ ከግራ ወደ ቀኝ ከተንቀሳቀስን “በኮረብታ ላይ እንደምንወርድ” ያህል በግራፉ ላይ ያሉት የነጥብ ምልክቶች በየጊዜው እየቀነሱ ናቸው። እንደዚህ ባሉ አጋጣሚዎች የሂሳብ ሊቃውንት ቅነሳ የሚለውን ቃል ይጠቀማሉ እና እንዲህ ይላሉ፡- k ከሆነ< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

በህይወት ውስጥ የመስመር ተግባር

አሁን ይህን ርዕስ ጠቅለል አድርገን እንየው። እንደ መስመራዊ ተግባር ከእንደዚህ ዓይነት ጽንሰ-ሀሳብ ጋር ቀድሞውኑ ተዋወቅን ፣ ባህሪያቱን እናውቃለን እና ግራፎችን እንዴት እንደሚገነቡ ተምረናል። እንዲሁም፣ የመስመራዊ ተግባር ልዩ ጉዳዮችን ተመልክተሃል እና በምን ላይ የተመካ እንደሆነ ታውቃለህ የጋራ ዝግጅትየመስመራዊ ተግባራት ግራፎች. ግን በእኛ ውስጥ ተለወጠ የዕለት ተዕለት ኑሮእኛም ከዚህ የሂሳብ ሞዴል ጋር ያለማቋረጥ እንገናኛለን።

እንደ መስመራዊ ተግባራት ከእንደዚህ ዓይነት ጽንሰ-ሀሳብ ጋር ምን እውነተኛ የሕይወት ሁኔታዎች እንደሚዛመዱ እናስብ? እና እንዲሁም, በምን መጠን ወይም መካከል የሕይወት ሁኔታዎችምናልባት ቀጥተኛ ግንኙነት መመስረት ይቻላል?

ብዙዎቻችሁ ምናልባት መስመራዊ ተግባራትን ለምን ማጥናት እንደሚያስፈልጋቸው በደንብ ላይረዱ ይችላሉ ፣ ምክንያቱም በ ውስጥ ጠቃሚ ሊሆን የማይችል ነው ። በኋላ ሕይወት. ግን እዚህ በጣም ተሳስተዋል ፣ ምክንያቱም ሁል ጊዜ እና በሁሉም ቦታ ተግባራት ያጋጥሙናል። ምክንያቱም መደበኛ ወርሃዊ ኪራይ እንኳን በብዙ ተለዋዋጮች ላይ የተመሰረተ ተግባር ነው። እና እነዚህ ተለዋዋጮች የካሬ ቀረጻ፣ የነዋሪዎች ብዛት፣ ታሪፎች፣ የኤሌክትሪክ አጠቃቀም ወዘተ ያካትታሉ።

እርግጥ ነው, በጣም የተለመዱ ተግባራት ምሳሌዎች መስመራዊ ጥገኛያጋጠመን የሂሳብ ትምህርቶች ናቸው።

እኔ እና እርስዎ በመኪና፣ በባቡር ወይም በእግረኛ የሚጓዙትን ርቀቶች በተወሰነ ፍጥነት ያገኘንባቸውን ችግሮች ፈትተናል። እነዚህ የእንቅስቃሴ ጊዜ ቀጥተኛ ተግባራት ናቸው. ነገር ግን እነዚህ ምሳሌዎች በሂሳብ ላይ ብቻ ሳይሆን በዕለት ተዕለት ሕይወታችን ውስጥም ይገኛሉ.

የወተት ተዋጽኦዎች የካሎሪ ይዘት በስብ ይዘት ላይ የተመሰረተ ነው, እና እንዲህ ዓይነቱ ጥገኝነት አብዛኛውን ጊዜ ቀጥተኛ ተግባር ነው. ለምሳሌ, በአኩሪ ክሬም ውስጥ ያለው የስብ መጠን መቶኛ ሲጨምር, የምርቱ የካሎሪ ይዘትም ይጨምራል.

አሁን ስሌቶችን እናድርግ እና የእኩልታዎችን ስርዓት በመፍታት የ k እና b እሴቶችን እንፈልግ-

አሁን የጥገኛ ቀመሩን እናውጣ፡-

በውጤቱም, ቀጥተኛ ግንኙነት አግኝተናል.

በሙቀት መጠን ላይ በመመርኮዝ የድምፅ ስርጭትን ፍጥነት ለማወቅ ቀመሩን በመጠቀም v = 331 +0.6t, v ፍጥነቱ (በ m / s), t የሙቀት መጠን ነው. የዚህን ግንኙነት ግራፍ ከሳልን, መስመራዊ እንደሚሆን እናያለን, ማለትም, ቀጥተኛ መስመርን ይወክላል.

እና የመሳሰሉት ተግባራዊ አጠቃቀሞችበመስመራዊ አተገባበር ውስጥ እውቀት ተግባራዊ ጥገኝነትዝርዝሩ ብዙ ጊዜ ሊወስድ ይችላል። ከስልክ ክፍያ ጀምሮ፣ የፀጉር ርዝመት እና እድገት፣ እና በሥነ-ጽሑፍ ውስጥ ያሉ ምሳሌዎች እንኳን። እና ይህ ዝርዝር ይቀጥላል እና ይቀጥላል.

የቀን መቁጠሪያ - ቲማቲክ እቅድ በሂሳብ ፣ ቪዲዮበሂሳብ ኦንላይን ፣ ሒሳብ በትምህርት ቤት ማውረድ

A.V. Pogorelov, ጂኦሜትሪ ለ 7-11 ኛ ክፍል, ለትምህርት ተቋማት የመማሪያ መጽሀፍ

የመስመር ተግባር ፍቺ

የመስመራዊ ተግባርን ፍቺ እናስተዋውቅ

ፍቺ

የቅጹ $y=kx+b$ ተግባር፣$k$ ዜሮ ያልሆነበት፣ መስመራዊ ተግባር ይባላል።

የመስመራዊ ተግባር ግራፍ ቀጥተኛ መስመር ነው። ቁጥሩ $k$ የመስመሩ ቁልቁል ይባላል።

$b=0$ ሲሆን የመስመር ተግባሩ ቀጥተኛ ተመጣጣኝነት $y=kx$ ይባላል።

ምስል 1ን ተመልከት።

ሩዝ. 1. የመስመሩ ተዳፋት ጂኦሜትሪክ ትርጉም

እስቲ እናስብ ትሪያንግል ኤቢሲ. ያንን $ВС=kx_0+b$ አይተናል። የመስመሩን መገናኛ ነጥብ $y=kx+b$ ከዘንጉ $Ox$ ጋር እንፈልግ፡-

\ \

ስለዚህ $AC=x_0+\frac(b)(k)$። የእነዚህን ጎኖች ጥምርታ እንፈልግ፡-

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k)=\frac(k(kx_0+b)))((kx)_0+b)=k \]

በሌላ በኩል፣ $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$።

ስለዚህ, የሚከተለውን መደምደሚያ ልንደርስ እንችላለን.

ማጠቃለያ

ጂኦሜትሪክ ትርጉምዋጋ $k$. ተዳፋት ምክንያትቀጥታ $k$ ከታንጀንት ጋር እኩል ነውየዚህ ቀጥተኛ መስመር አቅጣጫ ወደ $ Ox$ ዘንግ.

የመስመር ተግባር $f በግራ(x\ቀኝ)=kx+b$ እና ግራፉ ላይ ጥናት

በመጀመሪያ $k> 0$ የሚለውን ተግባር $f ግራ(x\right)=kx+b$ አስቡበት።

1. $f"\ግራ(x\ቀኝ)=(\ግራ(kx+b\ቀኝ))"=k>0$። ስለዚህም እ.ኤ.አ. ይህ ተግባርበጠቅላላው የትርጉም ጎራ ውስጥ ይጨምራል። ምንም ጽንፈኛ ነጥቦች የሉም።
2. $(\mathop(ሊም)_(x\to -\infty) kx\)=-\infty $, $(\mathop(ሊም)_(x\to +\infty) kx\ )=+\infty $
3. ግራፍ (ምስል 2).

ሩዝ. 2. የተግባሩ ግራፎች $y=kx+b$፣ ለ$k > 0$።

አሁን የ$k ግራ(x\right)=kx$ የሚለውን ተግባር አስቡበት

1. የትርጉም ጎራ ሁሉም ቁጥሮች ነው።
2. የእሴቶቹ ክልል ሁሉም ቁጥሮች ናቸው።
3. $f\ግራ(-x\ቀኝ)=-kx+b$። ተግባሩ እንኳን ያልተለመደም አይደለም.
4. ለ$x=0፣f\ግራ(0\ቀኝ)=b$። መቼ $y=0.0=kx+b፣\ x=-\frac(b)(k)$።

የማቋረጫ ነጥቦች ከመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ጋር፡$\ግራ(-\frac(b)(k)\ቀኝ)$ እና $\ግራ(0፣\b\ቀኝ)$

1. $f"\ግራ(x\ቀኝ)=(\ግራ(kx\ቀኝ))"=k
2. $f^("")\ግራ(x\right)=k"=0$።ስለዚህ ተግባሩ ምንም የማስተላለፊያ ነጥቦች የሉትም።
3. $(\mathop(ሊም)_(x\to -\infty) kx\)=+\infty $, $(\mathop(ሊም)_(x\to +\infty) kx\ )=-\infty $
4. ግራፍ (ምስል 3).

መመሪያዎች

የመስመር ተግባራትን ለመፍታት በርካታ መንገዶች አሉ። አብዛኞቹን እንዘርዝራቸው። ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል ደረጃ በደረጃ ዘዴመተኪያዎች. በአንደኛው እኩልታዎች ውስጥ አንዱን ተለዋዋጭ ከሌላው አንፃር መግለጽ እና ወደ ሌላ እኩልነት መተካት አስፈላጊ ነው. እና ስለዚህ በአንዱ እኩልታዎች ውስጥ አንድ ተለዋዋጭ ብቻ እስኪቀር ድረስ። እሱን ለመፍታት በእኩል ምልክት በአንድ በኩል ተለዋዋጭ መተው ያስፈልግዎታል (ከኮፊሸን ጋር ሊሆን ይችላል) እና በእኩል ምልክት በሌላኛው በኩል ሁሉንም የቁጥር መረጃዎችን ፣ የቁጥሩን ምልክት ወደ መለወጥ መርሳት የለብዎትም። በሚተላለፉበት ጊዜ ተቃራኒው. አንድ ተለዋዋጭ ካሰሉ በኋላ ወደ ሌሎች መግለጫዎች ይተኩ እና ተመሳሳይ ስልተ ቀመር በመጠቀም ስሌቶችን ይቀጥሉ።

ለምሳሌ፣ መስመራዊ ሥርዓትን እንውሰድ ተግባራትሁለት እኩልታዎችን የያዘ፡-
2x+y-7=0;
x-y-2=0
ከሁለተኛው እኩልታ xን ለመግለፅ አመቺ ነው፡-
x=y+2
እንደሚመለከቱት, ከእኩልነት ወደ ሌላ ክፍል ሲተላለፉ, ከላይ እንደተገለፀው የy እና ተለዋዋጮች ምልክት ተለውጧል.
የተገኘውን አገላለጽ ወደ መጀመሪያው እኩልታ እንተካለን፣ ስለዚህም ተለዋዋጭ xን ከእሱ ሳያካትት፡-
2*(y+2)+y-7=0።
ቅንፎችን ማስፋፋት;
2ይ+4+y-7=0።
ተለዋዋጮችን እና ቁጥሮችን ሰብስበን እንጨምራቸዋለን፡-
3у-3=0
ወደ እኩልታው በቀኝ በኩል እናንቀሳቅሰዋለን እና ምልክቱን እንለውጣለን:
3ይ=3
በአጠቃላዩ ቅንጅት እንካፈላለን፡-
y=1
የተገኘውን እሴት ወደ መጀመሪያው አገላለጽ እንተካለን፡-
x=y+2
x=3 እናገኛለን።

ተመሳሳይ የሆኑትን የመፍታት ሌላኛው መንገድ ሁለት እኩልታዎችን በጊዜ ቃል በመጨመር አዲስ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ማግኘት ነው። እኩልታው በተወሰነ መጠን ሊባዛ ይችላል, ዋናው ነገር እያንዳንዱን የእኩልታ አባል ማባዛት እና አለመዘንጋት እና ከዚያ አንድ እኩልታ መጨመር ወይም መቀነስ ነው. መስመራዊ ሲፈልጉ ይህ ዘዴ በጣም ኢኮኖሚያዊ ነው ተግባራት.

ቀደም ሲል የታወቀውን የእኩልታዎች ስርዓት ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር እንውሰድ፡-
2x+y-7=0;
x-y-2=0
የተለዋዋጭ y ጥምርታ በመጀመሪያው እና ሁለተኛ እኩልታዎች አንድ አይነት እና በምልክት ብቻ የሚለያይ መሆኑን በቀላሉ መገንዘብ ቀላል ነው። ይህ ማለት እነዚህን ሁለት እኩልታዎች በተርታ ስንጨምር አዲስ እናገኛለን፣ ግን ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር።
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0።
የቁጥር መረጃን ወደ እኛ እናስተላልፋለን። በቀኝ በኩልእኩልታዎች ፣ ምልክቱን መለወጥ;
3x=9።
እናገኛለን የጋራ ብዜት, ከቁጥር ጋር እኩል ነው።, በ x ላይ ቆመው እና የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በእሱ ይከፋፍሉት:
x=3
ውጤቱን y ለማስላት በማናቸውም የስርዓት እኩልታዎች ሊተካ ይችላል፡-
x-y-2=0;
3-у-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1

ትክክለኛ ግራፍ በመፍጠር መረጃን ማስላትም ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ ዜሮዎችን ማግኘት ያስፈልግዎታል ተግባራት. ከተለዋዋጮች ውስጥ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ, እንዲህ ዓይነቱ ተግባር ተመሳሳይነት ይባላል. እንደነዚህ ያሉትን እኩልታዎች ከፈቱ, ቀጥተኛ መስመርን ለመገንባት አስፈላጊ እና በቂ የሆኑ ሁለት ነጥቦችን ያገኛሉ - ከመካከላቸው አንዱ በ x-ዘንግ ላይ, ሌላኛው ደግሞ በ y-ዘንግ ላይ ይገኛል.

የስርዓቱን ማንኛውንም እኩልታ ወስደን እሴቱን x=0 እንተካለን።
2*0+y-7=0;
y=7 እናገኛለን። ስለዚህ, የመጀመሪያው ነጥብ, እንጠራው A, መጋጠሚያዎች A (0;7) ይኖረዋል.
በ x-ዘንግ ላይ የተኛን ነጥብ ለማስላት y=0 እሴትን ወደ ስርዓቱ ሁለተኛ እኩልታ ለመተካት ምቹ ነው።
x-0-2=0;
x=2
ሁለተኛው ነጥብ (B) መጋጠሚያዎች B (2; 0) ይኖራቸዋል.
በርቷል መጋጠሚያ ፍርግርግየተገኙትን ነጥቦች ምልክት እናደርጋለን እና በእነሱ በኩል ቀጥ ያለ መስመር እንይዛለን. በትክክል በትክክል ካስቀመጡት, ሌሎች የ x እና y እሴቶች ከእሱ በቀጥታ ሊሰሉ ይችላሉ.

መመሪያዎች

ግራፉ በመጋጠሚያዎች አመጣጥ ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር ከሆነ እና ከኦክስ ዘንግ ጋር (የቀጥታ መስመር ወደ አወንታዊ ከፊል ዘንግ ኦክስ) ያለው አንግል α ይፈጥራል። ይህንን መስመር የሚገልጸው ተግባር y = kx ቅጽ ይኖረዋል። የተመጣጠነ ጥምርታ k ከ tan α ጋር እኩል ነው። ቀጥ ያለ መስመር በ 2 ኛ እና 4 ኛ መጋጠሚያ ሩብ ውስጥ ካለፈ ፣ ከዚያ k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 እና ተግባሩ እየጨመረ ነው ቀጥ ያለ መስመር የሚገኝ ይሁን በተለያዩ መንገዶችከማስተባበር መጥረቢያዎች አንጻር. ይህ መስመራዊ ተግባር ነው እና y = kx + b ቅጽ አለው፣ ተለዋዋጮች x እና y ወደ መጀመሪያው ኃይል ሲሆኑ k እና b አዎንታዊ ወይም አሉታዊ ሊሆኑ ይችላሉ። አሉታዊ እሴቶችወይም ከዜሮ ጋር እኩል ነው. መስመሩ ከመስመሩ y = kx ጋር ትይዩ ነው እና በዘንጉ |b| ይቋረጣል ክፍሎች. መስመሩ ከአብሲሳ ዘንግ ጋር ትይዩ ከሆነ፣ ከዚያም k = 0፣ ordinate axis ከሆነ፣ እኩልታው x = const የሚል ቅጽ አለው።

በተለያዩ ክፍሎች ውስጥ የሚገኙ ሁለት ቅርንጫፎችን ያቀፈ እና ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ አንጻር ሲምሜትሪክ ያለው ኩርባ ሃይፐርቦላ ነው። ይህ ገበታ የተገላቢጦሽ ግንኙነትተለዋዋጭ y ከ x እና በቀመር y = k/x ይገለጻል። እዚህ k ≠ 0 የተመጣጠነ ቅንጅት ነው። ከዚህም በላይ k> 0 ከሆነ ተግባሩ ይቀንሳል; k ከሆነ< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

ኳድራቲክ ተግባር y = ax2 + bx + c ቅጽ አለው፣ ሀ፣ b እና c ቋሚ መጠኖች እና  0. ሁኔታው ​​b = c = 0 ከተሟላ፣ የተግባር እኩልታው y = ax2 ይመስላል። ቀላሉ ጉዳይ) እና ግራፉ በመነሻው ውስጥ የሚያልፍ ፓራቦላ ነው። የተግባሩ ግራፍ y = ax2 + bx + c ከተግባሩ በጣም ቀላሉ ጉዳይ ጋር አንድ አይነት ቅርጽ አለው, ነገር ግን ቁመቱ (ከ OY ዘንግ ጋር ያለው የመገናኛ ነጥብ) በመነሻው ላይ አይተኛም.

ግራፉ እንዲሁ ፓራቦላ ነው። የኃይል ተግባር, በቀመርው ተገልጿል y = xⁿ፣ n ካለ ሙሉ ቁጥር. n ማንኛውም ከሆነ ኢተጋማሽ ቁጥር, የእንደዚህ አይነት የኃይል ተግባር ግራፍ እንደ ኪዩቢክ ፓራቦላ ይመስላል.
n ማንኛውም ከሆነ፣ የተግባር ቀመር ቅጹን ይወስዳል። ለ odd n የተግባሩ ግራፍ ሃይፐርቦላ ይሆናል, እና ለ n እንኳን ቅርንጫፎቻቸው ከኦፕ ዘንግ አንጻር የተመጣጠነ ይሆናል.

እንዲሁም ውስጥ የትምህርት ዓመታትተግባራቶቹ በዝርዝር የተጠኑ ሲሆን ግራፎችም ተገንብተዋል. ግን እንደ አለመታደል ሆኖ የአንድን ተግባር ግራፍ እንዴት ማንበብ እንደሚችሉ እና ከቀረበው ሥዕል ላይ ዓይነቱን እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ በተግባር አያስተምሩም። መሠረታዊ የሆኑትን የተግባር ዓይነቶች ካስታወሱ በጣም ቀላል ነው።

መመሪያዎች

የቀረበው ግራፍ ከሆነ, ይህም በመጋጠሚያዎች አመጣጥ እና ከኦክስ ዘንግ አንግል α (የቀጥታ መስመር ወደ አወንታዊው ከፊል ዘንግ የማዘንበል አንግል ነው), ከዚያም እንዲህ ዓይነቱን ቀጥተኛ መስመር የሚገልጽ ተግባር ይሆናል. እንደ y = kx ቀርቧል። በዚህ ሁኔታ, የተመጣጠነ ጥምርታ k ከማዕዘን α ታንጀንት ጋር እኩል ነው.

የተሰጠው መስመር በሁለተኛው እና በአራተኛው መጋጠሚያ ሩብ ውስጥ ካለፈ ፣ ከዚያ k ከ 0 ጋር እኩል ነው እና ተግባሩ ይጨምራል። የቀረበው ግራፍ ከማስተባበር መጥረቢያዎች አንጻር በማንኛውም መንገድ የሚገኝ ቀጥተኛ መስመር ይሁን። ከዚያም የእንደዚህ አይነት ተግባር ግራፊክ ጥበቦችመስመራዊ ይሆናል፣ እሱም በቅጹ y = kx + b የሚወከለው፣ y እና x ተለዋዋጮች በመጀመሪያው ላይ ሲሆኑ b እና k ሁለቱንም አሉታዊ እና ሊወስዱ ይችላሉ። አዎንታዊ እሴቶችወይም.

መስመሩ በግራፍ y = kx ካለው መስመር ጋር ትይዩ ከሆነ እና በ ordinate ዘንግ ላይ b ክፍሎችን ከቆረጠ ፣ እኩልታው x = const ቅጽ አለው ፣ ግራፉ ከ abscissa ዘንግ ጋር ትይዩ ከሆነ ፣ ከዚያ k = 0።

ሁለት ቅርንጫፎችን ያቀፈ የተጠማዘዘ መስመር፣ ስለ መነሻው የተመጣጠነ እና በተለያዩ ክፍሎች ውስጥ የሚገኝ፣ ሃይፐርቦላ ነው። እንዲህ ዓይነቱ ግራፍ የተለዋዋጭ y በተለዋዋጭ x ላይ ያለውን የተገላቢጦሽ ጥገኝነት ያሳያል እና በ y = k/x ቅፅ እኩል ይገለጻል፣ k መሆን የለበትም ከዜሮ ጋር እኩል ነው።ኮፊፊሸን ስለሆነ የተገላቢጦሽ ተመጣጣኝነት. ከዚህም በላይ የ k ዋጋ ከዜሮ በላይ ከሆነ ተግባሩ ይቀንሳል; k ከዜሮ በታች ከሆነ ይጨምራል።

የታቀደው ግራፍ በመነሻው ውስጥ የሚያልፍ ፓራቦላ ከሆነ, ተግባሩ, በ b = c = 0 ሁኔታ መሰረት, y = ax2 ቅጽ ይኖረዋል. ይህ በጣም ቀላሉ ጉዳይ ነው ኳድራቲክ ተግባር. የቅጹ y = ax2 + bx + c የተግባር ግራፍ በጣም ቀላል ከሆነው ጉዳይ ጋር አንድ አይነት ይሆናል, ሆኖም ግን, ወርድ (ግራፉ የተርጓሚውን ዘንግ የሚያቋርጥበት ነጥብ) በመነሻው ላይ አይሆንም. ባለአራት ተግባር፣ በቅጹ y = ax2 + bx + c የተወከለው፣ የ a፣ b እና c እሴቶች ቋሚ ናቸው፣ a ግን ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም።

ፓራቦላ እንዲሁ በ y = xⁿ ቅጽ ቀመር የሚገለጽ የኃይል ተግባር ግራፍ ሊሆን የሚችለው n ማንኛውም እኩል ቁጥር ከሆነ ብቻ ነው። የ n ዋጋ ያልተለመደ ቁጥር ከሆነ, እንዲህ ዓይነቱ የኃይል ተግባር ግራፍ በኩቢ ፓራቦላ ይወከላል. ሁኔታ ውስጥ ተለዋዋጭ n ማንኛውም አሉታዊ ቁጥር, የተግባሩ እኩልነት ቅጹን ይወስዳል.

በርዕሱ ላይ ቪዲዮ

በአውሮፕላኑ ላይ ያለው የማንኛውም ነጥብ ቅንጅት የሚወሰነው በሁለት መጠኖች ነው-በአብስሲሳ ዘንግ እና በ ordinate axis። ብዙ እንደዚህ ያሉ ነጥቦች ስብስብ የተግባርን ግራፍ ይወክላል. ከእሱ በኤክስ እሴት ለውጥ ላይ በመመስረት የ Y እሴት እንዴት እንደሚቀየር ማየት ይችላሉ ። እንዲሁም በየትኛው ክፍል (መሃል) ውስጥ ተግባሩ እንደሚጨምር እና በየትኛው ውስጥ እንደሚቀንስ መወሰን ይችላሉ።

መመሪያዎች

ግራፉ ቀጥተኛ መስመር ከሆነ ስለ አንድ ተግባር ምን ማለት ይችላሉ? ይህ መስመር በተቀናጀው የመነሻ ነጥብ (ማለትም፣ የ X እና Y እሴቶች ከ0 ጋር እኩል የሆኑበት) የሚያልፍ ከሆነ ይመልከቱ። ካለፈ, እንዲህ ዓይነቱ ተግባር በቀመር y = kx ይገለጻል. የ k ዋጋ በጨመረ መጠን ወደ ordinate ዘንግ በቀረበ መጠን ይህ ቀጥተኛ መስመር እንደሚገኝ መረዳት ቀላል ነው። እና የ Y ዘንግ ራሱ በትክክል ማለቂያ የለውም ትልቅ ጠቀሜታ ያለውክ.

ተግባሩን y=k/y አስቡበት። የዚህ ተግባር ግራፍ መስመር ነው, በሂሳብ ውስጥ ሃይፐርቦላ ይባላል. አጠቃላይ ቅጽ hyperbolas ከዚህ በታች ባለው ስእል ውስጥ ይታያሉ. (ግራፉ የሚያሳየው ተግባር y እኩል k በ x ሲካፈል፣ ለዚህም k አንድ ነው።)

ግራፉ ሁለት ክፍሎችን ያቀፈ መሆኑን ማየት ይቻላል. እነዚህ ክፍሎች የሃይፐርቦላ ቅርንጫፎች ይባላሉ. በተጨማሪም እያንዳንዱ የሃይፐርቦላ ቅርንጫፍ ወደ አንዱ አቅጣጫ ወደ አንድ አቅጣጫ መቅረብ እና ወደ አስተባባሪ መጥረቢያዎች መቅረብ ትኩረት ሊሰጠው የሚገባ ጉዳይ ነው. በዚህ ጉዳይ ላይ ያሉ አስተባባሪ መጥረቢያዎች asymptotes ይባላሉ.

በአጠቃላይ የአንድ ተግባር ግራፍ ወሰን በሌለው መልኩ የሚቀርብባቸው ነገር ግን የማይደርሱባቸው ማንኛውም ቀጥተኛ መስመሮች asymptotes ይባላሉ። ሃይፐርቦላ፣ ልክ እንደ ፓራቦላ፣ የሲሜትሪ መጥረቢያዎች አሉት። ከላይ በስዕሉ ላይ ለሚታየው ሃይፐርቦላ ይህ መስመር y=x ነው።

አሁን ሁለቱን እንይ አጠቃላይ ጉዳዮችግትርነት። የተግባሩ ግራፍ y = k/x ፣ ለ k ≠0 ፣ ቅርንጫፎቹ በመጀመሪያ እና በሦስተኛው መጋጠሚያ ማዕዘኖች ፣ ለ k> 0 ፣ ወይም በሁለተኛው እና በአራተኛው መጋጠሚያ ማዕዘኖች ውስጥ የሚገኙት ሃይፐርቦላ ይሆናል ። ለ k<0.

የተግባሩ መሰረታዊ ባህሪያት y = k/x, ለ k> 0

የተግባሩ ግራፍ y = k/x፣ ለ k>0

5. y>0 በ x>0; y6. ተግባራቱ በሁለቱም ክፍተቶች (-∞;0) እና በክፍተቱ (0+∞) ላይ ይቀንሳል።

10. የተግባሩ የእሴቶች ክልል ሁለት ክፍት ክፍተቶች (-∞;0) እና (0+∞) ነው።

የተግባሩ መሰረታዊ ባህሪያት y = k/x, ለ k<0

የተግባሩ ግራፍ y = k/x፣ በ k<0

1. ነጥብ (0;0) የሃይፐርቦላ የሲሜትሪ ማእከል ነው.

2. መጥረቢያዎችን ያስተባብሩ - የሃይፐርቦላ ምልክቶች.

4. የተግባሩ ፍቺ ጎራ ከ x=0 በስተቀር ሁሉም ነው።

5. y>0 በ x0።

6. ተግባራቱ በሁለቱም ክፍተቶች (-∞; 0) እና በክፍተቱ (0 +∞) ላይ ይጨምራል.

7. ተግባሩ ከታች ወይም ከላይ የተገደበ አይደለም.

8. አንድ ተግባር ከፍተኛ ወይም ዝቅተኛ ዋጋ የለውም።

9. ተግባራቱ በክፍተቱ (-∞; 0) እና በክፍተቱ (0 +∞) ላይ ቀጣይ ነው. በ x=0 ላይ ክፍተት አለው።