የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የመጀመሪያ እና ማዕከላዊ አፍታዎች። ላልተሰበሰበ ውሂብ ማዕከላዊ እሴቶችን በማስላት ላይ

የመነሻ ጊዜ ክ ኛ ማዘዝ የዘፈቀደ ተለዋዋጭX X ክ :

በተለየ ሁኔታ,

ማዕከላዊ አፍታ ክ ኛ ማዘዝ የዘፈቀደ ተለዋዋጭXየብዛቱ የሒሳብ ጥበቃ ተብሎ ይጠራል ክ :

. (5.11)

በተለየ ሁኔታ,

የሒሳብ ጥበቃ እና መበታተን ትርጓሜዎችን እና ባህሪያትን በመጠቀም ያንን ማግኘት እንችላለን

,

,

ከፍተኛ የትዕዛዝ ጊዜዎች እምብዛም ጥቅም ላይ አይውሉም.

የነሲብ ተለዋዋጭ ስርጭት ከሂሳብ ጥበቃ አንፃር የተመጣጠነ ነው ብለን እናስብ። ከዚያ ሁሉም ያልተለመዱ ማእከሎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው። ይህ ሊገለጽ የሚችለው ለእያንዳንዱ የዝውውር X-M [X] አወንታዊ እሴት (በስርጭቱ ሲምሜትሪ ምክንያት) በፍፁም እሴት እኩል የሆነ አሉታዊ እሴት ነው ፣ እና የእነሱ ዕድል ተመሳሳይ ይሆናል። ማዕከላዊው ቅጽበት ያልተለመደ ቅደም ተከተል ከሆነ እና ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ ፣ ይህ የስርጭቱን ተመሳሳይነት ያሳያል እና በትልቁ ቅጽበት ፣ asymmetry የበለጠ ይሆናል። ስለዚህ፣ እንደ የስርጭት asymmetry ባህሪ አንዳንድ እንግዳ ማዕከላዊ አፍታዎችን መውሰድ በጣም ምክንያታዊ ነው። የ 1 ኛ ቅደም ተከተል ማዕከላዊ ጊዜ ሁል ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ስለሆነ ፣ ለዚህ ​​ዓላማ የ 3 ኛ ቅደም ተከተል ማዕከላዊ ጊዜን መጠቀም ተገቢ ነው። ነገር ግን፣ asymmetryን ለመገምገም ይህንን ነጥብ መቀበል የማይመች ነው ምክንያቱም ዋጋው በዘፈቀደ ተለዋዋጭ በሚለካባቸው ክፍሎች ላይ ስለሚወሰን ነው። ይህንን ጉድለት ለማስወገድ  3 በ  3 ይከፈላል እና ባህሪይ ያግኙ።

Asymmetry Coefficient ሀ መጠኑ ይባላል

. (5.12)

ሩዝ. 5.1

የ asymmetry Coefficient አሉታዊ ከሆነ, ይህ በ  3 አሉታዊ ልዩነቶች ዋጋ ላይ ትልቅ ተጽእኖ ያሳያል. በዚህ ሁኔታ, የማከፋፈያ ኩርባዎች ከኤም [X] በስተግራ ጠፍጣፋ ናቸው. ቅንብሩ A አዎንታዊ ከሆነ, ኩርባው በቀኝ በኩል ጠፍጣፋ ነው.

እንደሚታወቀው ስርጭት (2ኛ ማዕከላዊ አፍታ) በሒሳብ ጥበቃ ዙሪያ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች መበታተንን ለመለየት ያገለግላል። የተበታተነው ትልቅ መጠን, ተመጣጣኝ የስርጭት ኩርባው ጠፍጣፋ ነው. ነገር ግን፣ የ 2 ኛ ቅደም ተከተል መደበኛ ቅጽበት  2/ 2 የ“ጠፍጣፋ-ቶፕ” ወይም “ሹል-ቶፕ” ስርጭት ባህሪ ሆኖ ሊያገለግል አይችልም ምክንያቱም ለማንኛውም ስርጭት D[ x]/ 2 =1። በዚህ ሁኔታ, የ 4 ኛ ትዕዛዝ ማዕከላዊ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.

ከመጠን በላይ ኢ መጠኑ ይባላል

. (5.13)

ኤች

ሩዝ. 5.2

ቁጥር 3 እዚህ ተመርጧል ምክንያቱም በጣም ለተለመደው መደበኛ የማከፋፈያ ህግ  4 / 4 =3. ስለዚህ, kurtosis አሁን ያሉትን ስርጭቶች ከመደበኛው ጋር ለማነፃፀር ያገለግላል, ኩርቶሲስ ዜሮ ነው. ይህ ማለት አንድ ስርጭት አወንታዊ kurtosis ካለው ፣ ከዚያ ተጓዳኝ የስርጭት ኩርባ ከተለመደው የስርጭት ከርቭ ጋር ሲነፃፀር የበለጠ “ከፍ ያለ” ነው ። ስርጭቱ አሉታዊ kurtosis ካለው፣ ተጓዳኝ ኩርባው የበለጠ “ጠፍጣፋ-ከላይ” ነው።

ምሳሌ 5.6. DSV X የሚሰጠው በሚከተለው የስርጭት ህግ ነው።

የ skewness Coefficient እና kurtosis ያግኙ።

ሩዝ. 5.4

መፍትሄ . በመጀመሪያ እስከ 4 ኛ ቅደም ተከተል ድረስ ያሉትን የመጀመሪያ ጊዜያት እናገኝ

አሁን ማዕከላዊውን አፍታዎች እናሰላለን-

ማዕከላዊ አፍታዎች የማከፋፈያ አፍታዎች ይባላሉ ፣ የትኞቹን አማራጮች ከተሰጡት ተከታታይ የሂሳብ አማካኝ ልዩነቶች እንደ መጀመሪያ እሴት ይወሰዳል።

1. ቀመሩን በመጠቀም የመጀመሪያውን የትዕዛዝ ማዕከላዊ አፍታ አስላ፡-

2. ቀመሩን በመጠቀም የሁለተኛ ደረጃ ማዕከላዊ አፍታውን አስላ፡-

የክፍተቶች መካከለኛ ዋጋ የት አለ;

ይህ የክብደት አማካኝ ነው;

Fi የእሴቶቹ ብዛት ነው።

3. ቀመሩን በመጠቀም የሶስተኛ ደረጃ ማዕከላዊ አፍታውን አስላ፡-

የክፍተቶች መካከለኛ ዋጋ የት አለ; - ይህ የክብደት አማካኝ ነው; - የእሴቶች ብዛት።

4. ቀመሩን በመጠቀም የአራተኛውን ትዕዛዝ ማዕከላዊ አፍታ አስሉት፡-

የክፍተቶች መካከለኛ ዋጋ የት አለ; - ይህ የክብደት አማካኝ ነው; - የእሴቶች ብዛት።

ለሠንጠረዥ ስሌት 3.2

ለሠንጠረዥ ስሌት 3.4

1. የቀመርን (7.1) በመጠቀም የመጀመሪያ ደረጃ ማዕከላዊ አፍታውን አስላ።

2. ቀመር (7.2) በመጠቀም የሁለተኛ ደረጃ ማዕከላዊ አፍታውን አስላ።

3. ቀመር (7.3) በመጠቀም የሶስተኛ ደረጃ ማዕከላዊ አፍታውን አስላ።

4. ፎርሙላ (7.4) በመጠቀም የአራተኛውን ትዕዛዝ ማዕከላዊ አፍታ አስላ።

ለሠንጠረዥ ስሌት 3.6

1. የቀመርን (7.1) በመጠቀም የመጀመሪያ ደረጃ ማዕከላዊ አፍታውን አስላ።

2. ቀመር (7.2) በመጠቀም የሁለተኛ ደረጃ ማዕከላዊ አፍታውን አስላ።

3. ቀመር (7.3) በመጠቀም የሶስተኛ ደረጃ ማዕከላዊ አፍታውን አስላ።

4. ፎርሙላ (7.4) በመጠቀም የአራተኛውን ትዕዛዝ ማዕከላዊ አፍታ አስላ።

የትዕዛዝ 1, 2, 3, 4 ጊዜያት ለሦስት ችግሮች ይሰላሉ. አሲሚሜትሪ ለማስላት ሶስተኛው የትዕዛዝ ጊዜ በሚያስፈልግበት ቦታ እና አራተኛው የትዕዛዝ ቅጽበት kurtosisን ለማስላት ያስፈልጋል።

የስርጭት asymmetry ስሌት

በስታቲስቲክስ ልምምድ ውስጥ, የተለያዩ ስርጭቶች ያጋጥሟቸዋል. የሚከተሉት የማከፋፈያ ኩርባዎች አሉ:

· ነጠላ-ወፍራም ኩርባዎች: የተመጣጠነ, መካከለኛ ያልተመጣጠነ እና እጅግ በጣም ያልተመጣጠነ;

· ባለብዙ ቨርቴክስ ኩርባዎች.

ተመሳሳይነት ያላቸው ህዝቦች, እንደ አንድ ደንብ, በነጠላ-ቋሚ ስርጭቶች ተለይተው ይታወቃሉ. መልቲቨርቴክስ የሚጠናው የህዝቡን ልዩነት ያሳያል። የሁለት ወይም ከዚያ በላይ ጫፎች ገጽታ ብዙ ተመሳሳይ ቡድኖችን ለመለየት መረጃውን እንደገና ማሰባሰብ አስፈላጊ ያደርገዋል።

የስርጭቱን አጠቃላይ ባህሪ መወሰን የእሱን ተመሳሳይነት መገምገም ፣ እንዲሁም የአሲሜትሪ እና የኩርቶሲስ አመልካቾችን ማስላት ያካትታል። ለሲሜትሪክ ማከፋፈያዎች በማከፋፈያው ማእከሉ በሁለቱም በኩል በእኩል ደረጃ የሚገኙት የሁለቱም አማራጮች ድግግሞሾች እርስ በእርስ እኩል ናቸው። ለእንደዚህ አይነት ስርጭቶች የሚሰላው አማካኝ፣ ሞድ እና ሚዲያን እንዲሁ እኩል ናቸው።

ከተለያዩ የመለኪያ አሃዶች ጋር የበርካታ ስርጭቶችን asymmetry በንፅፅር ሲያጠና አንጻራዊ asymmetry አመልካች () ይሰላል፡-

የክብደት አማካኝ የት አለ; ሞ-ፋሽን; - ሥር ማለት ካሬ ክብደት ያለው ስርጭት; ሜ-ሚዲያን.

የእሱ ዋጋ አዎንታዊ ወይም አሉታዊ ሊሆን ይችላል. በመጀመሪያው ጉዳይ ላይ ስለ ቀኝ-ጎን አሲሜትሪ እና በሁለተኛው ውስጥ ስለ ግራ-አሲሜትሪ እንነጋገራለን.

በቀኝ-ጎን asymmetry Mo>እኔ > x. በብዛት ጥቅም ላይ የዋለው (እንደ asymmetry አመልካች) የሶስተኛ ደረጃ ማዕከላዊ አፍታ ከተሰጠው ተከታታይ ኩብ መደበኛ መዛባት ጋር ያለው ጥምርታ ነው።

የሶስተኛ ደረጃ ማዕከላዊ ጊዜ የት አለ; - መደበኛ መዛባት cubed.

የዚህ አመላካች አጠቃቀም የአሲሜትሪ መጠንን ብቻ ሳይሆን በአጠቃላይ ህዝብ ውስጥ መኖሩን ለማረጋገጥ ያስችላል. ከ 0.5 (ምልክት ምንም ይሁን ምን) ከ 0.5 በላይ የሆነ ማወዛወዝ እንደ አስፈላጊነቱ በአጠቃላይ ተቀባይነት አለው; ከ 0.25 ያነሰ ከሆነ, ከዚያ ዋጋ የለውም.

የትርጉም ምዘናው የሚካሄደው በአማካኝ የካሬ ስሕተት፣ asymmetry coefficient () ላይ ሲሆን ይህም በአስተያየቶች ብዛት (n) ላይ የሚመረኮዝ እና ቀመሩን በመጠቀም ይሰላል፡-

የት ነው n የምልከታዎች ብዛት.

በዚህ ሁኔታ, asymmetry ጉልህ ነው እና በህዝቡ ውስጥ ያለው የባህሪ ስርጭት ያልተመጣጠነ ነው. አለበለዚያ, asymmetry እዚህ ግባ የሚባል አይደለም እና መገኘቱ በዘፈቀደ ሁኔታዎች ምክንያት ሊከሰት ይችላል.

ለሠንጠረዥ ስሌት 3.2የህዝቡን አማካይ ወርሃዊ ደሞዝ በቡድን መመደብ ፣ ማሸት።

ግራ-ጎን ፣ ጉልህ አለመመጣጠን።

ለሠንጠረዥ ስሌት 3.4የሱቆችን በችርቻሮ መከፋፈል ፣ ሚሊዮን ሩብልስ።

1. ቀመር (7.5) በመጠቀም አሲሜትሪዎችን እንወስን.

የቀኝ-ጎን ፣ ጉልህ አለመመጣጠን።

ለሠንጠረዥ ስሌት 3.6በሕዝብ ማመላለሻ ጭነት ማጓጓዣ የትራንስፖርት ድርጅቶችን መቧደን (ሚሊዮን ቲ.ኪ.ሜ)

1. ቀመር (7.5) በመጠቀም አሲሜትሪዎችን እንወስን.

ቀኝ-ጎን, ትንሽ asymmetry.

የኩርትስ ስርጭት ስሌት

ለሲሜትሪክ ስርጭቶች፣ የ kurtosis መረጃ ጠቋሚ () ሊሰላ ይችላል፡-

የአራተኛው ትዕዛዝ ማዕከላዊ ጊዜ የት አለ; - ወደ አራተኛው ኃይል መደበኛ መዛባት.

ለሠንጠረዥ ስሌት 3.2የህዝቡን አማካይ ወርሃዊ ደሞዝ በቡድን መመደብ ፣ ማሸት።

ለሠንጠረዥ ስሌት 3.4የሱቆችን በችርቻሮ መከፋፈል ፣ ሚሊዮን ሩብልስ።

ቀመር (7.7) በመጠቀም የ kurtosis አመልካች እናሰላ።

ከፍተኛ ስርጭት።

ለሠንጠረዥ ስሌት 3.6በሕዝብ ማመላለሻ ጭነት ማጓጓዣ የትራንስፖርት ድርጅቶችን መቧደን (ሚሊዮን ቲ.ኪ.ሜ)

ቀመር (7.7) በመጠቀም የ kurtosis አመልካች እናሰላ።

ጠፍጣፋ የላይኛው ስርጭት.

የህዝቡን ግብረ-ሰዶማዊነት ግምገማ

የግብረ-ሰዶማዊነት ግምገማ ለሠንጠረዥ 3.2የህዝቡን አማካይ ወርሃዊ ደሞዝ በቡድን መመደብ ፣ ማሸት።

ምንም እንኳን የ asymmetry እና kurtosis አመላካቾች በጥናት ላይ ባሉ ህዝቦች ውስጥ የባህሪ ስርጭትን በቀጥታ የሚያሳዩ ቢሆኑም ፍቺያቸው ገላጭ ጠቀሜታ እንዳለው ልብ ሊባል ይገባል። ብዙውን ጊዜ asymmetry እና kurtosis ለማህበራዊ-ኢኮኖሚያዊ ክስተቶች ተጨማሪ ምርምር የተወሰኑ ምልክቶችን ይሰጣሉ። የተገኘው ውጤት በመጠን እና በተፈጥሮ ውስጥ አሉታዊ ጉልህ የሆነ asymmetry መኖሩን ያመለክታል, አሲሜትሪ በግራ በኩል ያለው መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል. በተጨማሪም, ህዝቡ ጠፍጣፋ-ከላይ ስርጭት አለው.

የግብረ-ሰዶማዊነት ግምገማ ለሠንጠረዥ 3.4የሱቆችን በችርቻሮ መከፋፈል ፣ ሚሊዮን ሩብልስ።

የተገኘው ውጤት በመጠን እና በባህሪው አወንታዊ የሆነ አሲሜትሪ መኖሩን ያሳያል፤ አሲሚሜትሪ በቀኝ በኩል መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል። እና ደግሞ ህዝቡ ሹል-ቬርቴክስ ስርጭት አለው።

የግብረ-ሰዶማዊነት ግምገማ ለሠንጠረዥ 3.6በሕዝብ ማመላለሻ ጭነት ማጓጓዣ የትራንስፖርት ድርጅቶችን መቧደን (ሚሊዮን ቲ.ኪ.ሜ)

የተገኘው ውጤት በመጠን እና በአዎንታዊ ተፈጥሮው ውስጥ እዚህ ግባ የማይባል አሲሜትሪ (asymmetry) መኖሩን ያሳያል፤ አሲሚሜትሪው የቀኝ ጎን መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል። በተጨማሪም, ህዝቡ በጠፍጣፋ የተሸፈነ ስርጭት አለው.

በስርጭት ሕጉ የተሰጠውን የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እንመልከት፡-

የሚጠበቀው ዋጋ እኩል፡

የበለጠ እንደሆነ እናያለን። ይህ በዋጋው ሊገለጽ ይችላል x= -150, ከሌሎቹ እሴቶች በጣም የተለየ, በካሬው ጊዜ በከፍተኛ ሁኔታ ጨምሯል; የዚህ ዋጋ ዕድል ዝቅተኛ ነው (0.02). ስለዚህም ሽግግር ከ ኤም(ኤክስ)ለ ኤም (ኤክስ 2)በፍፁም ዋጋ ትልቅ የሆኑ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶችን በሂሳብ ጥበቃ ላይ ያለውን ተፅእኖ በተሻለ ሁኔታ ግምት ውስጥ ማስገባት አስችሏል ፣ ግን የመከሰታቸው ዕድል ዝቅተኛ ነው። እርግጥ ነው, ብዛቱ ብዙ ትላልቅ እና የማይቻሉ እሴቶች ካሉት, ከዚያም ወደ መጠኑ ሽግግር X 2, እና እንዲያውም የበለጠ ወደ መጠኖች , ወዘተ፣ የእነዚህን ትልቅ ነገር ግን የማይቻሉ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶችን የበለጠ “ ሚናውን ለማጠናከር” ያስችለናል። ለዚያም ነው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ኢንቲጀር አወንታዊ ኃይልን ፣ ዲስሬትድ ብቻ ሳይሆን ቀጣይነትንም ግምት ውስጥ ማስገባት የሚመከር የሚሆነው።

ፍቺ 6.10.የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የኛ ቅደም ተከተል የመጀመሪያ ጊዜ የብዛቱ ሒሳባዊ ጥበቃ ነው፡-

በተለየ ሁኔታ:

እነዚህን ነጥቦች በመጠቀም, ልዩነቱን ለማስላት ቀመር በተለየ መንገድ ሊጻፍ ይችላል

ከተለዋዋጭ ጊዜዎች በተጨማሪ, የተዘበራረቁበትን ጊዜዎች ግምት ውስጥ ማስገባት ተገቢ ነው.

ፍቺ 6.11.የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የኛ ቅደም ተከተል ማዕከላዊ ቅጽበት የብዛቱ የሂሳብ መጠበቅ ነው።

(6.23)

በተለየ ሁኔታ,

የመጀመሪያ እና ማዕከላዊ ጊዜዎችን የሚያገናኙ ግንኙነቶች በቀላሉ የተገኙ ናቸው. (6.22) እና (6.24) በማነጻጸር የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

የሚከተሉትን ግንኙነቶች ማረጋገጥ አስቸጋሪ አይደለም.

በተመሳሳይ፡-

ከፍተኛ የትዕዛዝ ጊዜዎች እምብዛም ጥቅም ላይ አይውሉም. ማዕከላዊውን አፍታዎች በሚወስኑበት ጊዜ፣ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሒሳብ ጥበቃው (መሃል) ልዩነቶች ጥቅም ላይ ይውላሉ። ለዚህ ነው አፍታዎች የሚጠሩት። ማዕከላዊ.

የመጀመሪያዎቹን አፍታዎች በሚወስኑበት ጊዜ ፣ ​​የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነቶች እንዲሁ ጥቅም ላይ ይውላሉ ፣ ግን ከሂሳባዊ ጥበቃ አይደለም ፣ ግን አቢሲሳ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ፣ ይህም የመጋጠሚያዎች መነሻ ነው። ለዚህ ነው አፍታዎች የሚጠሩት። የመጀመሪያ.

ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሆነ፣ የ1ኛ ቅደም ተከተል የመጀመሪያ ጊዜ በቀመር ውስጥ ይሰላል፡-

(6.27)

ተከታታይ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የኛ ቅደም ተከተል ማዕከላዊ አፍታ በቀመር ይሰላል፡-

(6.28)

የነሲብ ተለዋዋጭ ስርጭት ከሂሳብ ጥበቃ አንፃር የተመጣጠነ ነው ብለን እናስብ። ከዚያ ሁሉም የማዕከላዊ ጊዜዎች ያልተለመደ ቅደም ተከተል ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው። ይህ ለእያንዳንዱ የብዛቱ አወንታዊ እሴት ሊገለጽ ይችላል X-M(X)አለ (በስርጭቱ ሲምሜትሪ ምክንያት ከ ኤም(ኤክስ)) በፍፁም ዋጋ ከዚህ መጠን አሉታዊ እሴት ጋር እኩል ነው, እና የእነሱ ዕድል ተመሳሳይ ይሆናል.

የአንድ ጎዶሎ ቅደም ተከተል ማዕከላዊ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ፣ ይህ የስርጭቱን ተመሳሳይነት ያሳያል፣ እና በትልቁ ቅጽበት፣ asymmetry የበለጠ ይሆናል። ስለዚህ፣ እንደ የስርጭት asymmetry ባህሪ አንዳንድ እንግዳ ማዕከላዊ አፍታዎችን መውሰድ በጣም ምክንያታዊ ነው። የመጀመሪያው-ትዕዛዝ ማዕከላዊ ጊዜ ሁል ጊዜ ዜሮ ስለሆነ ፣ ለዚህ ​​ዓላማ የሶስተኛ ደረጃ ማዕከላዊ ጊዜን መጠቀም ጥሩ ነው።

ፍቺ 6.12.የ asymmetry Coefficient ብዛት ነው፡-

የ asymmetry Coefficient አሉታዊ ከሆነ, ይህ በአሉታዊ ልዩነቶች መጠን ላይ ትልቅ ተጽእኖ ያሳያል. በዚህ ሁኔታ, የማከፋፈያ ኩርባ (ምስል 6.1 ሀ) በግራ በኩል የበለጠ ጠፍጣፋ ነው. ቅንብሩ አወንታዊ ከሆነ፣ ይህ ማለት የአዎንታዊ መዛባት ተጽእኖ የበላይ ነው ማለት ነው፣ ከዚያ የማከፋፈያው ኩርባ በቀኝ በኩል ጠፍጣፋ ነው።

እንደሚታወቀው የሁለተኛው ማዕከላዊ አፍታ (ልዩነት) በሒሳብ ጥበቃው ዙሪያ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች መበታተንን ለመለየት ያገለግላል። ይህ አፍታ ለአንዳንድ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በበቂ ሁኔታ ትልቅ ከሆነ፣ ማለትም. ስርጭቱ ትልቅ ከሆነ፣ተዛማጁ የስርጭት ጥምዝ በትንሹ ሁለተኛ-ትዕዛዝ ቅጽበት ካለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ማከፋፈያ ኩርባ የበለጠ ጠፍጣፋ ነው። ይሁን እንጂ ቅፅበት ለማንኛውም ስርጭት ምክንያት ይህንን ዓላማ ማገልገል አይችልም .

በዚህ ሁኔታ, አራተኛው ትዕዛዝ ማዕከላዊ አፍታ ጥቅም ላይ ይውላል.

ፍቺ 6.13. Kurtosis መጠኑ ነው፡-

በተፈጥሮ ውስጥ በጣም የተለመደው መደበኛ ስርጭት ህግ, ጥምርታ ነው. ስለዚህ, በቀመር (6.28) የተሰጠው kurtosis ይህንን ስርጭት ከተለመደው ጋር ለማነፃፀር ያገለግላል (ምስል 6.1). ለ).

3.4. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ አፍታዎች።

ከዚህ በላይ የኤስ.ቪ አጠቃላይ ባህሪያትን አውቀናል-የስርጭት ተግባር እና የስርጭት ተከታታይ ለተለየ የኤስ.ቪ., የስርጭት ተግባር እና ቀጣይነት ያለው የኤስ.ቪ. ከመረጃ ይዘት አንፃር እነዚህ ጥንድ አቻ ባህሪያት ናቸው። ተግባራትእና SV ን ከግምታዊ እይታ አንጻር ሙሉ በሙሉ ይግለጹ። ነገር ግን፣ በብዙ ተግባራዊ ሁኔታዎች ውስጥ የዘፈቀደ ተለዋዋጭን በተሟላ ሁኔታ ለመለየት የማይቻል ወይም አላስፈላጊ ነው። ብዙውን ጊዜ አንድ ወይም ከዚያ በላይ መጥቀስ በቂ ነው የቁጥርበተወሰነ ደረጃ የስርጭቱን ዋና ገፅታዎች የሚገልጹ መለኪያዎች እና አንዳንድ ጊዜ የተሟሉ ባህሪያትን ማግኘት ምንም እንኳን ተፈላጊ ቢሆንም በሂሳብ በጣም አስቸጋሪ እና በቁጥር መመዘኛዎች የምንሰራው እኛ በግምታዊ, ግን ቀላል መግለጫ ነው. የተገለጹት የቁጥር መለኪያዎች ተጠርተዋል የቁጥር ባህሪያትየዘፈቀደ ተለዋዋጮች እና ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ለተለያዩ የሳይንስ እና ቴክኖሎጂ መስኮች በመተግበር ላይ ትልቅ ሚና ይጫወታሉ ፣ የችግሮችን መፍትሄ በማመቻቸት እና የመፍትሄው ውጤት በቀላል እና በእይታ መልክ እንዲቀርብ በመፍቀድ ።

በብዛት ጥቅም ላይ የዋሉ የቁጥር ባህሪዎች በሁለት ዓይነቶች ሊከፈሉ ይችላሉ- አፍታዎች እና የአቀማመጥ ባህሪያት.ብዙ አይነት አፍታዎች አሉ፣ ከእነዚህም ውስጥ ሁለቱ በብዛት ጥቅም ላይ የዋሉት፡- የመጀመሪያ እና ማዕከላዊ. ሌሎች የአፍታ ዓይነቶች, ለምሳሌ. ፍፁም አፍታዎች ፣ ፋብራዊ ጊዜዎች፣ አናስብም። የአጠቃላይ አጠቃላይ አጠቃቀምን ለማስቀረት - Stieltjes integral ተብሎ የሚጠራው ፣ ለቀጣይ እና ለተለዩ የኤስ.ቪ.

ፍቺዎች። 1. የመነሻ ጊዜክ- ኛ ትዕዛዝ discrete SVመጠኑ ይባላል

የት ረ(x) የተሰጠው የኤስ.ቪ.

3. ማዕከላዊ አፍታክ- ኛ ትዕዛዝ discrete SVመጠኑ ይባላል

በርካታ የኤስ.ቪ.ኤስ.ዎች በተመሳሳይ ጊዜ ግምት ውስጥ በሚገቡበት ጊዜ, አለመግባባቶችን ለማስወገድ, የወቅቱን ማንነት ለማመልከት አመቺ ነው; በቅንፍ ውስጥ የተዛመደውን SV ስያሜ በመጠቆም ይህንን እናደርጋለን ፣ ለምሳሌ ፣ , ወዘተ ይህ ስያሜ ከተግባር ማስታወሻ ጋር መምታታት የለበትም, እና በቅንፍ ውስጥ ያለው ፊደል ከተግባር ክርክር ጋር መምታታት የለበትም. ድምሮች እና ውህደቶች በቀኝ የእኩልነት ጎኖች (3.4.1 - 3.4.4) እንደ እሴቱ ሊጣመሩ ወይም ሊለያዩ ይችላሉ ክእና የተወሰነ ስርጭት. በመጀመሪያው ሁኔታ እነሱ ቅፅበት ይላሉ የለም ወይም ይለያያል, በሁለተኛው - ምን ቅጽበት አለ ወይም ይሰበሰባል።የተለየ SV የተወሰነ ቁጥር ያላቸው የተገደቡ እሴቶች ካሉት ( ኤንበእርግጥ) ፣ ከዚያ ሁሉም ጊዜዎቹ የመጨረሻ ቅደም ተከተል ናቸው። ክአለ ። ማለቂያ በሌለው ኤንከአንዳንዶች ጀምሮ ክእና ለከፍተኛ ትዕዛዞች፣ የልዩ የኤስቪ አፍታዎች (ሁለቱም የመጀመሪያ እና ማዕከላዊ) ላይኖሩ ይችላሉ። ቀጣይነት ያለው የኤስ.ቪ አፍታዎች ፣ ከትርጉሞች እንደሚታየው ፣ ተገቢ ባልሆኑ ውህዶች ይገለፃሉ ፣ ይህም ከተወሰነ ጀምሮ ሊለያዩ ይችላሉ ። ክእና ለከፍተኛ ትዕዛዞች (በአንድ ጊዜ የመጀመሪያ እና ማዕከላዊ). የዜሮ ማዘዣ ጊዜዎች ሁል ጊዜ ይሰበሰባሉ።

በመጀመሪያ የመጀመሪያውን እና ከዚያም ማዕከላዊውን ጊዜ በበለጠ ዝርዝር እንመልከት. ከሂሳብ እይታ አንፃር ፣ የመነሻ ጊዜ ክ- ኛ ቅደም ተከተል "የተመዘነ አማካይ" ነው. ክ- የ SV እሴቶች ዲግሪዎች; በተለየ የኤስ.ቪ., ክብደቶቹ የእሴቶች እድሎች ናቸው, ቀጣይነት ባለው የኤስ.ቪ., የክብደት ተግባሩ የመሆን እፍጋት ነው። የዚህ ዓይነቱ ክዋኔዎች የጅምላ ስርጭትን ለመግለጽ በሜካኒክስ ውስጥ በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ (የማይንቀሳቀሱ አፍታዎች ፣ የንቃተ ህሊና ጊዜዎች ፣ ወዘተ.); በዚህ ረገድ የሚነሱ ንጽጽሮች ከዚህ በታች ተብራርተዋል.

ስለ መጀመሪያዎቹ አፍታዎች የተሻለ ግንዛቤ ለማግኘት ለየብቻ እንመለከታቸዋለን ክ. በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ, የዝቅተኛ ትዕዛዞች ጊዜዎች በጣም አስፈላጊ ናቸው, ማለትም በትንሹ ክ, ስለዚህ, እየጨመረ ዋጋዎች በቅደም ተከተል መከናወን አለበት ክ. የዜሮ ቅደም ተከተል የመጀመሪያ ጊዜ እኩል ነው።

1, ለ discrete SV;

=1፣ ለቀጣይ የኤስ.ቪ.

እነዚያ። ለማንኛውም SV ከተመሳሳይ እሴት ጋር እኩል ነው - አንድ, እና ስለዚህ ስለ SV ስታቲስቲካዊ ባህሪያት ምንም አይነት መረጃ አይይዝም.

የመጀመሪያው የትዕዛዝ የመጀመሪያ ጊዜ (ወይም የመጀመሪያ የመጀመሪያ ጊዜ) እኩል ነው።

ለ discrete SV;

, ለቀጣይ ኤስ.ቪ.

ይህ ነጥብ የማንኛውም SV በጣም አስፈላጊው የቁጥር ባህሪ ነው, ለዚህም በርካታ ተያያዥ ምክንያቶች አሉ. በመጀመሪያ ፣ በቼቢሼቭ ቲዎረም (ክፍል 7.4 ይመልከቱ) ፣ በኤስ.ቪ ላይ ያልተገደቡ የፈተናዎች ብዛት ፣ የተመለከቱት እሴቶች የሂሳብ አማካኝ (በተመሳሳይ ሁኔታ) ፣ ስለሆነም ፣ ለማንኛውም SV ፣ ይህ የባህሪ ቁጥር ነው። እሴቶቹ በተሞክሮ የተከፋፈሉበት። በሁለተኛ ደረጃ, ለቀጣይ CV በቁጥር እኩል ነው X- ከርቭ የተሠራው የከርቪላይን ትራፔዞይድ የስበት ኃይል ማእከል ኛ መጋጠሚያ ረ(x(ለተለየ የኤስ.ቪ.) ተመሳሳይ ንብረት ይከሰታል ፣ ስለሆነም ይህ ጊዜ “የስርጭቱ የስበት ኃይል” ተብሎ ሊጠራ ይችላል። በሦስተኛ ደረጃ፣ ይህ አፍታ በኮርሱ ወቅት ግልጽ የሚሆኑ አስደናቂ የሒሳብ ባህሪዎች አሉት፣ በተለይ፣ ስለዚህ እሴቱ በማዕከላዊ አፍታዎች መግለጫዎች ውስጥ ተካትቷል ((3.4.3) እና (3.4.4) ይመልከቱ)።

የዚህ ጊዜ አስፈላጊነት ለጽንሰ-ሃሳባዊ እና ተግባራዊ ችግሮች ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሀሳብ እና አስደናቂ የሂሳብ ባህሪያቱ “የመጀመሪያው የመጀመሪያ ጊዜ” ከሚለው ስያሜ እና ስም በተጨማሪ ሌሎች ስያሜዎች እና ስሞች በሥነ-ጽሑፍ ውስጥ ብዙ ወይም ያነሰ ጥቅም ላይ ይውላሉ። አመቺ እና የተጠቀሱትን ባህሪያት የሚያንፀባርቅ. በጣም የተለመዱት ስሞች የሚከተሉት ናቸው: የሚጠበቀው ዋጋ, አማካይ ዋጋእና ማስታወሻ፡- ኤም, ኤም[X]፣ . ብዙውን ጊዜ "የሂሳብ ጥበቃ" የሚለውን ቃል እና ማስታወሻውን እንጠቀማለን ኤም; ብዙ ኤስቪዎች ካሉ ፣የሂሳቡን የሚጠብቀውን ማንነት የሚያመለክት ንዑስ መዝገብ እንጠቀማለን ፣ለምሳሌ ፣ ኤም x , ኤም yወዘተ.

የሁለተኛ-ትዕዛዝ የመጀመሪያ ጊዜ (ወይም ሁለተኛ የመጀመሪያ ጊዜ) እኩል ነው።

ለ discrete SV;

, ለቀጣይ SV;

አንዳንዴ ይባላል የዘፈቀደ ተለዋዋጭ አማካኝ ካሬእና የተሰየመ ነው ኤም.

የሶስተኛው ትዕዛዝ የመጀመሪያ ጊዜ (ወይም ሶስተኛው የመጀመሪያ አፍታ) እኩል ነው።

ለ discrete SV;

, ለቀጣይ CB

አንዳንዴ ይባላል የዘፈቀደ ተለዋዋጭ አማካኝ ኩብእና የተሰየመ ነው ኤም[X 3 ].

የመጀመሪያዎቹን ነጥቦች መዘርዘር መቀጠል ምንም ፋይዳ የለውም. በሥርዓት ጊዜዎች አስፈላጊ ትርጓሜ ላይ እናተኩር ክ>1. እናድርግ ከኤስ.ቪ Xበተጨማሪም SV አለ ዋይ, እና Y=X ክ (ክ=2, 3, ...). ይህ እኩልነት ማለት የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ማለት ነው። Xእና ዋይበቁርጠኝነት የተገናኙ ሲሆኑ በ SV Xዋጋውን ይወስዳል x, NE ዋይዋጋውን ይወስዳል y=x ክ(ወደፊት, ይህ የኤስ.ቪ ግንኙነት በበለጠ ዝርዝር ውስጥ ይታያል). ከዚያም በ(3.4.1) እና (3.4.2) መሰረት

=ኤም y , ክ=2, 3, ...,

ማለትም ክየኤስ.ቪ የመጀመሪያ ጊዜ ከሂሳብ ጥበቃው ጋር እኩል ነው። ክ- የዚህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ኃይል. ለምሳሌ፣ የዘፈቀደ ኪዩብ የጠርዝ ርዝመት ሦስተኛው የመጀመሪያ አፍታ ከኩቤው መጠን ከሚጠበቀው የሂሳብ መጠበቅ ጋር እኩል ነው። አፍታዎችን እንደ አንዳንድ የሂሳብ ተስፋዎች የመረዳት እድል ሌላው የሂሳብ ጥበቃ ጽንሰ-ሀሳብ አስፈላጊነት ገጽታ ነው።

ማዕከላዊ ነጥቦቹን እናስብ። ከዚህ በታች ግልጽ እንደሚሆነው ማዕከላዊ አፍታዎች በማያሻማ ሁኔታ የሚገለጹት በመነሻ ጊዜያት እና በተገላቢጦሽ ስለሆነ፣ ለምን ማዕከላዊ አፍታዎች በአጠቃላይ ለምን እንደሚያስፈልጉ እና ለምን የመጀመሪያ ጊዜዎች በቂ እንዳልሆኑ ጥያቄው ይነሳል። ኤስ.ቪ.ን እናስብ X(ቀጣይ ወይም የተለየ) እና ሌላ SV Y, ከመጀመሪያው እንደ ጋር የተያያዘ Y=X+a፣ የት ሀ 0 የዘፈቀደ ያልሆነ እውነተኛ ቁጥር ነው። እያንዳንዱ እሴት xየዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xከዋጋ ጋር ይዛመዳል y=x+aየዘፈቀደ ተለዋዋጭ ዋይ, ስለዚህ የኤስ.ቪ ዋይእንደ SV ስርጭት ተመሳሳይ ቅርፅ ይኖረዋል (በተለየ ሁኔታ ውስጥ ባለው የስርጭት ፖሊጎን ወይም በተከታታይ ሁኔታ ውስጥ ያለው የፕሮባቢሊቲ ጥግግት ይገለጻል) X፣ ግን በመጠኑ በ x-ዘንግ ላይ ተቀይሯል። ሀ. በዚህም ምክንያት የኤስ.ቪ ዋይከኤስቪ ተጓዳኝ ጊዜያት ይለያል X. ለምሳሌ, ለማየት ቀላል ነው ኤም y =ኤም x +ሀ(የከፍተኛ ትዕዛዝ አፍታዎች ይበልጥ ውስብስብ በሆኑ ግንኙነቶች የተገናኙ ናቸው). ስለዚህ ያንን መስርተናል በአጠቃላይ የስርጭት ለውጥን በተመለከተ የመጀመሪያዎቹ ጊዜያት ተለዋዋጭ አይደሉም. ስርጭቱን ሳይሆን የ x-ዘንግ መጀመሪያን በአግድም መጠን ከቀየሩ ተመሳሳይ ውጤት ይገኛል - ሀ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ተመጣጣኝ መደምደሚያው እንዲሁ ትክክል ነው፡- የ x-ዘንግ መጀመሪያ አግድም ለውጥን በተመለከተ የመጀመሪያዎቹ ጊዜያት ተለዋዋጭ አይደሉም።

በአጠቃላይ በፈረቃቸው ላይ የማይመሰረቱትን የስርጭት ባህሪያትን ለመግለፅ የታቀዱ ማዕከላዊ ጊዜያት ከዚህ ጉድለት ነፃ ናቸው። በእርግጥ ከ (3.4.3) እና (3.4.4) እንደሚታየው ስርጭቱ በአጠቃላይ መጠኑ ሲቀየር ሀ, ወይም, ተመሳሳይ የሆነው, የ x-ዘንግ መጀመሪያን በመጠን መቀየር - ሀ, ሁሉም እሴቶች x, በተመሳሳዩ ዕድሎች (በተለየ ሁኔታ) ወይም ተመሳሳይ የመሆን እፍጋት (በማያቋርጥ ሁኔታ) በመጠን ይቀየራል ሀ, ነገር ግን መጠኑ በተመሳሳይ መጠን ይቀየራል ኤም, ስለዚህ በእኩልነት በቀኝ በኩል ያሉት የቅንፍ እሴቶች አይቀየሩም. ስለዚህም ማዕከላዊው አፍታዎች በአጠቃላይ የስርጭት ለውጥን በተመለከተ የማይለዋወጡ ናቸው, ወይም ምን ተመሳሳይ ነው, የ x-ዘንግ መጀመሪያ አግድም ለውጥን በተመለከተ.እነዚህ አፍታዎች የመጀመሪያው የመጀመሪያ ቅጽበት "መሃል" ተብሎ በሚጠራበት በእነዚያ ቀናት "ማእከላዊ" የሚለውን ስም ተቀብለዋል. የኤስ.ቪ ማዕከላዊ ጊዜ መሆኑን ማስተዋሉ ጠቃሚ ነው Xእንደ ተጓዳኝ የኤስ.ቪ የመጀመሪያ ቅጽበት መረዳት ይቻላል X 0 እኩል

X 0 =ኤክስ-ኤም x .

NE X 0 ይባላል ያማከለ(ከኤስ.ቪ X) እና ወደ እሱ የሚያመራው ክዋኔ ማለትም የሂሳብ ጥበቃውን በዘፈቀደ ተለዋዋጭ መቀነስ ይባላል. መሃል ላይ ማድረግ. በኋላ እንደምናየው, ይህ ጽንሰ-ሐሳብ እና ይህ ክዋኔ በኮርሱ ውስጥ ጠቃሚ ይሆናል. የትእዛዝ ማዕከላዊ ጊዜ መሆኑን ልብ ይበሉ ክ> 1 እንደ የሂሳብ ጥበቃ (አማካይ) ሊቆጠር ይችላል ክ-የተማከለ የኤስ.ቪ. .

የዝቅተኛ ትዕዛዞችን ማዕከላዊ ጊዜዎች ለየብቻ እንመልከታቸው። የዜሮ ቅደም ተከተል ማዕከላዊ አፍታ እኩል ነው።

, ለ discrete SVs;

, ለቀጣይ SV;

ለማንኛውም የኤስ.ቪ. እና ስለ ኤስ.ቪ ስታቲስቲካዊ ባህሪያት ምንም አይነት መረጃ አይይዝም.

የመጀመሪያው የትዕዛዝ ማዕከላዊ አፍታ (ወይም የመጀመሪያ ማዕከላዊ አፍታ) እኩል ነው።

ለ discrete SV;

ለቀጣይ CB; ለማንኛውም የኤስ.ቪ. እና ስለ ኤስ.ቪ ስታቲስቲካዊ ባህሪያት ምንም አይነት መረጃ አይይዝም.

የሁለተኛው ትዕዛዝ ማዕከላዊ አፍታ (ወይም ሁለተኛ ማዕከላዊ አፍታ) እኩል ነው።

, ለ discrete SV;

, ለቀጣይ ኤስ.ቪ.

ከዚህ በታች ግልጽ እንደሚሆን, ይህ ነጥብ የኤስ.ቪ እሴቶች መበታተን (ወይም መበታተን) መለኪያ ባህሪ ሆኖ ስለሚያገለግል, ይህ ነጥብ በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ በጣም አስፈላጊው አንዱ ነው, ስለዚህም ብዙውን ጊዜ ይባላል. መበታተንእና የተሰየመ ነው ዲ X. ይህ እንደ መሃል ያለው የኤስ.ቪ.

የሶስተኛው ማዕከላዊ ቅጽበት (ሦስተኛው ማዕከላዊ አፍታ) እኩል ነው።

የሚጠበቀው ዋጋ። የሂሳብ መጠበቅ discrete የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X, ውሱን የሆኑ እሴቶችን መውሰድ Xእኔከሁኔታዎች ጋር አርእኔ, መጠኑ ይባላል:

የሂሳብ መጠበቅቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xየእሴቶቹ ምርት ዋና አካል ተብሎ ይጠራል Xበአቅም ማከፋፈያ ጥግግት ላይ ረ(x):

(6ለ)

ተገቢ ያልሆነ ውህደት (6 ለ) ፍፁም የተቀናጀ ነው ተብሎ ይታሰባል (አለበለዚያ የሒሳብ ጥበቃው ይላሉ) ኤም(X) አልተገኘም). የሒሳብ ጥበቃው ተለይቶ ይታወቃል አማካይ ዋጋየዘፈቀደ ተለዋዋጭ X. የእሱ ልኬት ከአጋጣሚ ተለዋዋጭ ልኬት ጋር ይዛመዳል።

የሂሳብ ጥበቃ ባህሪዎች

መበታተን. ልዩነትየዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xቁጥሩ ይባላል፡-

ልዩነቱ ነው። የመበታተን ባህሪየዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች Xከአማካይ እሴቱ አንጻር ኤም(X). የልዩነት መጠን ከተለዋዋጭ ስኩዌር ስፋት ጋር እኩል ነው። በልዩነት (8) እና በሒሳብ ጥበቃ (5) ለተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እና (6) ለተከታታይ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት (8) እና የሂሳብ ጥበቃ (5) ለልዩነቱ ተመሳሳይ መግለጫዎችን እናገኛለን።

(9)

እዚህ ኤም = ኤም(X).

የመበታተን ባህሪያት;

ስታንዳርድ ደቪአትዖን:

(11)

የመደበኛ ልዩነት እንደ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ተመሳሳይ ልኬት ስላለው ከልዩነት ይልቅ ብዙ ጊዜ እንደ መበታተን መለኪያ ያገለግላል።

የስርጭት አፍታዎች. የሂሳብ መጠበቅ እና መበታተን ጽንሰ-ሀሳቦች ለዘፈቀደ ተለዋዋጮች የቁጥር ባህሪያት የበለጠ አጠቃላይ ጽንሰ-ሀሳብ ልዩ ጉዳዮች ናቸው - የስርጭት ጊዜዎች. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ጊዜዎች እንደ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ አንዳንድ ቀላል ተግባራት እንደ ሒሳባዊ ጥበቃዎች አስተዋውቀዋል። ስለዚህ የትእዛዝ ጊዜ ክከነጥቡ አንጻር X 0 የሂሳብ ጥበቃ ተብሎ ይጠራል ኤም(X–X 0 )ክ. ስለ አመጣጥ አፍታዎች X= 0 ተጠርተዋል። የመጀመሪያ ጊዜያትእና የተሰየሙ፡-

(12)

የመጀመርያው ትእዛዝ የመጀመርያው ቅጽበት እየተገመገመ ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ማዕከል ነው፡-

(13)

ስለ ስርጭት ማእከል አፍታዎች X= ኤምተብለው ይጠራሉ ማዕከላዊ ነጥቦችእና የተሰየሙ፡-

(14)

ከ (7) የሚከተለው የመጀመሪያው-ትዕዛዝ ማዕከላዊ አፍታ ሁልጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ነው፡

በቋሚ እሴት ከተቀየረ ጀምሮ ማዕከላዊ ጊዜዎች በዘፈቀደ ተለዋዋጭ ዋጋዎች አመጣጥ ላይ የተመኩ አይደሉም። ጋርየስርጭት ማእከሉ በተመሳሳይ እሴት ይቀየራል። ጋር, እና ከመሃል ላይ ያለው ልዩነት አይለወጥም: X – ኤም = (X – ጋር) – (ኤም – ጋር).
አሁን ግልፅ ነው። መበታተን- ይህ ሁለተኛ ትዕዛዝ ማዕከላዊ አፍታ:

Asymmetry. የሶስተኛ ትዕዛዝ ማዕከላዊ አፍታ፡-

(17)

ለግምገማ ያገለግላል የስርጭት asymmetry. ስርጭቱ ስለ ነጥቡ የተመጣጠነ ከሆነ X= ኤም, ከዚያም የሶስተኛ ደረጃ ማዕከላዊ አፍታ ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል (እንደ ሁሉም ማዕከላዊ ያልተለመዱ ትዕዛዞች). ስለዚህ, የሶስተኛ ደረጃ ማዕከላዊ ጊዜ ከዜሮ የተለየ ከሆነ, ስርጭቱ የተመጣጠነ ሊሆን አይችልም. የ asymmetry መጠን የሚገመገመው ልኬት የሌለውን በመጠቀም ነው። asymmetry Coefficient:

(18)

የ asymmetry coefficient (18) ምልክት በቀኝ በኩል ወይም በግራ በኩል ያለውን አሲሜትሪ (ምስል 2) ያመለክታል.

ሩዝ. 2. የስርጭት asymmetry ዓይነቶች.

ከመጠን በላይ. አራተኛው ትዕዛዝ ማዕከላዊ አፍታ፡-

(19)

የሚባሉትን ለመገምገም ያገለግላል ከመጠን በላይ, ይህም ከመደበኛው የስርጭት ኩርባ ጋር በተዛመደ በማከፋፈያው መሃከል አቅራቢያ ያለውን የማከፋፈያ ኩርባ (ቁንጮ) ደረጃን ይወስናል. ለመደበኛ ስርጭት፣ እንደ kurtosis የሚወሰደው ዋጋ፡-

(20)

በስእል. ምስል 3 የተለያየ የ kurtosis እሴት ያላቸውን የስርጭት ኩርባዎች ምሳሌዎችን ያሳያል። ለመደበኛ ስርጭት ኢ= 0. ከመደበኛው በላይ የጠቆሙ ኩርባዎች አዎንታዊ kurtosis አላቸው፣ በጠፍጣፋ በላይ ያሉት ደግሞ አሉታዊ kurtosis አላቸው።

ሩዝ. 3. የስርጭት ኩርባዎች የተለያየ ደረጃ ያላቸው ሾጣጣዎች (kurtosis).

ከፍተኛ የትዕዛዝ ጊዜዎች አብዛኛውን ጊዜ በሂሳብ ስታቲስቲክስ ምህንድስና መተግበሪያዎች ውስጥ ጥቅም ላይ አይውሉም።

ፋሽን የተለየየዘፈቀደ ተለዋዋጭ በጣም ሊሆን የሚችል እሴቱ ነው። ፋሽን ቀጣይነት ያለውየዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቱ ሲሆን ይህም የመቻል እፍጋቱ ከፍተኛ ነው (ምስል 2)። የማከፋፈያው ኩርባ አንድ ከፍተኛ ከሆነ, ከዚያም ስርጭቱ ይባላል unimodal. የማከፋፈያ ኩርባ ከአንድ በላይ ከፍተኛ ከሆነ, ስርጭቱ ይባላል መልቲሞዳል. አንዳንድ ጊዜ ኩርባዎቻቸው ከከፍተኛው ይልቅ ዝቅተኛው ያላቸው ስርጭቶች አሉ። እንደዚህ አይነት ስርጭቶች ይባላሉ ፀረ-ሞዳል. በአጠቃላይ ሁኔታ፣ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሁነታ እና ሒሳባዊ ጥበቃ አይገጣጠሙም። በልዩ ሁኔታ, ለ ሞዳል፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ሞድ፣ ሲሜትሪክ ስርጭት ያለው እና የሒሳብ ጥበቃ እስካለ ድረስ፣ የኋለኛው ከስርጭቱ ሲሜትሪ ሁነታ እና ማእከል ጋር ይገጣጠማል።

ሚዲያን የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X- ትርጉሙ ይህ ነው። መህለእኩልነት የሚይዘው፡ ማለትም፡. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እኩል ሊሆን ይችላል። Xያነሰ ወይም የበለጠ ይሆናል መህ. በጂኦሜትሪ መካከለኛበማከፋፈያው ኩርባ ስር ያለው ቦታ በግማሽ የተከፈለበት ነጥብ (ምስል 2) ላይ ያለው አቢሲሳ ነው. በተመጣጣኝ ሞዳል ስርጭት ውስጥ, ሚዲያን, ሞድ እና ሒሳባዊ ጥበቃ ተመሳሳይ ናቸው.