የትኛው ቬክተር የተሰጠው የቬክተር እና የቁጥር ምርት ተብሎ ይጠራል. ምን ዓይነት ቬክተር ይባላል የሁለት ቬክተር ድምር

በፊዚክስ ውስጥ የተፈጥሮን ህግጋት በትክክል ለማሳየት, ተገቢ የሂሳብ መሳሪያዎች ያስፈልጋሉ.

በጂኦሜትሪ እና ፊዚክስ ውስጥ በሁለቱም የቁጥር እሴት እና አቅጣጫ ተለይተው የሚታወቁ መጠኖች አሉ።

እንደ የታዘዙ ክፍሎች ወይም እነሱን ለማሳየት ይመከራል ቬክተሮች.

ጋር ግንኙነት ውስጥ

እንደነዚህ ዓይነቶቹ መጠኖች ጅምር (በነጥብ የሚታየው) እና መጨረሻ ፣ በቀስት የተጠቆመ። የአንድ ክፍል ርዝመት (ርዝመት) ይባላል.

• ፍጥነት;
• ማፋጠን;
• የልብ ምት;
• ኃይል;
• አፍታ;
• ጥንካሬ;
• መንቀሳቀስ;
• የመስክ ጥንካሬ, ወዘተ.

የአውሮፕላን መጋጠሚያዎች

ከ A (x1,y1) ወደ ነጥብ B (x2,y2) የሚመራውን የአውሮፕላን ክፍል እንገልፃለን። መጋጠሚያዎቹ a (a1፣ a2) ቁጥሮች a1=x2-x1፣ a2=y2-y1 ናቸው።

ሞጁሉ የፓይታጎሪያን ቲዎረም በመጠቀም ይሰላል፡-

የዜሮ ቬክተር መጀመሪያ ከመጨረሻው ጋር ይጣጣማል. መጋጠሚያዎቹ እና ርዝመታቸው 0 ናቸው።

የቬክተር ድምር

አለ። መጠኑን ለማስላት ብዙ ደንቦች

• የሶስት ማዕዘን ደንብ;
• ባለብዙ ጎን ደንብ;
• parallelogram ደንብ.

ቬክተሮችን ለመጨመር ደንቡ በተለዋዋጭ እና በመካኒክስ ችግሮችን በመጠቀም ሊገለጽ ይችላል. በአንድ ነጥብ አካል ላይ የሚሠሩ ኃይሎችን እና በህዋ ውስጥ ያሉ ተከታታይ የሰውነት እንቅስቃሴዎችን ምሳሌ በመጠቀም በሦስት ማዕዘኑ ደንብ መሠረት የቬክተር መጨመርን እናስብ።

አንድ አካል መጀመሪያ ከ ነጥብ A ወደ ነጥብ B ከዚያም ከ ነጥብ B ወደ ነጥብ ሐ ይንቀሳቀሳል እንበል። የመጨረሻው መፈናቀል ከመነሻ ነጥብ A እስከ መጨረሻ ነጥብ ሐ የሚመራ ክፍል ነው።

የሁለት እንቅስቃሴዎች ውጤት ወይም ድምር s = s1+ s2. ይህ ዘዴ ይባላል የሶስት ማዕዘን ደንብ.

ቀስቶቹ እርስ በእርሳቸው በሰንሰለት ውስጥ ይደረደራሉ, አስፈላጊ ከሆነ ትይዩ ዝውውርን ያካሂዳሉ. ጠቅላላው ክፍል በቅደም ተከተል ይዘጋል. አጀማመሩ ከመጀመሪያው መጀመሪያ፣ መጨረሻው ከኋለኛው መጨረሻ ጋር ይገጣጠማል። በውጭ አገር የመማሪያ መጽሐፍት ይህ ዘዴ ይባላል "ጅራት ከጭንቅላት".

የውጤቱ መጋጠሚያዎች c = a + b ከተዛማጅ መጋጠሚያዎች ድምር ጋር እኩል ናቸው c (a1+ b1, a2+ b2).

የትይዩ (collinear) ቬክተሮች ድምርም በሦስት ማዕዘን ደንብ ይወሰናል።

ሁለት ኦሪጅናል ክፍሎች እርስ በእርሳቸው ቀጥ ያሉ ከሆኑ የመደመር ውጤቱ በእነሱ ላይ የተገነባው የቀኝ ትሪያንግል hypotenuse ነው። የድምሩ ርዝመት በፓይታጎሪያን ቲዎሪ በመጠቀም ይሰላል።

ምሳሌዎች:

• በአግድም የተጣለ የሰውነት ፍጥነት ቀጥ ያለየነፃ ውድቀት ማፋጠን.
• ወጥ በሆነ የማሽከርከር እንቅስቃሴ፣ የሰውነት መስመራዊ ፍጥነት ወደ ሴንትሪፔታል ፍጥነት ቀጥ ያለ ነው።

የሶስት ወይም ከዚያ በላይ ቬክተሮች መጨመርመሠረት ማምረት ባለብዙ ጎን ደንብ, "ጅራት ከጭንቅላት"

F1 እና F2 ኃይሎች በአንድ ነጥብ አካል ላይ እንደሚተገበሩ እናስብ።

ልምድ እንደሚያረጋግጠው የእነዚህ ሃይሎች ጥምር ውጤት በላያቸው ላይ በተሰራው ትይዩ ዲያግናል ላይ ከሚመራው አንድ ሃይል እርምጃ ጋር እኩል ነው። ይህ የውጤት ኃይል ከድምሩ ጋር እኩል ነው F = F1 + F 2. ከላይ ያለው የመደመር ዘዴ ይባላል parallelogram ደንብ.

በዚህ ጉዳይ ላይ ያለው ርዝመት በቀመርው ይሰላል

የት θ በጎኖቹ መካከል ያለው አንግል ነው.

የሶስት ማዕዘን እና ትይዩአዊ ደንቦች ተለዋጭ ናቸው. በፊዚክስ ውስጥ የጥንካሬዎች ፣ የፍጥነት እና የፍጥነት አቅጣጫዎች መጠን ብዙውን ጊዜ በአንድ ነጥብ አካል ላይ ስለሚተገበር ትይዩ ደንቡ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል። ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቅንጅት ስርዓት፣ ትይዩ የሆነው ህግ ተግባራዊ ይሆናል።

የአልጀብራ ንጥረ ነገሮች

1. መደመር ሁለትዮሽ ኦፕሬሽን ነው፡ በአንድ ጊዜ ጥንድ ብቻ መጨመር ይቻላል።
2. ተለዋዋጭነትየቃላቶች መልሶ ማደራጀት ድምር a + b = b + a አይቀየርም። ይህ ከትይዩ ደንቡ ግልጽ ነው፡ ዲያግናል ሁልጊዜ ተመሳሳይ ነው።
3. ተጓዳኝነትየዘፈቀደ የቬክተሮች ድምር በመደመር ቅደም ተከተል ላይ የተመካ አይደለም (a + b) + c = a + (b + c)።
4. በዜሮ ቬክተር ማጠቃለያ በሁለቱም አቅጣጫ ወይም ርዝመት አይለወጥም: a +0= a .
5. ለእያንዳንዱ ቬክተር አለ ተቃራኒ. ድምራቸው ከዜሮ a +(-a)=0 ጋር እኩል ነው፣ እና ርዝመቶቹ ተመሳሳይ ናቸው።

በስካላር ማባዛት

በስካላር የማባዛት ውጤት ቬክተር ነው።

የምርቱ መጋጠሚያዎች የሚገኙት የዋናውን ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች በ scalar በማባዛት ነው።

ስካላር ከአንድ በላይ ወይም ያነሰ የመደመር ወይም የመቀነስ ምልክት ያለው የቁጥር እሴት ነው።

በፊዚክስ ውስጥ የስክላር መጠኖች ምሳሌዎች፡-

• ክብደት;
• ጊዜ;
• ክፍያ;
• ርዝመት;
• ካሬ;
• ጥራዝ;
• እፍጋት;
• የሙቀት መጠን;
• ጉልበት.

ለምሳሌ:

ሥራ የጉልበት እና የመፈናቀል ውጤት ነው A = Fs.

መጠኖች ማትሪክስ m በ n.

ማትሪክስ መጠን m by n የ mn እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ወይም የሌላ መዋቅር ንጥረ ነገሮች ስብስብ (ፖሊኖሚሎች ፣ ተግባራት ፣ ወዘተ) ፣ በአራት ማዕዘን ቅርፅ ባለው ጠረጴዛ መልክ የተጻፈ ፣ እሱም m ረድፎችን እና n አምዶችን ያቀፈ እና በክብ ወይም አራት ማዕዘን ወይም ድርብ ይወሰዳል። ቀጥ ያለ ቅንፎች. በዚህ ሁኔታ, ቁጥሮቹ እራሳቸው ማትሪክስ ኤለመንቶች ይባላሉ እና እያንዳንዱ ንጥረ ነገር ከሁለት ቁጥሮች ጋር ይዛመዳል - የረድፍ ቁጥር እና የአምድ ቁጥር. የመጠን ማትሪክስ n በ n ይባላል. ካሬ የ nth ቅደም ተከተል ማትሪክስ፣ i.e. የረድፎች ብዛት ከአምዶች ቁጥር ጋር እኩል ነው. ሦስት ማዕዘን - ከዋናው ዲያግናል በታች ወይም ከዚያ በላይ ያሉት ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል የሆኑበት የካሬ ማትሪክስ ፣ ካሬ ማትሪክስ ይባላል። ሰያፍ , ሁሉም ሰያፍ ያልሆኑ ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ። ስካላር ማትሪክስ - ዋናው ሰያፍ አካላት እኩል የሆነ ሰያፍ ማትሪክስ። የስክላር ማትሪክስ ልዩ ጉዳይ የማንነት ማትሪክስ ነው። ሰያፍሁሉም ሰያፍ አካላት ከ 1 ጋር እኩል የሆነበት ማትሪክስ ተጠርቷል። ነጠላማትሪክስ እና በ I ወይም E ምልክቱ ይገለጻል. ሁሉም ንጥረ ነገሮች ዜሮ የሆኑ ማትሪክስ ይባላል ባዶ ማትሪክስ እና በ O ምልክት ይገለጻል.

ማትሪክስ A በቁጥር ማባዛት። λ (ምልክት፡ λ ሀ) ማትሪክስ በመገንባት ላይ ያካትታል ለ, የማትሪክስ እያንዳንዱን ንጥረ ነገር በማባዛት የተገኙት ንጥረ ነገሮች ሀበዚህ ቁጥር, ማለትም, የማትሪክስ እያንዳንዱ አካል ለእኩል ነው።

ማትሪክቶችን በቁጥር የማባዛት ባህሪዎች

1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

ማትሪክስ መጨመር ሀ + ለ ማትሪክስ የማግኘት ክዋኔ ነው ሲ, ሁሉም ንጥረ ነገሮች የሁሉም ተዛማጅ የማትሪክስ አባሎች ጥንድ ጥምር ድምር ጋር እኩል ናቸው። ሀእና ለ, ማለትም, የማትሪክስ እያንዳንዱ አካል ሲእኩል ነው።

የማትሪክስ መጨመር ባህሪያት

5.commutativity) a+b=b+a

6.ተዛማጅነት.

7.በዜሮ ማትሪክስ መጨመር;

8.የተቃራኒ ማትሪክስ መኖር (ተመሳሳይ ነገር ግን ከእያንዳንዱ ቁጥር በፊት በየቦታው የሚቀነሱ ነገሮች አሉ)

ማትሪክስ ማባዛት። - የማትሪክስ ስሌት አሠራር አለ ሲ, የሁለተኛው የመጀመሪያው ምክንያት እና አምድ በተዛማጅ ረድፍ ውስጥ ከሚገኙት ንጥረ ነገሮች ምርቶች ድምር ጋር እኩል ናቸው.

በማትሪክስ ውስጥ ያሉት የአምዶች ብዛት ሀበማትሪክስ ውስጥ ካሉ የረድፎች ብዛት ጋር መዛመድ አለበት። ለ. ማትሪክስ ከሆነ ሀስፋት አለው ፣ ለ-, ከዚያም የምርታቸው መጠን AB = ሲአለ .

የማትሪክስ ማባዛት ባህሪያት

1. ማዛመድ; (ከላይ ይመልከቱ)

2. ምርቱ ተላላፊ አይደለም;

3.the ምርት የማንነት ማትሪክስ ጋር ማባዛት ሁኔታ ውስጥ commutative ነው;

የስርጭት ህግ 4.ፍትሃዊነት; A*(B+C)=A*B+A*C

5.(ΛA) B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. የመጀመሪያው እና n ኛ ቅደም ተከተል የካሬ ማትሪክስ መወሰኛ

የማትሪክስ ወሳኙ የካሬ ማትሪክስ ንጥረ ነገሮች ፖሊኖሚል ነው (ይህም የረድፎች እና የአምዶች ብዛት እኩል የሆነበት አንዱ ነው)

በመጀመሪያው ረድፍ ውስጥ በማስፋፊያ በኩል መወሰን

ለመጀመሪያ ትዕዛዝ ማትሪክስ የሚወስንየዚህ ማትሪክስ ብቸኛው አካል ነው-

ለወሳኞች ማትሪክስ እንደሚከተለው ይገለጻል።

ለማትሪክስ፣ ወሳኙ በተደጋጋሚ ይገለጻል፡-

, ለኤለመንት ተጨማሪ ጥቃቅን የት አለ ሀ 1ጄ. ይህ ቀመር ይባላል የመስመር መስፋፋት.

በተለይም የማትሪክስ ወሳኙን ለማስላት ቀመር፡-

= ሀ 11 ሀ 22 ሀ 33 − ሀ 11 ሀ 23 ሀ 32 − ሀ 12 ሀ 21 ሀ 33 + ሀ 12 ሀ 23 ሀ 31 + ሀ 13 ሀ 21 ሀ 32 − ሀ 13 ሀ 22 ሀ 31

የመወሰን ባህሪያት

የሌሎች ረድፎች (አምዶች) መስመራዊ ጥምረት ወደ ማንኛውም ረድፍ (አምድ) ሲጨመሩ ወሳኙ አይለወጥም።

§ የማትሪክስ ሁለት ረድፎች (ዓምዶች) ከተጋጠሙ፣ የሚወስነው ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

§ የማትሪክስ ሁለት (ወይም ብዙ) ረድፎች (ዓምዶች) በመስመር ላይ ጥገኛ ከሆኑ፣ የሚወስነው ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

§ የማትሪክስ ሁለት ረድፎችን (ዓምዶች) እንደገና ካደረጋችሁ፣ የሚወስነው በ (-1) ተባዝቷል።

§ የማንኛውም ተከታታይ አካል አካላት የጋራ ምክንያት ከወሳኙ ምልክት ሊወጣ ይችላል።

§ የማትሪክስ ቢያንስ አንድ ረድፍ (አምድ) ዜሮ ከሆነ፣ ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

§ የሁሉም የረድፍ አካላት ምርቶች ድምር በአልጀብራ ማሟያዎቻቸው ከወሰነው ጋር እኩል ነው።

§ የሁሉም ተከታታይ ንጥረ ነገሮች ምርቶች ድምር በትይዩ ተከታታዮች ተጓዳኝ አካላት በአልጀብራ ማሟያዎች ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

§ ተመሳሳይ ቅደም ተከተል ያላቸው የካሬ ማትሪክስ ምርትን የሚወስነው ከጠቋሚዎቻቸው ምርት ጋር እኩል ነው (በተጨማሪም የ Binet-Cauchy ቀመር ይመልከቱ)።

§ የኢንዴክስ ማስታወሻን በመጠቀም የ3x3 ማትሪክስ መወሰኛ ከግንኙነቱ የሌዊ-ሲቪታ ምልክትን በመጠቀም ሊገለጽ ይችላል፡

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ.

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ - እንደዚህ ያለ ማትሪክስ አ-1የመጀመሪያው ማትሪክስ በየትኛው ሲባዛ ሀየማንነት ማትሪክስ ውጤትን ያመጣል ኢ:

ሁኔታዊ መኖር፡

የካሬ ማትሪክስ የማይገለበጥ ከሆነ እና ነጠላ ካልሆነ ብቻ ፣ ማለትም ፣ የሚወስነው ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም። ስኩዌር ያልሆኑ ማትሪክስ እና ነጠላ ማትሪክስ, ምንም የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የለም.

ለማግኘት ቀመር

ማትሪክስ የማይገለበጥ ከሆነ ፣ተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማግኘት ከሚከተሉት ዘዴዎች ውስጥ አንዱን መጠቀም ይችላሉ-

ሀ) የአልጀብራ ተጨማሪዎች ማትሪክስ በመጠቀም

ሲ ቲ- የአልጀብራ ተጨማሪዎች የተላለፈ ማትሪክስ;

የተገኘው ማትሪክስ ሀ-1 እና ተገላቢጦሽ ይሆናል። የአልጎሪዝም ውስብስብነት የሚወሰነው O detን ለማስላት በአልጎሪዝም ውስብስብነት ላይ ነው እና ከ O(n²) · O det ጋር እኩል ነው።

በሌላ አነጋገር የተገላቢጦሹ ማትሪክስ በዋናው ማትሪክስ ወሳኙ ከተከፋፈለ እና በተለወጠው የአልጀብራ ተጨማሪዎች ማትሪክስ ተባዝቷል (አካለ መጠን ያልደረሰው በ (-1) ተባዝቶ በያዘው ቦታ ኃይል) የዋናው ማትሪክስ ንጥረ ነገሮች.

4. የመስመር እኩልታዎች ስርዓት. የስርዓት መፍትሄ. የስርዓቱ ተኳሃኝነት እና አለመጣጣም. የማትሪክስ ዘዴ የ n መስመራዊ እኩልታዎችን ከ n ተለዋዋጮች ጋር ለመፍታት። የክረምመር ቲዎሪ.

ስርዓት ኤምጋር መስመራዊ እኩልታዎች nየማይታወቅ(ወይም መስመራዊ ስርዓት) በመስመራዊ አልጀብራ የቅጹ እኩልታዎች ስርዓት ነው።

(1)

እዚህ x 1 , x 2 , …, x n- መወሰን ያለባቸው ያልታወቁ. ሀ 11 , ሀ 12 , …, አንድ mn- የስርዓት ቅንጅቶች - እና ለ 1 , ለ 2 , … ቢ ሜ- ነፃ አባላት - እንደሚታወቁ ይታሰባል. ተመጣጣኝ ኢንዴክሶች ( አ ijስርዓቶች የእኩልታ ቁጥሮችን ያመለክታሉ ( እኔ) እና ያልታወቀ ( ጄ), በቅደም ተከተል ይህ ቅንጅት ይቆማል.

ስርዓት (1) ይባላል ተመሳሳይነት ያለውሁሉም ነፃ ውሎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ( ለ 1 = ለ 2 = … = ቢ ሜ= 0) ካልሆነ - የተለያዩ.

ስርዓት (1) ይባላል ካሬ, ቁጥር ከሆነ ኤምከቁጥሩ ጋር እኩል የሆኑ እኩልታዎች nየማይታወቅ.

መፍትሄስርዓቶች (1) - ስብስብ nቁጥሮች ሐ 1 , ሐ 2 , …, ሐ n, የእያንዳንዱን መተካት c iከሱ ይልቅ x iወደ ሥርዓት (1) ሁሉንም እኩልታዎች ወደ ማንነቶች ይለውጣል።

ስርዓት (1) ይባላል መገጣጠሚያ, ቢያንስ አንድ መፍትሄ ካለው, እና የጋራ ያልሆነ፣ አንድ ነጠላ መፍትሄ ከሌለች ።

ዓይነት (1) የጋራ ሥርዓት አንድ ወይም ከዚያ በላይ መፍትሄዎች ሊኖሩት ይችላል።

መፍትሄዎች ሐ 1 (1) , ሐ 2 (1) , …, ሐ n(1) እና ሐ 1 (2) , ሐ 2 (2) , …, ሐ n(2) የቅጹ (1) የጋራ ስርዓቶች ተጠርተዋል የተለያዩቢያንስ አንዱ እኩልነት ከተጣሰ፡-

ሐ 1 (1) = ሐ 1 (2) , ሐ 2 (1) = ሐ 2 (2) , …, ሐ n (1) = ሐ n (2) .

ማትሪክስ ቅጽ

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት በማትሪክስ መልክ እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል፡-

ሀx = ለ.

በቀኝ በኩል የነፃ ቃላት አምድ ወደ ማትሪክስ A ከታከለ ፣ የተገኘው ማትሪክስ የተራዘመ ይባላል።

ቀጥተኛ ዘዴዎች

የክሬመር ዘዴ (Cramer's rule)- የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ባለአራት ስርዓቶችን የመፍታት ዘዴ ከዋናው ማትሪክስ ዜሮ ያልሆነ መወሰኛ (እና ለእንደዚህ ዓይነቶቹ እኩልታዎች ልዩ መፍትሄ አለ)። ዘዴውን የፈጠረው በገብርኤል ክራመር (1704-1752) የተሰየመ።

ዘዴው መግለጫ

ለስርዓት nጋር መስመራዊ እኩልታዎች nያልታወቀ (በዘፈቀደ መስክ ላይ)

የስርዓቱ ማትሪክስ Δ ከዜሮ የተለየ ከሆነው መፍትሄ ጋር በቅጹ ውስጥ ተጽፏል

(የስርዓቱ ማትሪክስ i-th አምድ በነጻ ቃላት አምድ ተተካ)።
በሌላ መልኩ፣ የCramer's ደምብ እንደሚከተለው ተዘጋጅቷል፡- ለማንኛውም ኮፊሸንት c 1፣ c 2፣...፣ c n የሚከተለው እኩልነት ይይዛል፡

በዚህ ቅፅ፣ የክሬመር ቀመር Δ ከዜሮ የተለየ ነው ተብሎ ሳይታሰብ የሚሰራ ነው፣ የስርአቱ ውህደቶች የአንድ ቀለበት አካል እንዲሆኑ እንኳን አስፈላጊ አይደለም (የስርዓቱን የሚወስነው በ ዜሮ ውስጥ የዜሮ አካፋይ ሊሆን ይችላል)። የተቀናጀ ቀለበት). እኛ ደግሞ ወይ ስብስቦች እንደሆነ መገመት እንችላለን ለ 1 ,ለ 2 ,...,ለ nእና x 1 ,x 2 ,...,x n፣ ወይም ስብስብ ሐ 1 ,ሐ 2 ,...,ሐ nየስርዓቱን የተቀናጀ ቀለበት አባላትን ያቀፈ ሳይሆን ከዚህ ቀለበት በላይ ያሉ አንዳንድ ሞጁሎችን ያቀፈ ነው።

5. ትንሹ የ kth ትዕዛዝ. ማትሪክስ ደረጃ. የማትሪክስ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች. የመስመር እኩልታዎች ስርዓት በተኳሃኝነት ሁኔታዎች ላይ የክሮኔከር-ካፔሊ ቲዎረም። የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ተለዋዋጭ ማስወገጃ (ጋውሲያን) ዘዴ።

አናሳ ማትሪክስ ሀየካሬ ማትሪክስ የትዕዛዝ ወሳኙ ነው። ክ(የዚህ አናሳ ቅደም ተከተል ተብሎም ይጠራል), የማን ንጥረ ነገሮች በማትሪክስ ውስጥ ይታያሉ ሀከቁጥሮች እና ከቁጥሮች ጋር በረድፎች መገናኛ ላይ.

ደረጃ ማትሪክስ ረድፍ (አምድ) ስርዓት ሀጋር ኤምመስመሮች እና nዓምዶች ከፍተኛው ዜሮ ያልሆኑ ረድፎች (አምዶች) ቁጥር ​​ነው።

አንዳቸውም ቢሆኑ ከሌሎቹ አንጻር ሊገለጹ የማይችሉ ከሆነ በርካታ ረድፎች (አምዶች) በቀጥታ ነጻ ናቸው ተብሏል። የረድፍ ስርዓቱ ደረጃ ሁልጊዜ ከአምድ ስርዓት ደረጃ ጋር እኩል ነው, እና ይህ ቁጥር የማትሪክስ ደረጃ ይባላል.

Kronecker - Capelli ቲዮረም (የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ወጥነት መስፈርት) -

የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የሚስማማው የዋናው ማትሪክስ ደረጃ ከተራዘመው ማትሪክስ ደረጃ (ከነፃ ቃላት ጋር) ከሆነ እና ስርዓቱ ከቁጥሩ ጋር እኩል ከሆነ ልዩ መፍትሄ አለው ። ያልታወቁ እና ደረጃው ከማይታወቁት ቁጥር ያነሰ ከሆነ የማይታወቁ መፍትሄዎች.

Gauss ዘዴ - የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች (SLAE) ስርዓትን ለመፍታት ክላሲካል ዘዴ። ይህ ተለዋዋጮችን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ነው ፣ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ፣ የእኩልታዎች ስርዓት ወደ አንድ ደረጃ (ወይም ባለሶስት ጎን) ቅርፅ ተመጣጣኝ ስርዓት ሲቀንስ ፣ ሁሉም ሌሎች ተለዋዋጮች ከመጨረሻው ጀምሮ በቅደም ተከተል ይገኛሉ (በ ቁጥር) ተለዋዋጮች.

6. የተመራው ክፍል እና ቬክተር. የቬክተር አልጀብራ መሠረታዊ ጽንሰ-ሐሳቦች. የቬክተር ድምር እና የቬክተር እና የቁጥር ውጤት። የቬክተሮችን የማስተባበር ሁኔታ. በቬክተሮች ላይ የመስመራዊ ስራዎች ባህሪያት.

በቬክተሮች ላይ ክዋኔዎች

መደመር

እንደ ሁኔታው ​​​​እና እንደ ሁኔታው ​​​​እንደተገመተው የቬክተር አይነት የጂኦሜትሪክ ቬክተሮችን የመጨመር አሠራር በተለያዩ መንገዶች ሊገለጽ ይችላል.

ሁለት ቬክተሮች ዩ, ቁእና የእነሱ ድምር ቬክተር

የሶስት ማዕዘን ህግ. ሁለት ቬክተሮችን ለመጨመር እና በሶስት ማዕዘን ህግ መሰረት, ሁለቱም እነዚህ ቬክተሮች ከራሳቸው ጋር ትይዩ ይተላለፋሉ ስለዚህም የአንደኛው መጀመሪያ ከሌላው መጨረሻ ጋር ይጣጣማል. ከዚያም ድምር ቬክተር በተፈጠረው ትሪያንግል በሶስተኛው በኩል ይሰጠዋል, እና ጅማሬው ከመጀመሪያው ቬክተር መጀመሪያ ጋር ይጣጣማል, እና መጨረሻው ከሁለተኛው ቬክተር መጨረሻ ጋር ይጣጣማል.

Parallelogram ደንብ. ሁለት ቬክተሮችን ለመጨመር እና በትይዩአሎግራም ህግ መሰረት, ሁለቱም እነዚህ ቬክተሮች አመጣጥ እንዲገጣጠም ከራሳቸው ጋር ትይዩ ይተላለፋሉ. ከዚያም ድምር ቬክተር ከጋራ መነሻቸው ጀምሮ በእነሱ ላይ በተሠራው ትይዩ ዲያግናል ይሰጣል።

እና የመደመር ቬክተር ሞጁል (ርዝመት) የአንዱ መጀመሪያ ከሌላው ጫፍ ጋር ሲገጣጠም በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል የት በኮሳይን ቲዎረም ይወሰናል። ቀመሩ አሁን ጥቅም ላይ ይውላል - ከአንድ ነጥብ በሚወጣው ቬክተር መካከል ያለው አንግል።

የቬክተር ጥበብ ስራ

የቬክተር ጥበብ ስራ vector by vector የሚከተሉትን መስፈርቶች የሚያሟላ ቬክተር ነው።

የቬክተር ሲ ባህሪያት

§ የቬክተር ርዝመት የቬክተር ርዝመቶች ምርት እና በመካከላቸው ካለው አንግል φ ሳይን ጋር እኩል ነው.

§ ቬክተሩ ለእያንዳንዱ ቬክተር ኦርቶጎን እና

§ የቬክተር ሲ አቅጣጫ የሚወሰነው በ Buravchik ደንብ ነው

የቬክተር ምርት ባህሪያት:

1. ምክንያቶችን በሚያስተካክሉበት ጊዜ, የቬክተር ምርቱ ምልክትን ይለውጣል (ፀረ-ተውጣጣ), ማለትም.

2. የቬክተር ምርቱ ከስኬር ፋክተር ጋር የተጣመረ ንብረት አለው, ማለትም

3. የቬክተር ምርቱ የማከፋፈያ ንብረት አለው፡-

በአውሮፕላኑ እና በጠፈር ላይ መሰረት እና ማስተባበር ስርዓት. የቬክተር መበስበስን መሠረት በማድረግ. በአውሮፕላኑ እና በህዋ ላይ ኦርቶርማል መሰረት እና አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የካርቴዥያ ማስተባበሪያ ስርዓት. በአውሮፕላን እና በጠፈር ላይ የቬክተር እና ነጥብ መጋጠሚያዎች። በተጋጠሙትም ዘንጎች ላይ የቬክተር ትንበያዎች.

መሰረት (የጥንቷ ግሪክ βασις፣ መሠረት) - በዚህ ቦታ ላይ ያለ ማንኛውም ቬክተር ከዚህ ስብስብ የቬክተር መስመራዊ ጥምረት ሆኖ እንዲወከል በቬክተር ቦታ ላይ ያሉ የቬክተር ስብስብ - መሠረት ቬክተሮች.

ብዙውን ጊዜ የእያንዳንዱን የመሠረት ቬክተሮች ዩኒት ርዝመት (መደበኛ) ለመምረጥ አመቺ ነው, እንዲህ ዓይነቱ መሠረት ይባላል. መደበኛ.

የአንድ የተወሰነ (ማንኛውም) የቦታ ቬክተር ውክልና እንደ የመሠረት ቬክተር መስመራዊ ጥምረት (የመሠረታዊ ቬክተሮች ድምር በቁጥር አሃዛዊ ድምር)፣ ለምሳሌ

ወይም፣ ድምር ምልክቱን Σ በመጠቀም፡-

ተብሎ ይጠራል በዚህ መሠረት ላይ የዚህን ቬክተር ማስፋፋት.

በአውሮፕላን እና በጠፈር ላይ የቬክተር እና ነጥብ መጋጠሚያዎች።

የነጥብ A የ x-ዘንግ መጋጠሚያ በፍፁም ዋጋ ከ OAx ክፍል ርዝመት ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ነው፡ ነጥብ ሀ በአዎንታዊ x-ዘንግ ላይ ቢተኛ እና አሉታዊ በሆነው ከፊል ዘንግ ላይ የሚተኛ ከሆነ።

ዩኒት ቬክተር ወይም ዩኒት ቬክተር ቬክተር ሲሆን ርዝመቱ ከአንድ ጋር እኩል የሆነ እና በማንኛውም የመጋጠሚያ ዘንግ ላይ የሚመራ ነው።

ከዚያም የቬክተር ትንበያ AB በ l ዘንግ ላይ ያለው ልዩነት x1 - x2 በዚህ ዘንግ ላይ ባለው የቬክተር መጨረሻ እና መጀመሪያ ግምቶች መጋጠሚያዎች መካከል ያለው ልዩነት ነው።

8.የቬክተር ርዝመት እና አቅጣጫ ኮሲኖች፣ በአቅጣጫ ኮሳይኖች መካከል ያለው ግንኙነት። ኦርት ቬክተር. መጋጠሚያዎች የቬክተር ድምር፣ የቬክተር እና የቁጥር ውጤት ናቸው።

የቬክተር ርዝመት በቀመር ይወሰናል

የቬክተሩ አቅጣጫ የሚወሰነው በ α, β, γ ማዕዘኖች በተቀነባበረ ኦክስ, ኦይ, ኦዝ. የእነዚህ ማዕዘኖች ኮሳይኖች (የሚባሉት አቅጣጫ cosines ቬክተር ) ቀመሮችን በመጠቀም ይሰላሉ፡-

ክፍል ቬክተርወይም ኦርት (መደበኛ የቬክተር ቦታ ዩኒት ቬክተር) መደበኛ (ርዝመቱ) ከአንድ ጋር እኩል የሆነ ቬክተር ነው.

ዩኒት ቬክተር, ኮሊኔር ከተሰጠው (መደበኛ ቬክተር) ጋር, በቀመርው ይወሰናል

ዩኒት ቬክተሮች ብዙውን ጊዜ እንደ መሰረት ቬክተሮች ይመረጣሉ, ይህም ስሌቶችን ቀላል ያደርገዋል. እንደዚህ ያሉ መሰረቶች ይባላሉ መደበኛ. እነዚህ ቬክተሮችም ኦርቶጎን ከሆኑ, እንዲህ ዓይነቱ መሠረት ኦርቶኖርማል መሠረት ይባላል.

መጋጠሚያዎች ኮላይኔር

መጋጠሚያዎች እኩል ነው።

መጋጠሚያዎች ድምር ቬክተርግንኙነቶቹን የሚያረኩ ሁለት አካላት;

መጋጠሚያዎች ኮላይኔርቬክተሮች ግንኙነቱን ያረካሉ;

መጋጠሚያዎች እኩል ነው።ቬክተሮች ግንኙነቶችን ያረካሉ;

ድምር ቬክተርሁለት ቬክተሮች;

የበርካታ ቬክተሮች ድምር፡-

የቬክተር እና የቁጥር ምርት፡-

የቬክተሮች ተሻጋሪ ምርት. የመስቀል ምርት ጂኦሜትሪክ አፕሊኬሽኖች። የቬክተሮች የጋራነት ሁኔታ. የተቀላቀለ ምርት አልጀብራ ባህሪያት. የቬክተር ምርቱን በምክንያቶች መጋጠሚያዎች መግለጽ.

የቬክተር ተሻጋሪ ምርትእና ቬክተር ለ ቬክተር ሲ ይባላል፡ እሱም፡-

1. በቬክተር a እና b, ማለትም c^a እና c^b ላይ ቀጥ ያለ;

2. በቬክተር a እና b ላይ እንደ ጎን ከተሰራው ትይዩ ስፋት ጋር በቁጥር እኩል የሆነ ርዝመት አለው (ምሥል 17 ይመልከቱ) ማለትም

3.Vectors a, b እና c የቀኝ እጅ ሶስት እጥፍ ይመሰርታሉ.

ጂኦሜትሪክ መተግበሪያዎች

የቬክተሮች ኮላይኔሪቲ ማቋቋም

ትይዩ እና ትሪያንግል አካባቢን መፈለግ

በቬክተሮች የቬክተር ምርት ፍቺ መሠረት ሀእና ለ |a xb | =|አ| * |b |መዘመር፣ ማለትም S pairs = |a x b |. እና፣ ስለዚህ፣ DS =1/2|a x b |.

ስለ አንድ ነጥብ የግዳጅ ጊዜ መወሰን

እንደሚታወቀው ከፊዚክስ የኃይል አፍታ ኤፍከነጥቡ አንጻር ስለቬክተር ይባላል ኤም፣በነጥቡ ውስጥ የሚያልፍ ስለእና፡-

1) ነጥቦቹን በሚያልፈው አውሮፕላን ላይ ቀጥ ያለ ኦ፣ ኤ፣ ቢ;

2) በአንድ ክንድ ከኃይል ምርት ጋር በቁጥር እኩል ነው።

3) ከቬክተር OA እና A B ጋር የቀኝ ሶስት እጥፍ ይመሰርታል።

ስለዚህ፣ M = OA x F.

መስመራዊ የማሽከርከር ፍጥነት ማግኘት

የጠንካራ አካል ፍጥነት v ከማዕዘን ፍጥነት ጋር በቋሚ ዘንግ ዙሪያ የሚሽከረከር በኡለር ቀመር v = w xr፣ r =OM፣ O የዘንግ የተወሰነ ቋሚ ነጥብ በሆነበት (ምስል ይመልከቱ)። 21)

የቬክተሮች የጋራነት ሁኔታ - ዜሮ ላልሆነ ቬክተር እና ቬክተር ኮላይኔሪቲ አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ እኩልነትን የሚያረካ ቁጥር መኖር ነው.

የተቀላቀለ ምርት አልጀብራ ባህሪያት

የቬክተር ድብልቅ ምርት ምክንያቶቹ በክብ ሲደራጁ አይለወጥም እና ሁለት ነገሮች ሲቀያየሩ ወደ ተቃራኒው ምልክት ሲቀየር እና ሞጁሉን ጠብቆ ይቆያል።

በተቀላቀለ ምርት ውስጥ ያለው የቬክተር ማባዛት ምልክት "" በማናቸውም ምክንያቶች መካከል ሊቀመጥ ይችላል።

ድብልቅ ምርት ከማንኛቸውም ምክንያቶች አንጻር ይከፋፈላል፡ (ለምሳሌ) ከሆነ፣ ከዚያ

የመስቀል ምርትን ከመጋጠሚያዎች አንጻር መግለጽ

ትክክለኛ ቅንጅት ስርዓት

የግራ መጋጠሚያ ስርዓት

12.የቬክተሮች ድብልቅ ምርት. የተቀላቀለ ምርት ጂኦሜትሪክ ትርጉም, የቬክተሮች (coplanarity) ሁኔታ. የተቀላቀለ ምርት አልጀብራ ባህሪያት. የተቀላቀለ ምርትን በምክንያቶች መጋጠሚያዎች መግለጽ.

የተቀላቀለየታዘዘ የሶስትዮሽ ቬክተር (a,b,c) ውጤት የአንደኛው ቬክተር እና የሁለተኛው የቬክተር እና የሦስተኛው የቬክተር ውጤት ነው.

የቬክተር ምርት አልጀብራ ባህሪያት

ፀረ-ተመጣጣኝ

በስካላር ማባዛትን በተመለከተ ተያያዥነት

በመደመር ስርጭት

የያዕቆብ ማንነት። በ R3 ውስጥ ይሰራል እና በ R7 ይቋረጣል

የመሠረት ቬክተሮች የቬክተር ምርቶች በፍቺ ይገኛሉ

መደምደሚያ

የሁለቱም የመስመሩ አቅጣጫ ቬክተር እና የመስመሩ ንብረት የሆነ ነጥብ መጋጠሚያዎች የት አሉ።

በአውሮፕላን ውስጥ መደበኛ የመስመር ቬክተር። በተሰጠው ነጥብ በኩል የሚያልፍ የመስመር እኩልታ ከተሰጠው ቬክተር ጋር ቀጥ ያለ። የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ። የማዕዘን ቅንጅት ያለው ቀጥተኛ መስመር እኩልታዎች። በአውሮፕላን ላይ የሁለት ቀጥተኛ መስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ

መደበኛየአንድ መስመር ቬክተር ከዚህ መስመር ጋር የሚመጣጠን ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ነው።

- በተሰጠው ቬክተር በተሰጠው ነጥብ በኩል የሚያልፍ መስመር እኩልታ

አክስ + ዉ + ሲ = 0- የአንድ መስመር አጠቃላይ እኩልታ.

የቅጹ y=kx+b የመስመር እኩልታ

ተብሎ ይጠራል ከቁልቁል ጋር ቀጥተኛ መስመር እኩልታ, እና Coefficient k የዚህ መስመር ተዳፋት ተብሎ ይጠራል.

ቲዎረም. ከቁልቁለት y=kx+b ጋር ባለው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ

የ angular Coefficient k ከቀጥታ መስመር ወደ abscissa ዘንግ ካለው የማእዘን አንግል ታንጀንት ጋር እኩል ነው።

የጋራ ዝግጅት:

- በኦክሲ መጋጠሚያ አውሮፕላን ላይ የሁለት መስመሮች አጠቃላይ እኩልታዎች። ከዚያም

1) ከሆነ, ከዚያም መስመሮቹ ይጣጣማሉ;

2) ከሆነ, ከዚያም ቀጥ ያለ እና ትይዩ;

3) ከሆነ, ከዚያም መስመሮቹ እርስ በርስ ይገናኛሉ.

ማረጋገጫ . ሁኔታው ከተሰጡት መስመሮች መደበኛ ቬክተር ጋር እኩል ነው፡

ስለዚህ, ከሆነ, ከዚያም ቀጥታ መስመሮች መቆራረጥ.

ከሆነ , ከዚያ , እና የመስመሩ እኩልታ ቅጹን ይወስዳል:

ወይም ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ቀጥታ ግጥሚያ. የተመጣጠነ ተመጣጣኝነት (coefficient) መሆኑን ልብ ይበሉ, አለበለዚያ ሁሉም የአጠቃላይ እኩልታ እኩልነት ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል, ይህ የማይቻል ነው.

መስመሮቹ የማይጣጣሙ እና የማይገናኙ ከሆነ, ጉዳዩ ይቀራል, ማለትም. ቀጥታ ትይዩ.

በክፍሎች ውስጥ የአንድ መስመር እኩልታ

በአጠቃላይ ቀጥተኛ መስመር Ах + Ву + С = 0 С≠0 ከሆነ ፣ ከዚያ ፣ በ -С መከፋፈል ፣ እናገኛለን: ወይም ፣ የት

የቅንጅቶች ጂኦሜትሪክ ትርጉሙ ኮፊሸን ማለት ነው። ሀከኦክስ ዘንግ ጋር የመስመሩ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያ ነው, እና ለ- የቀጥታ መስመር መገናኛ ነጥብ ከኦይ ዘንግ ጋር መጋጠሚያ።

የአንድ መስመር መደበኛ እኩልታ

የእኩልታ ሁለቱም ጎኖች Ax + By + C = 0 በተጠራ ቁጥር ከተከፋፈሉ መደበኛ ሁኔታ, ከዚያም እናገኛለን

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

የአንድ መስመር መደበኛ እኩልታ።

የመደበኛነት ሁኔታ ምልክት ± መመረጥ አለበት ስለዚህ μ? ጋር< 0.

p ከመነሻው ወደ ቀጥታ መስመር የወረደው የፔንዲኩላር ርዝመት ሲሆን φ ከኦክስ ዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር በዚህ ቀጥ ያለ ቅርጽ ያለው አንግል ነው።

C እያንዳንዱ መስመር በክፍሎች ውስጥ በቀመር ሊወከል እንደማይችል ልብ ሊባል የሚገባው ነው, ለምሳሌ, መስመሮች ከመጥረቢያ ጋር ትይዩ ወይም በመነሻው ውስጥ ማለፍ.

17. ኤሊፕስ. የኤሊፕስ ቀኖናዊ እኩልታ። የጂኦሜትሪክ ባህሪያት እና የኤሊፕስ ግንባታ. ልዩ ውሎች።

ሞላላ - የነጥቦች ቦታ ኤም Euclidean አውሮፕላን, ለዚህም የርቀቶች ድምር ወደ ሁለት ነጥብ ነጥቦች ኤፍ 1 እና ኤፍ 2 (ፎሲ ተብሎ የሚጠራው) ቋሚ እና በፎሲዎች መካከል ካለው ርቀት የበለጠ ነው, ማለትም | ኤፍ 1 ኤም | + | ኤፍ 2 ኤም | = 2ሀ, እና | ኤፍ 1 ኤፍ 2 | < 2ሀ.

ቀኖናዊ እኩልታ

ለማንኛውም ሞላላ፣ ሞላላው በቀመርው የሚገለፅ የካርቴዥያን ማስተባበሪያ ስርዓት ማግኘት ይችላሉ (የቀኖናዊው የዔሊፕ እኩልነት)፡-

እሱ በመነሻው ላይ ያተኮረ ሞላላ ይገልፃል ፣ የእሱ መጥረቢያዎች ከተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ጋር ይገጣጠማሉ።

ግንባታ: 1) ኮምፓስ መጠቀም

2) ሁለት ብልሃቶች እና የተዘረጋ ክር

3) ኤሊፕሶግራፍ (ኤሊፕሶግራፍ ሁለት ተንሸራታቾችን ያቀፈ ሲሆን ይህም በሁለት ቋሚ ቦይዎች ወይም መመሪያዎች ላይ ሊንቀሳቀሱ ይችላሉ. ተንሸራታቾች በበትሩ ላይ በማጠፊያዎች ተያይዘዋል, እና በበትሩ በኩል እርስ በርስ በተወሰነ ርቀት ላይ ይገኛሉ. ተንሸራታቾች ወደ ፊት ይንቀሳቀሳሉ እና ወደ ኋላ - እያንዳንዱ በራሱ ጎድጎድ ፣ - እና የበትሩ መጨረሻ በአውሮፕላኑ ላይ ያለውን ሞላላ ይገልፃል ። ርቀቶች a እና b ሊለያዩ ይችላሉ ፣ እና በዚህም የተገለጸውን ሞላላ ቅርፅ እና መጠን ይለውጡ)

Eccentricity የኤሊፕስ ማራዘምን ያሳያል. ግርዶሹ ወደ ዜሮ በተጠጋ ቁጥር ኤሊፕሱ ከክብ ጋር ይመሳሰላል፣ በተቃራኒው ደግሞ ግርዶሹ ወደ አንድነት ሲጠጋ፣ የበለጠ ይረዝማል።

የትኩረት መለኪያ

ቀኖናዊ እኩልታ

18.ሃይፐርቦላ የሃይፐርቦላዎች ቀኖናዊ እኩልታዎች. የጂኦሜትሪክ ባህሪያት እና የሃይፐርቦላ ግንባታ. ልዩ ውሎች

ሃይፐርቦላ(ጥንታዊ ግሪክ ὑπερβολή፣ ከጥንታዊ ግሪክ βαλειν - “መወርወር”፣ ὑπερ - “በላይ”) - የነጥብ ቦታዎች ኤም Euclidean አውሮፕላን, ለዚህም የርቀቶች ልዩነት ፍፁም ዋጋ ኤምእስከ ሁለት የተመረጡ ነጥቦች ኤፍ 1 እና ኤፍ 2 (foci ይባላል) ያለማቋረጥ። የበለጠ በትክክል ፣

ከዚህም በላይ | ኤፍ 1 ኤፍ 2 | > 2ሀ > 0.

ሬሾዎች

ከላይ ለተገለጹት የሃይፐርቦላዎች ባህሪያት, የሚከተሉትን ግንኙነቶች ይታዘዛሉ

2. የሃይፐርቦላ ዳይሬክተሮች በድርብ ውፍረት መስመሮች ይገለጣሉ እና ይጠቁማሉ ዲ 1 እና ዲ 2. ግርዶሽ ε ከነጥብ ርቀቶች ጥምርታ ጋር እኩል ነው። ፒበሃይፐርቦል ላይ ወደ ትኩረት እና ወደ ተጓዳኝ ዳይሬክተሩ (በአረንጓዴ የሚታየው). የሃይፐርቦላዎቹ ጫፎች እንደ ± ተብለው ተሰይመዋል ሀ. የሃይፐርቦላ መለኪያዎች የሚከተሉትን ማለት ነው.

ሀ- ከመሃል ርቀት ሲወደ እያንዳንዱ ጫፎች
ለ- የቋሚው ርዝመት ከእያንዳንዱ ጫፎች ወደ አሲምፕቶስ ወድቋል
ሐ- ከመሃል ርቀት ሲለማንኛውም ትኩረት ፣ ኤፍ 1 እና ኤፍ 2 ,
θ በእያንዳንዱ asymptotes የተሰራው አንግል እና በቋሚዎቹ መካከል የተዘረጋው ዘንግ ነው።

ንብረቶች

§ በሃይፐርቦላ ላይ ለሚተኛ ማንኛውም ነጥብ፣ ከዚህ ነጥብ እስከ ትኩረት ያለው ርቀት ከተመሳሳይ ነጥብ እስከ ዳይሬክተሩ ያለው ርቀት ያለው ጥምርታ ቋሚ እሴት ነው።

§ ሃይፐርቦላ በሃይፐርቦላ መሃከል በ180° አንግል ውስጥ ሲሽከረከር ስለ እውነተኛው እና ምናባዊ ዘንጎች የመስታወት ሲሜትሪ አለው።

§ እያንዳንዱ ሃይፐርቦላ አለው። conjugate hyperbola, ለዚህም እውነተኛ እና ምናባዊ ዘንጎች ቦታዎችን ይለውጣሉ, ነገር ግን አሲምፕቶቶች ተመሳሳይ ናቸው. ይህ ከመተካት ጋር ይዛመዳል ሀእና ለሃይፐርቦላ በሚገልጽ ቀመር ላይ እርስ በርስ. የተዋሃደ ሃይፐርቦላ ዋናውን ሃይፐርቦላ በ90° አንግል በኩል የማዞር ውጤት አይደለም። ሁለቱም ሃይፐርቦላዎች በቅርጽ ይለያያሉ.

19. ፓራቦላ. የፓራቦላ ቀኖናዊ እኩልታ። የጂኦሜትሪክ ባህሪያት እና የፓራቦላ ግንባታ. ልዩ ውሎች።

ፓራቦላ - ከተጠቀሰው መስመር (የፓራቦላ ዳይሬክተር ተብሎ የሚጠራው) እና የተሰጠው ነጥብ (የፓራቦላ ትኩረት ተብሎ የሚጠራው) የነጥቦች ጂኦሜትሪክ ቦታ።

በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ሥርዓት ውስጥ ያለው የፓራቦላ ቀኖናዊ እኩልታ፡-

(ወይንም መጥረቢያዎቹን ከቀየሩ).

ንብረቶች

§ 1 ፓራቦላ የሁለተኛ ደረጃ ኩርባ ነው።

§ 2የሚባል የሲሜትሪ ዘንግ አለው። የፓራቦላ ዘንግ. ዘንግው በትኩረት ውስጥ ያልፋል እና ወደ ቀጥታ መስመር ቀጥተኛ ነው።

§ 3 የጨረር ንብረት.በፓራቦላ ውስጥ የሚንፀባረቀው ከፓራቦላ ​​ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነ የጨረር ጨረር በትኩረት ይሰበሰባል. እና በተቃራኒው፣ በትኩረት ላይ ከሚገኝ ምንጭ የሚመጣው ብርሃን በፓራቦላ ወደ ዘንግ ትይዩ ወደሆነ የጨረር ጨረር ይገለጣል።

§ 4 ለፓራቦላ, ትኩረቱ ነጥቡ ላይ ነው (0.25; 0).

ለፓራቦላ, ትኩረቱ ነጥቡ (0; ረ) ላይ ነው.

§ 5 የፓራቦላ ትኩረት ከታንጀንት አንፃር ከተንጸባረቀ ምስሉ በዳይሬክተሩ ላይ ይተኛል ።

§ 6 ፓራቦላ የአንድ መስመር አንቲፖደር ነው።

§ ሁሉም ፓራቦላዎች ተመሳሳይ ናቸው. በትኩረት እና በዳይሬክተሩ መካከል ያለው ርቀት ልኬቱን ይወስናል.

§ 7 ፓራቦላ በሲሜትሪ ዘንግ ዙሪያ ሲሽከረከር ኤሊፕቲካል ፓራቦሎይድ ተገኝቷል።

የፓራቦላ ዳይሬክት

የትኩረት ራዲየስ

20.መደበኛ አውሮፕላን ቬክተር. በተሰጠው ነጥብ ውስጥ የሚያልፈው አውሮፕላን እኩልነት በተሰጠው ቬክተር ላይ ቀጥ ያለ ነው. አጠቃላይ አውሮፕላን እኩልታ፣ የአጠቃላይ አውሮፕላን እኩልታ ልዩ ጉዳይ። የአንድ አውሮፕላን የቬክተር እኩልታ. የሁለት አውሮፕላኖች አንጻራዊ አቀማመጥ.

አውሮፕላን- የጂኦሜትሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች አንዱ። በጂኦሜትሪ ስልታዊ አቀራረብ ፣ የአውሮፕላን ጽንሰ-ሀሳብ ብዙውን ጊዜ እንደ መጀመሪያዎቹ ፅንሰ-ሀሳቦች ይወሰዳል ፣ ይህም በተዘዋዋሪ በጂኦሜትሪ ዘንጎች ብቻ ነው የሚወሰነው።

የአውሮፕላን እኩልታ በነጥብ እና በመደበኛ ቬክተር
በቬክተር መልክ

በመጋጠሚያዎች ውስጥ

በአውሮፕላኖች መካከል አንግል

የአጠቃላይ አውሮፕላን እኩልታ ልዩ ጉዳዮች.

የተለያዩ የፊዚክስ፣ መካኒኮች እና ቴክኒካል ሳይንሶችን ሲያጠኑ የቁጥር እሴቶቻቸውን በመግለጽ ሙሉ በሙሉ የሚወሰኑ መጠኖች ያጋጥሟቸዋል። እንደነዚህ ዓይነቶቹ መጠኖች ይባላሉ ስካላርወይም በአጭሩ scalars.

Scalar Quantities ርዝመት፣ አካባቢ፣ ድምጽ፣ ጅምላ፣ የሰውነት ሙቀት፣ ወዘተ... ከስካላር መጠኖች በተጨማሪ በተለያዩ ችግሮች ውስጥ መጠኖቹ አሉ ለዚህም ከቁጥር እሴታቸው በተጨማሪ አቅጣጫቸውን ማወቅ ያስፈልጋል። እንደነዚህ ዓይነቶቹ መጠኖች ይባላሉ ቬክተር. የቬክተር መጠኖች አካላዊ ምሳሌዎች በጠፈር ውስጥ የሚንቀሳቀስ የቁሳቁስ ነጥብ መፈናቀል, የዚህ ነጥብ ፍጥነት እና ፍጥነት, እንዲሁም በእሱ ላይ የሚሠራው ኃይል ሊሆኑ ይችላሉ.

የቬክተር መጠኖች ቬክተሮችን በመጠቀም ይወከላሉ.

የቬክተር ትርጉም. ቬክተር የተወሰነ ርዝመት ያለው ቀጥተኛ መስመር የሚመራ ክፍል ነው።

ቬክተር በሁለት ነጥብ ይገለጻል። አንድ ነጥብ የቬክተር መጀመሪያ ነጥብ ነው, ሌላኛው ነጥብ የቬክተሩ የመጨረሻ ነጥብ ነው. የቬክተሩን መጀመሪያ በነጥብ ከጠቆምን ሀ , እና የቬክተሩ መጨረሻ ነጥብ ነው ውስጥ ከዚያም ቬክተሩ ራሱ ይገለጻል . ቬክተር እንዲሁ በአንድ ትንሽ የላቲን ፊደል ሊገለጽ ይችላል ባር በላዩ ላይ (ለምሳሌ ፣)።

በግራፊክ፣ ቬክተር በመጨረሻው ቀስት ባለው ክፍል ይገለጻል።

የቬክተሩ መጀመሪያ ይባላል የእሱ የትግበራ ነጥብ.ነጥቡ ከሆነ ሀየቬክተር መጀመሪያ ነው , ከዚያም ቬክተሩ በነጥቡ ላይ ይተገበራል እንላለን ሀ.

ቬክተር በሁለት መጠኖች ይገለጻል: ርዝመት እና አቅጣጫ.

የቬክተር ርዝመት – በመነሻ ነጥብ ሀ እና በመጨረሻው ነጥብ ለ መካከል ያለው ርቀት። የቬክተር ርዝመት ሌላኛው ስም የቬክተር ሞጁል ነው። እና በምልክቱ ይገለጻል . የቬክተር ሞጁሉስ ይገለጻል። ቬክተር , የማን ርዝመቱ 1 ዩኒት ቬክተር ይባላል. ይህም ማለት ለዩኒት ቬክተር ሁኔታ

ዜሮ ርዝመት ያለው ቬክተር ዜሮ ቬክተር ይባላል (የተገለፀው)። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ዜሮ ቬክተር ተመሳሳይ መነሻ እና የመጨረሻ ነጥቦች አሉት. ዜሮ ቬክተር ምንም የተለየ አቅጣጫ የለውም.

የኮላይኔር ቬክተሮች ፍቺ. ቬክተሮች እና በተመሳሳይ መስመር ላይ ወይም በትይዩ መስመሮች ላይ የሚገኙት ኮሊንየር ይባላሉ .

ኮላይኔር ቬክተሮች የተለያየ ርዝመት እና የተለያዩ አቅጣጫዎች ሊኖራቸው እንደሚችል ልብ ይበሉ.

የእኩል ቬክተሮችን መወሰን.ሁለት ቬክተሮች ኮሊንየር ከሆኑ እኩል ናቸው, ተመሳሳይ ርዝመት እና ተመሳሳይ አቅጣጫ አላቸው.

በዚህ ጉዳይ ላይ እንዲህ ብለው ይጽፋሉ-

አስተያየት. ከቬክተር እኩልነት ፍቺ ስንነሳ አንድ ቬክተር በየትኛውም ቦታ ላይ (በተለይ አውሮፕላን) ላይ መነሻውን በማስቀመጥ በትይዩ ማስተላለፍ ይቻላል.

ሁሉም ዜሮ ቬክተሮች እኩል ይቆጠራሉ.

የተቃራኒ ቬክተሮችን መወሰን.ሁለት ቬክተሮች ኮሊንየር ከሆኑ ተቃራኒ ይባላሉ, ተመሳሳይ ርዝመት አላቸው, ግን ተቃራኒው አቅጣጫ.

በዚህ ጉዳይ ላይ እንዲህ ብለው ይጽፋሉ-

በሌላ አነጋገር ከቬክተሩ ተቃራኒው ቬክተር ይገለጻል.