ፖሊኖሚሎችን እንዴት መፍታት እንደሚቻል - wikiHow. ፖሊኖሚል እና ቃላቶቹ - ትርጓሜዎች እና ምሳሌዎች

በሂሳብ ውስጥ ፖሊኖሚል (ወይም ፖሊኖሚል) የአንድ ሞኖሚሎች ድምር ወይም ልዩነት ነው። ሞኖሚሎች ተለዋዋጭ እና ቋሚዎችን ያካትታሉ, ለምሳሌ ሞኖሚሎች 4, -10x እና 3x 3 ናቸው. አንድ ፖሊኖሚል በውስጡ የሌላቸው ማናቸውንም ውሱን የሞኖሚሎች ብዛት ያካትታል አሉታዊ አመልካቾችኃይላት (x -3)፣ በተከፋፈለው ውስጥ ያሉ ተለዋዋጮች (1/x) እና በምልክቱ ስር ያሉ ተለዋዋጮች ካሬ ሥር. ፖሊኖሚል ለመፍታት በየትኛው የ x ፖሊኖሚል እሴቶች ላይ መፈለግ ያስፈልግዎታል ከዜሮ ጋር እኩል ነው።.

እርምጃዎች

ፖሊኖሚል መጻፍ

የፖሊኖሚል ውሎችን በሚወርድ ተራቢዎች ቅደም ተከተል አዘጋጁ።እንደገና ጻፍ ፖሊኖሚል ተሰጥቶታልስለዚህም ትልቁን አርቢ ያለው ቃል በመጀመሪያ ያስቀምጣል, እና ትንሹ አርቢ ያለው ቃል በመጨረሻው ላይ ይቀመጣል. ለምሳሌ ፖሊኖሚል -1 + 3x 2 - x 5 እንደሚከተለው ይፃፉ፡--x 5 + 3x 2 - 1።

እንደ መጀመሪያው ቃል ቢጻፍም አሉታዊ ቃል ሁል ጊዜ አሉታዊ እንደሚሆን ያስታውሱ። የቀደመውን ምሳሌ ተመልከት; -x 5 የሚለው ቃል አሉታዊ ነበር (ምክንያቱም ስለተቀነሰ) እንደ መጀመሪያው ቃል ሲጽፉ አሉታዊ ሆኖ ቆይቷል።

ፖሊኖሚሉን ቀለል ያድርጉት።አንዳንድ ጊዜ እያንዳንዱ የፖሊኖሚል ቃል ከቅንፍ ውስጥ ሊወጣ የሚችል እና ፖሊኖሚሉን ቀላል የሚያደርግ ነገር ይይዛል። ለምሳሌ ፣ በፖሊኖሚል 2x 2 + 4x - 12 ፣ እያንዳንዱ ቃል በ 2 ይከፈላል ፣ ማለትም ፣ 2 ከቅንፍ ማውጣት ይቻላል 2 * (x 2 + 2x - 6) ፣ እና የዋናው ብዙ ቁጥር እሴት አይለወጥም። ያስታውሱ ይህ ዘዴ የሚሠራው እያንዳንዱ ቃል የጋራ ምክንያት ሲኖረው ብቻ ነው።

ፖሊኖሚሉ ሊፈታ ይችል እንደሆነ ይወስኑ።ፖሊኖሚል ማንኛውንም እንደሚጨምር ያስታውሱ የመጨረሻ ቁጥርሞኖሚሎች አሉታዊ አርቢዎችን (x -3)፣ ተለዋዋጮችን (1/x) እና ካሬ ሥር ተለዋዋጮችን ያልያዙ። ከእነዚህ ሁኔታዎች ውስጥ ቢያንስ አንዱ ካልተሟላ, ከዚያ የተሰጠው እኩልታበዚህ ጽሑፍ ውስጥ ባልተገለጹ ዘዴዎች ተፈትተዋል.
- የ 4 (x 4) ወይም ከዚያ በላይ ገላጭ ያላቸው ፖሊኖሚሎች ለመፍታት በጣም ከባድ እንደሆኑ ያስታውሱ፣ ነገር ግን ይህንን ለማድረግ የግራፍ ማስያ መጠቀም ይችላሉ።
- ብዙ ቁጥርን በሚወርድ ተራቢዎች ካደራጁ፣ በመደበኛ መልክ ይጻፋል።
ዋናዎቹን የሂሳብ ቃላት አስታውስ።የቃላት አጠቃቀምን ካላወቁ ፖሊኖሚሎችን መፍታት በጣም ከባድ ነው። የሚከተሉትን ቃላት አስታውስ፡-
- አንድ ነጠላ ቃል (ወይም በቀላሉ ቃል) ነው። የሂሳብ አገላለጽ, ቋሚ, ተለዋዋጭ, ወይም ሁለቱንም ቋሚ እና ተለዋዋጭ ጨምሮ. ለምሳሌ፣ 5፣ x፣ 3t፣ 15y 3።
- ፖሊኖሚል (ወይም ፖሊኖሚል) የአንድ ሞኖሚሎች ድምር ወይም ልዩነት ነው።
- ማባዛት በሌላ ቁጥር ሲባዛ ሶስተኛው ቁጥር የሚያመጣ ቁጥር ነው። ለምሳሌ ፣ የ 10 ምክንያቶች ቁጥሮች 2 ፣ 5 ፣ 1 ፣ 10 ናቸው ፣ እነዚህ ቁጥሮች እያንዳንዳቸው በሌላ ቁጥር ሲባዙ 10 ይሰጣሉ ። ተለዋዋጮች እንዲሁ ምክንያቶች ሊሆኑ ይችላሉ ፣ ለምሳሌ ፣ የ monomial 10x ምክንያቶች ናቸው። 2፣ 5፣ 1፣ 10 እና X.
- ዲግሪ በፖሊኖሚል ውስጥ የተካተተ የተለዋዋጭ ትልቁ ገላጭ ነው። ለምሳሌ፣ ፖሊኖሚል x 5+ 3x + 55 የዲግሪ አምስት ብዙ ቁጥር ነው።
- ትሪኖሚል ፖሊኖሚል ሲሆን ሶስት ሞኖሚሎችን ያቀፈ ነው፣ለምሳሌ 2x 2+x+12።
- አንድ ባለ ሁለትዮሽ (ወይም ሁለትዮሽ) ሁለት monomials ያቀፈ ነው, እንደ x + 9. አንዳንድ polynomials ወደ ሁለት ወይም ከዚያ በላይ binomials ሊከፈል እንደሚችል አስታውስ.
የሦስትዮሽ መመዘኛዎች
1. እንደ ትሪኖሚል የተሰጠውን ፖሊኖሚል ይፍቱ።ይህ ጽሑፍ አራት ማዕዘን ቅርጾችን ብቻ ይሸፍናል (አራቢያቸው ከ 2 አይበልጥም, ለምሳሌ, x 2, 3x 2 እና የመሳሰሉት) ምክንያቱም እንደዚህ ያሉ ትሪኖሚሎች በጣም የተለመዱ እና ለመፍታት ቀላል ናቸው. ትሪኖሚል የመጀመርያ ዲግሪ ወደ ሁለት ሁለትዮሽ ምርቶች መስፋፋት አለበት። አንድ ምሳሌ እንመልከት፡- x 2 + 9x - 20።
2. አስታውስ ትሪኖሚል በሁለት ሁለትዮሽነት ሊከፈል ይችላል።ትሪኖሚል ለመፍታት፣ እሱን ማቃለል ያስፈልግዎታል፣ እና ይህንን ለማድረግ ትሪኖሚሉን ወደ ሁለት የቢኖሚሎች ምርት ያስፋፉ (ለምሳሌ ፣ x ፣ 5x ፣ እና የመሳሰሉት)። የሁለትዮሽ ማባዛትን ቅደም ተከተል አስታውስ-የመጀመሪያ ቃላት, የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ቃላት, ሁለተኛ እና የመጀመሪያ ቃላት, ሁለተኛ ቃላት. ለምሳሌ፣ ሁለትዮሾችን (x+3) እና (x+2) እናባዛለን።
  - (x+3)(x+2)
  - የመጀመሪያ አባላት.የመጀመሪያዎቹ ቃላት x ናቸው።
    - x * x = x 2
  - የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ውሎች።የመጀመሪያው ቃል x ሲሆን ሁለተኛው ደግሞ 2 ነው.
    - x * 2 = 2x
  - ሁለተኛ እና የመጀመሪያ ውሎች።ሁለተኛው ቃል 3 ነው, እና የመጀመሪያው x ነው.
    - 3 * x = 3x
  - ሁለተኛ አባላት.ሁለተኛው ቃላት 3 እና 2 ናቸው.
    - 3 * 2 = 6
  - ብዙ ቁጥር ለማግኘት ውጤቱን ያክሉ፡- x 2 + 3x + 2x + 6።
  - ብዙ ቁጥርን ለማቃለል መሰል ቃላትን ይጨምሩ (ወይም ይቀንሱ) (እንደ ቃላቶች ተመሳሳይ ገላጭ ያለው ተለዋዋጭ የያዙ ቃላት ናቸው) x 2 + 5x + 6
3. የሦስትዮሽነት ደረጃ።አብዛኛዎቹ ትሪኖሚሎች በሁለት ምክንያቶች ሊከፈሉ ይችላሉ, እያንዳንዱም የመጀመሪያ ዲግሪ ሁለትዮሽ ነው. ይህ ዘዴ ሙከራ እና ስህተትን ያካትታል. እባክህ የሚከተለውን አስተውል፡-
  - የሶስትዮሽ (x 2) የመጀመሪያ ቃል የእያንዳንዱን ሁለትዮሽ የመጀመሪያ ቃላትን የማባዛት ውጤት ነው።
  - የሦስትዮሽ (x) ሁለተኛ ቃል የእያንዳንዱ ሁለትዮሽ የመጀመሪያ እና ሁለተኛ እና ሁለተኛ እና የመጀመሪያ ቃላት ማባዛት ውጤቶች ድምር ነው።
  - የሶስተኛው የሶስትዮሽ ቃል (6) የእያንዳንዱን ሁለትዮሽ ሁለተኛ ቃላትን የማባዛት ውጤት ነው።
  - የሶስተኛው የሦስትዮሽ ቃል አሉታዊ ከሆነ፣ የሁለትዮሽ ሁለተኛው ቃል አሉታዊ ይሆናል።
  - የሶስትዮሽ መስፋፋትን ወደ ሁለትዮሽ ምርቶች በቅፅ x 2 + x - 6 = (__ +/- __)(__+/-__) ይፃፉ ማለትም ሞኖሚሎችን ፈልገህ በምትካቸው መተካት አለብህ። ክፍተቶች.
4. የመጀመሪያዎቹን ሞኖሚሎች (ለእያንዳንዱ ጥንድ ቅንፎች) ያግኙ።አንድ ምሳሌን ተመልከት፡- x 2 + x – 20. የመጀመሪያዎቹን ሞኖሚሎች ለማግኘት፣ የሥላሴን የመጀመሪያ ቃል ተመልከት እና ወደ ጥንዶች ቀላል ምክንያቶች አድርግ። በእኛ ምሳሌ፣ ከ x * x = x 2 ጀምሮ እንደዚህ ያሉ ምክንያቶች x እና x ናቸው።
  - በእያንዳንዱ ጥንድ ቅንፍ ውስጥ ካሉት የመጀመሪያ ክፍተቶች ይልቅ የተገኙትን ሞኖሚሎች ይተኩ፡ (x +/-__)(x +/- __)
  - ያስታውሱ ካሬ ማንኛውም ተለዋዋጭ ወይም ቋሚ በራሱ ተባዝቷል።
5. ምርታቸው ከሶስተኛው የስላሴ ቃል ጋር እኩል የሆነ ሁለት ቁጥሮችን ያግኙ።ይህንን ለማድረግ የሶስተኛውን የሶስትዮሽ ቃል ይመልከቱ እና ወደ ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ጥንድ ምክንያቶች ውስጥ ያስገቡት። በእኛ ምሳሌ (ሦስተኛው ቃል ቁጥር -20 ነው) ፣ እንደዚህ ያሉ ጥንድ ምክንያቶች የሚከተሉት ቁጥሮች ናቸው ።
  - -10 * 2 = -20
  - 10* -2 = -20
  - -4 * 5 = -20
  - 4 * -5 = -20
  - መወሰን ውስብስብ ፖሊኖሚሎች, መጠቀም ይችላሉ አስርዮሽ(-3 * 6.6666), ነገር ግን የሙከራ እና የስህተት ዘዴን መተግበር ፈጽሞ የማይቻል ስለሆነ እንደነዚህ ያሉ ፖሊኖሚሎች ለመፍታት በጣም አስቸጋሪ ናቸው. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, ግራፊክ ካልኩሌተር ይጠቀሙ.
6. ከተገኙት ጥንድ ምክንያቶች መካከል (በቀደመው ደረጃ) ፣ ተጨማሪው የሶስትዮሽ ሁለተኛ ቃልን የሚያመርት ጥንድ ቁጥሮችን ይምረጡ። ቋሚ (ቋሚ) ሁልጊዜ ከተለዋዋጭ በፊት ይመጣል. በእኛ ምሳሌ፣ የስላሴ ሁለተኛ ቃል x ነው። ቋሚው ስላልተገለጸ, ከ 1 ጋር እኩል ነው, ምክንያቱም x * 1 = x. ስለዚህ, ጥንድ ቁጥሮችን መምረጥ ያስፈልግዎታል, ይህም መጨመር 1. በእኛ ምሳሌ ውስጥ, እንደዚህ አይነት ጥንድ ቁጥሮች -4 እና 5: -4 + 5 = 1. ስለዚህ, የቢኖሚሚል ምርትን ይመስላል. ይህ፡ (x - 4)(x + 5)።
  - አዎንታዊ ቁጥሮች በመደመር ተለይተው ይታወቃሉ ፣ እና አሉታዊ ቁጥሮች በመቀነስ።
  - ማስታወሻ: የሶስትዮሽ የመጀመሪያ ቃል ቋሚን አስቡበት። ለምሳሌ, በእኛ ምሳሌ ውስጥ የሶስትዮሽነት የመጀመሪያ ቃል 3x 2 ከሆነ, እንዲህ ዓይነቱ ሶስትዮሽነት (3x - 4) (x + 5) ሊባዛ አይችልም, ምክንያቱም በዚህ ሁኔታ የመጀመሪያዎቹ ምርቶች ውጤት ድምር ነው. እና ሁለተኛ ቃላት እና ሁለተኛው እና የመጀመሪያ ቃላት እኩል አይደሉም 1: 15 + (-4) = 11. እዚህ የቁጥር -20 ሌላ ጥንድ ጥንድ መምረጥ ያስፈልግዎታል.
7. ውጤትዎን ለማረጋገጥ ሁለትዮሽዎችን ያባዙ።በእኛ ምሳሌ፡-
  - (x - 4) (x + 5)
  - የመጀመሪያ አባላት. x * x = x 2
  - የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ውሎች። x * 5 = 5x
  - ሁለተኛ እና የመጀመሪያ ውሎች።-4 * x = -4x
  - ሁለተኛ አባላት. -4 * 5 = -20
  - ብዙ ቁጥር ለማግኘት ውጤቱን ያክሉ፡ x 2 + 5x – 4x - 20
  - እንደ ውሎች ያክሉ ወይም ይቀንሱ፡ x 2 + x – 20
  - የተገኘው ሶስትዮሽነት ከመጀመሪያው ጋር ስለሚጣጣም, መፍትሄው ትክክል ነው.
8. የሦስትዮሽ ስልቶችን ይለማመዱ።አንዳንድ ሥላሴዎች ከሌሎች ይልቅ ለመፍታት በጣም አስቸጋሪ ናቸው። የሚከተሉትን ባለ አራት ማዕዘናት ትሪኖሚሎች ለማስተካከል ይሞክሩ እና መልሶችዎን ከታች ካሉት ጋር ያወዳድሩ።
  - ቀላል ተግባር; x 2 + 4x + 3።
    - መልስ፡-(x + 1) (x + 3)
  - የጋራ ተግባር x 2 - 9 + 18
    - መልስ፡-(x - 3) (x - 6)
  - አስቸጋሪ ተግባር; 4x 2 - 2x -6
    - መልስ፡-(2x - 3) (2x + 2)
ፖሊኖሚሎችን መፍታት
1. ፖሊኖሚል ለመፍታት, ከዜሮ ጋር እኩል ማዘጋጀት ያስፈልግዎታል.ችግሮቹ "ፖሊኖሚሉ ከ 0 ጋር እኩል የሆነበትን ተለዋዋጭ እሴቶችን ይፈልጉ" ወይም "የፖሊኖሚል ሥሮችን ይፈልጉ" ወይም በቀላሉ "ፖሊኖሚል መፍታት" ይጠይቃሉ. ከዜሮ ጋር እኩል የሆነ ፖሊኖሚል ከማዘጋጀትዎ በፊት, በዚህ ጽሑፍ የመጀመሪያ ክፍል ውስጥ የተዘረዘሩትን ምክሮች ይጠቀሙ. አንድ ምሳሌ እንመልከት፡- 3x(2x - 4)(x + 5) = 0።
  - የፖሊኖሚሉ ሥሮች ከዜሮ ጋር እኩል በሆነበት ቦታ ይገኛሉ ፣ ማለትም ፣ እነዚህ ነጥቦች ናቸው (በ አውሮፕላን አስተባባሪ), የአንድ ፖሊኖሚል ተግባር ግራፍ የ X-ዘንግ (አግድም ዘንግ) ያቋርጣል.
2. እያንዳንዱን ሁለትዮሽ (ፖሊኖሚል ካደረጉት) ከዜሮ ጋር እኩል ያድርጉ።ፖሊኖሚል በበርካታ ምክንያቶች የተበላሸ በመሆኑ ዋናው ችግር ወደ ብዙ ንዑስ ተግባራት ይከፈላል. 0ን በማንኛውም አገላለጽ ወይም ቁጥር ካባዙት 0 ያገኛሉ፣ ስለዚህ እያንዳንዱን ነገር ለየብቻ ማጤን ይችላሉ። ስለዚህ ፣ በእኛ ምሳሌ ውስጥ ተግባሩ በ 3 ንዑስ ተግባራት ተከፍሏል-
  - እኩልታ A፡ 3x = 0
  - ቀመር B፡ 2x - 4 = 0
  - እኩልታ C: x + 5 = 0
3. ሁሉንም እኩልታዎች ይፍቱ, ማለትም "x" ን ያግኙ.እያንዳንዱ መፍትሔ የዋናው ፖሊኖሚል ሥር ይሆናል. “x”ን ለማግኘት፣ ያንን ተለዋዋጭ ከቀመርው በአንደኛው ወገን ለይ።
  - ቀመር ሀ፡ 3ን እንደሚከተለው በማካፈል ያስወግዱ፡ 3x/3 = 0/3።
    - x = 0
  - ቀመር B፡ 2x - 4 +4 = 0 + 4
    - 2x/2 = 4/2
    - x = 2
  - እኩልታ C: x + 5 - 5 = 0 - 5
    - x = -5
  - የፖሊኖሚል ሥሮችን አግኝተዋል.

የፖሊኖሚል ጽንሰ-ሐሳብ

የብዙ ቁጥር ፍቺ፡- ፖሊኖሚል የሞኖሚሎች ድምር ነው። ፖሊኖሚል ምሳሌ፡-

እዚህ የሁለት monomials ድምርን እናያለን, እና ይህ ፖሊኖሚል ነው, ማለትም. monomials ድምር.

ፖሊኖሚል የሚባሉት ቃላቶች የፖሊኖሚል ውሎች ይባላሉ።

የሞኖሚሎች ልዩነት ፖሊኖሚል ነው? አዎ ነው, ምክንያቱም ልዩነቱ በቀላሉ ወደ ድምር ስለሚቀንስ, ለምሳሌ: 5a - 2b = 5a + (-2b).

ሞኖሚሎች እንደ ፖሊኖሚሎችም ይቆጠራሉ። ግን monomial ምንም ድምር የለውም, ታዲያ ለምን እንደ ፖሊኖሚል ይቆጠራል? እና በእሱ ላይ ዜሮ ማከል እና ድምርውን በዜሮ monomial ማግኘት ይችላሉ። ስለዚህ monomial ነው ልዩ ጉዳይፖሊኖሚል, አንድ አባል ያካትታል.

ዜሮ ቁጥር ዜሮ ፖሊኖሚል ነው።

የፖሊኖሚል መደበኛ ቅጽ

ፖሊኖሚል ምንድን ነው? መደበኛ እይታ? ፖሊኖሚል የነጠላዎች ድምር ነው፣ እና እነዚህ ሁሉ ፖሊኖሚሎች የሚሠሩት በስታንዳርድ መልክ ከተፃፉ እና ከነሱ መካከል ምንም ተመሳሳይነት ያለው መሆን የለበትም ፣ ከዚያ ፖሊኖሚሉ በመደበኛ መልክ ይፃፋል።

በመደበኛ መልክ የብዙ ቁጥር ምሳሌ፡-

እዚህ ፖሊኖሚል 2 monomials ያቀፈ ነው ፣ እያንዳንዱም መደበኛ ቅርፅ አለው ፣ ከ monomials መካከል ምንም ተመሳሳይ የለም።

አሁን መደበኛ ቅጽ የሌለው ፖሊኖሚል ምሳሌ፡-

እዚህ ሁለት monomials: 2a እና 4a ተመሳሳይ ናቸው. እነሱን ማከል ያስፈልግዎታል ፣ ከዚያ ፖሊኖሚሉ መደበኛውን ቅጽ ይወስዳል።

ሌላ ምሳሌ፡-

ይህ ፖሊኖሚል ወደ መደበኛ ቅፅ ተቀንሷል? አይደለም፣ የእሱ ሁለተኛ ቃል በመደበኛ ፎርም የተጻፈ አይደለም። በመደበኛ መልክ በመጻፍ ፣ የመደበኛ ቅጽ ብዙ ቁጥር እናገኛለን

ፖሊኖሚል ዲግሪ

የፖሊኖሚል ደረጃ ምን ያህል ነው?

ፖሊኖሚል ዲግሪ ፍቺ፡-

የአንድ ፖሊኖሚል ደረጃ የተሰጠው መደበኛ ፎርም ብዙ ቁጥር ያላቸው ሞኖሚሎች ያላቸው ከፍተኛው ዲግሪ ነው።

ለምሳሌ. የ polynomial 5h ዲግሪ ስንት ነው? የ polynomial 5h ዲግሪ ከአንድ ጋር እኩል ነው, ምክንያቱም ይህ ፖሊኖሚል አንድ ሞኖሚል ብቻ ይዟል እና ዲግሪው ከአንድ ጋር እኩል ነው.

ሌላ ምሳሌ። የብዙ ቁጥር 5a 2 h 3 s 4 +1 ዲግሪ ስንት ነው? የ polynomial 5a 2 h 3 s 4 + 1 ዲግሪ ከዘጠኝ ጋር እኩል ነው, ምክንያቱም ይህ ፖሊኖሚል ሁለት ሞኖሚሎችን ያካትታል. ከፍተኛ ዲግሪየመጀመሪያው ሞኖሚል 5a 2 h 3 s 4 አለው፣ እና ዲግሪው 9 ነው።

ሌላ ምሳሌ። የፖሊኖሚል 5 ዲግሪ ምን ያህል ነው? የፖሊኖሚል 5 ደረጃ ዜሮ ነው። ስለዚህ፣ ቁጥርን ብቻ የሚያካትት የፖሊኖሚል ደረጃ፣ ማለትም. ያለ ፊደሎች, ከዜሮ ጋር እኩል ነው.

የመጨረሻው ምሳሌ. የዜሮ ፖሊኖሚል ደረጃ ምን ያህል ነው, ማለትም. ዜሮ? የዜሮ ፖሊኖሚል ደረጃ አልተገለጸም.

በአልጀብራ ውስጥ ከሚታዩት ልዩ ልዩ አገላለጾች መካከል፣ የሞኖሚሎች ድምሮች ጠቃሚ ቦታን ይይዛሉ። እንደዚህ ያሉ አባባሎች ምሳሌዎች እዚህ አሉ
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

የሞኖሚሎች ድምር ፖሊኖሚል ይባላል። በፖሊኖሚል ውስጥ ያሉት ቃላቶች የፖሊኖሚል ውሎች ይባላሉ. ሞኖሚሎችም እንደ ፖሊኖሚሎች ተመድበዋል፣ አንድ ነጠላ አባል አንድ አባል ያለው ብዙ ቁጥር ያለው እንደሆነ ሲታሰብ።

ለምሳሌ, ፖሊኖሚል
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12) b + 16 \)
ማቃለል ይቻላል።

ሁሉንም ቃላቶች በመደበኛው ቅጽ monomials መልክ እንወክል-
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12) b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

በሚመጣው ፖሊኖሚል ውስጥ ተመሳሳይ ቃላትን እናቅርብ፡-
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ውጤቱ ፖሊኖሚል ነው, ሁሉም ቃላቶቹ የመደበኛ ቅፅ ሞኖሚሎች ናቸው, እና ከነሱ መካከል ምንም ተመሳሳይነት የለውም. እንደነዚህ ያሉት ፖሊኖሚሎች ይባላሉ የመደበኛ ቅፅ ፖሊኖሚሎች.

ከኋላ የ polynomial ዲግሪየመደበኛ ቅፅ የአባላቱን ሥልጣን ከፍተኛውን ይወስዳል። ስለዚህ, ሁለትዮሽ \(12a^2b - 7b\) ሦስተኛው ዲግሪ አለው, እና ሶስትዮሽ \ (2b^2 -7b + 6 \) ሁለተኛው አለው.

በተለምዶ፣ አንድ ተለዋዋጭ የያዙ የመደበኛ ቅጽ ፖሊኖሚሎች ውሎች በሚወርድ አርቢዎች ቅደም ተከተል ተደርድረዋል። ለምሳሌ:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

የበርካታ ፖሊኖሚሎች ድምር (ቀላል) ወደ ፖሊኖሚል መደበኛ ቅፅ ሊቀየር ይችላል።

አንዳንድ ጊዜ የፖሊኖሚል ውሎች እያንዳንዱን ቡድን በቅንፍ በማያያዝ በቡድን መከፋፈል ያስፈልጋል። ቅንፍ መክተት የመክፈቻ ቅንፍ የተገላቢጦሽ ለውጥ ስለሆነ፣ ለመቅረጽ ቀላል ነው። ቅንፎችን ለመክፈት ህጎች:

ከቅንፎቹ በፊት የ “+” ምልክት ከተቀመጠ በቅንፍ ውስጥ የተካተቱት ቃላቶች በተመሳሳይ ምልክቶች ተጽፈዋል።

ከቅንፎቹ በፊት የ “-” ምልክት ከተቀመጠ በቅንፍ ውስጥ የተካተቱት ቃላቶች በተቃራኒ ምልክቶች ተጽፈዋል።

የአንድ ሞኖሚል እና የፖሊኖሚል ምርት ለውጥ (ማቅለል)

በመጠቀም የማከፋፈያ ባህሪያትማባዛት (ቀለል ያለ) ወደ ፖሊኖሚል፣ የአንድ ሞኖሚያል እና ፖሊኖሚል ውጤት ሊቀየር ይችላል። ለምሳሌ:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

የአንድ ሞኖሚል እና የፖሊኖሚል ምርት በተመሳሳይ መልኩ የዚህ ሞኖሚያል ምርቶች ድምር እና ከእያንዳንዱ የፖሊኖሚል ውሎች ድምር ጋር እኩል ነው።

ይህ ውጤት ብዙውን ጊዜ እንደ አንድ ደንብ ይዘጋጃል።

አንድን ሞኖሚል በፖሊኖሚል ለማባዛት ያንን ሞኖሚል በእያንዳንዱ የፖሊኖሚል ውሎች ማባዛት አለብዎት።

ይህንን ህግ በድምር ለማባዛት ብዙ ጊዜ ተጠቅመናል።

የ polynomials ምርት. የሁለት ፖሊኖሚል ምርት ለውጥ (ማቅለል)

በአጠቃላይ የሁለት ፖሊኖሚሎች ምርት የእያንዳንዱ ጊዜ የአንድ ፖሊኖሚል እና የሌላኛው ቃል ድምር ውጤት በተመሳሳይ መልኩ እኩል ነው።

ብዙውን ጊዜ የሚከተለው ደንብ ጥቅም ላይ ይውላል.

ፖሊኖሚል በፖሊኖሚል ለማባዛት እያንዳንዱን የአንድ ፖሊኖሚል ቃል በእያንዳንዱ ቃል ማባዛት እና የተገኙትን ምርቶች መጨመር ያስፈልግዎታል.

አጠር ያሉ የማባዛት ቀመሮች። ድምር ካሬዎች, የካሬዎች ልዩነት እና ልዩነት

ውስጥ አንዳንድ መግለጫዎች ጋር የአልጀብራ ለውጦችከሌሎች ጋር ብዙ ጊዜ መገናኘት አለባቸው. ምናልባት በጣም የተለመዱት አባባሎች \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) እና \(a^2 - b^2 \) ናቸው, ማለትም የድምሩ ካሬ, የ ስኩዌር ካሬ. የካሬዎች ልዩነት እና ልዩነት. የእነዚህ አባባሎች ስሞች ያልተሟሉ እንደሚመስሉ አስተውለሃል፣ ለምሳሌ \(((a + b)^2 \) በእርግጥ የድምሩ ካሬ ብቻ ሳይሆን የ a እና b ድምር ካሬ ነው። . ሆኖም፣ የ a እና b ድምር ካሬ ብዙ ጊዜ አይከሰትም ፣ እንደ አንድ ደንብ ፣ ከ ሀ እና ለ ፊደሎች ይልቅ ፣ እሱ የተለያዩ ፣ አንዳንድ ጊዜ በጣም የተወሳሰበ መግለጫዎችን ይይዛል።

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) የሚባሉት አገላለጾች በቀላሉ (ቀላል) ወደ መደበኛው ፎርም ብዙ ቁጥር ሊለወጡ ይችላሉ፤ በእርግጥ፣ ፖሊኖሚሎችን ሲያበዙ ይህን ተግባር አስቀድመው አጋጥመውዎታል፡-
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab +ባ + b^2 = \)
(= a^2 + 2ab + b^2 \)

የተገኙትን ማንነቶች ማስታወስ እና ያለ መካከለኛ ስሌቶች መተግበር ጠቃሚ ነው. አጭር የቃል ቀመሮች ይህንን ይረዳሉ።

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - የድምሩ ካሬ ከድምሩ ጋር እኩል ነው።ካሬዎች እና ምርቱን በእጥፍ.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - የልዩነቱ ካሬ ያለ ድርብ ምርት ከካሬዎች ድምር ጋር እኩል ነው።

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - የካሬዎች ልዩነት ከልዩነቱ እና ከድምሩ ውጤት ጋር እኩል ነው።

እነዚህ ሶስት ማንነቶች አንድ ሰው የግራ ክፍሎቹን በቀኝ እጅ በለውጥ እና በተቃራኒው - የቀኝ እጅ ክፍሎችን በግራ እጆች እንዲተካ ያስችለዋል. በጣም አስቸጋሪው ነገር ተጓዳኝ አባባሎችን ማየት እና ተለዋዋጮች a እና b በውስጣቸው እንዴት እንደሚተኩ መረዳት ነው. የአህጽሮት ማባዛት ቀመሮችን ስለመጠቀም ብዙ ምሳሌዎችን እንመልከት።

- ፖሊኖሚሎች. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የመጀመሪያውን እና ሁሉንም እንገልፃለን አስፈላጊ መረጃስለ ፖሊኖሚሎች. እነዚህም በመጀመሪያ፣ የፖሊኖሚል ፍቺን ከተጓዳኝ ትርጓሜዎች ጋር፣ በተለይም የነጻ ቃል እና ተመሳሳይ ቃላትን ያካትታሉ። በሁለተኛ ደረጃ ፣ በመደበኛ ቅፅ ፖሊኖሚሎች ላይ እንኖራለን ፣ ተጓዳኝ ፍቺውን እንሰጣለን እና ምሳሌዎችን እንሰጣለን ። በመጨረሻም, የፖሊኖሚል ዲግሪ ፍቺን እናስተዋውቃለን, እንዴት ማግኘት እንደሚቻል እንረዳለን, እና ስለ ፖሊኖሚል ቃላቶች ቅንጅቶች እንነጋገራለን.

የገጽ አሰሳ።

ፖሊኖሚል እና ቃላቶቹ - ትርጓሜዎች እና ምሳሌዎች

በ 7 ኛ ክፍል ፣ ፖሊኖሚሎች ከ monomials በኋላ ወዲያውኑ ይማራሉ ፣ ይህ ለመረዳት የሚቻል ነው ፣ ምክንያቱም ፖሊኖሚል ፍቺበ monomials በኩል ይሰጣል. ፖሊኖሚል ምን እንደሆነ ለማብራራት ይህንን ፍቺ እንስጥ።

ፍቺ

ፖሊኖሚል monomials ድምር ነው; አንድ ሞኖሚል የአንድ ፖሊኖሚል ልዩ ጉዳይ ተደርጎ ይወሰዳል።

የጽሑፍ ፍቺው የፈለጉትን ያህል ብዙ የፖሊኖሚሎች ምሳሌዎችን እንዲሰጡ ያስችልዎታል። ማንኛቸውም ሞኖሚሎች 5, 0, -1, x, 5 a b 3, x 2 0.6 x (-2) y 12, ወዘተ. ፖሊኖሚል ነው። እንዲሁም፣ በትርጓሜ፣ 1+x፣ a 2+b 2 እና ብዙ ቁጥር ያላቸው ናቸው።

ፖሊኖሚሎችን ለመግለፅ ምቾት ሲባል የብዙ ቁጥር ቃል ፍቺ ገብቷል።

ፍቺ

ፖሊኖሚል ውሎችየአንድ ፖሊኖሚል ዋና አካል ናቸው።

ለምሳሌ, ፖሊኖሚል 3 x 4 -2 x y + 3-y 3 አራት ቃላትን ያካትታል: 3 x 4, -2 x y, 3 እና -y 3. ሞኖሚል አንድ ቃልን ያካተተ ፖሊኖሚል ተደርጎ ይወሰዳል።

ፍቺ

ሁለት እና ሶስት ቃላትን ያቀፉ ፖሊኖሚሎች ልዩ ስሞች አሏቸው- ሁለትዮሽእና ሥላሴያዊበቅደም ተከተል.

ስለዚህ x+y ሁለትዮሽ ነው፣ እና 2 x 3q−q x x x+7 b ባለ ሶስትዮሽ ነው።

በትምህርት ቤት, ብዙውን ጊዜ አብረን መስራት አለብን መስመራዊ ሁለትዮሽ a x+b፣ ሀ እና b አንዳንድ ቁጥሮች ሲሆኑ፣ እና x ተለዋዋጭ፣ እንዲሁም ሐ ኳድራቲክ ሶስትዮሽ ax 2 + bx+c፣ ሀ፣ b እና c አንዳንድ ቁጥሮች ሲሆኑ x ተለዋዋጭ ነው። የመስመራዊ ሁለትዮሽ ምሳሌዎች እዚህ አሉ፡ x+1፣ x 7፣2−4፣ እና ምሳሌዎች እዚህ አሉ። ካሬ ትሪኖሚሎች: x 2 +3 x-5 እና .

ፖሊኖሚሎች በአስተያየታቸው ውስጥ ተመሳሳይ ቃላት ሊኖራቸው ይችላል. ለምሳሌ፣ በፖሊኖሚል 1+5 x−3+y+2 x ተመሳሳይ ቃላት 1 እና -3፣ እንዲሁም 5 x እና 2 x ናቸው። የራሳቸው ልዩ ስም አላቸው - ተመሳሳይ የፖሊኖሚል ውሎች።

ፍቺ

ፖሊኖሚል ተመሳሳይ ቃላትተብለው ይጠራሉ ተመሳሳይ ቃላትበፖሊኖሚል ውስጥ.

በቀደመው ምሳሌ፣ 1 እና -3፣ እንዲሁም ጥንድ 5 x እና 2 x፣ የፖሊኖሚል ተመሳሳይ ቃላት ናቸው። ተመሳሳይ ቃላት ባላቸው ፖሊኖሚሎች ውስጥ፣ ቅርጻቸውን ለማቃለል ተመሳሳይ ቃላትን መቀነስ ይችላሉ።

የመደበኛ ቅፅ ፖሊኖሚል

ለፖሊኖሚሎች ፣ እንደ ሞኖሚሎች ፣ መደበኛ ቅጽ ተብሎ የሚጠራው አለ። ተጓዳኝ ፍቺውን እናሰማ።

የተመሰረተ ይህ ትርጉም, የመደበኛ ቅፅ ፖሊኖሚሎችን ምሳሌዎችን መስጠት እንችላለን. ስለዚህ ፖሊኖሚሎች 3 x 2 -x y+1 እና በመደበኛ መልክ የተፃፈ. እና 5+3 x 2 -x 2 +2 x z እና x+x y 3 x z 2 +3 z አገላለጾች የመደበኛው ቅጽ ብዙ ቁጥር ያላቸው አይደሉም፣ ምክንያቱም የመጀመሪያዎቹ ተመሳሳይ ቃላት 3 x 2 እና -x 2፣ እና በ ውስጥ ሁለተኛው - ሞኖሚል xy·y 3 · x·z 2 ፣ ቅጹ ከመደበኛው የተለየ ነው።

አስፈላጊ ከሆነ, ሁልጊዜ ፖሊኖሚል ወደ መደበኛ ቅፅ መቀነስ እንደሚችሉ ልብ ይበሉ.

ከመደበኛ ቅፅ ፖሊኖሚሎች ጋር የሚዛመደው ሌላ ጽንሰ-ሀሳብ የአንድ ፖሊኖሚል ነፃ ቃል ጽንሰ-ሀሳብ ነው።

ፍቺ

የብዙ ቁጥር ነፃ ጊዜያለ ፊደል ክፍል የመደበኛ ቅጽ ብዙ ቁጥር ያለው አባል ነው።

በሌላ አነጋገር፣ የመደበኛ ቅጽ ብዙ ቁጥር ያለው ከሆነ፣ ነፃ አባል ይባላል። ለምሳሌ 5 የፖሊኖሚል x 2 z+5 ነፃ ቃል ነው፣ ብዙ ቁጥር 7 a+4 a b+b 3 ግን ነፃ ቃል የለውም።

የ polynomial ዲግሪ - እንዴት ማግኘት እንደሚቻል?

ሌላው አስፈላጊ ተጓዳኝ ትርጉምየፖሊኖሚል ደረጃን ለመወሰን ነው. በመጀመሪያ ደረጃ፣ የመደበኛ ቅፅ ፖሊኖሚል ደረጃን እንገልፃለን፣ ይህ ፍቺ በአጻጻፉ ውስጥ ባሉት ሞኖሚሎች ደረጃዎች ላይ የተመሠረተ ነው።

ፍቺ

የመደበኛ ቅፅ ፖሊኖሚል ዲግሪበማስታወሻው ውስጥ ከተካተቱት የሞኖሚሎች ስልጣኖች ትልቁ ነው።

ምሳሌዎችን እንስጥ። የፖሊኖሚል 5 x 3 -4 ዲግሪ ከ 3 ጋር እኩል ነው, ምክንያቱም በውስጡ የተካተቱት ሞኖሚሎች 5 x 3 እና -4 ዲግሪ 3 እና 0 አላቸው, በቅደም ተከተል ከእነዚህ ቁጥሮች ውስጥ ትልቁ 3 ነው, ይህም የፖሊኖሚል ዲግሪ ነው. በትርጉም. እና የፖሊኖሚል ደረጃ 4 x 2 y 3 -5 x 4 y+6 xከቁጥር ትልቁ 2+3=5፣ 4+1=5 እና 1፣ ማለትም 5 ጋር እኩል ነው።

አሁን የፖሊኖሚል ደረጃን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል እንወቅ የዘፈቀደ ዓይነት.

ፍቺ

የዘፈቀደ ቅፅ ፖሊኖሚል ደረጃየመደበኛ ቅፅ ተጓዳኝ ፖሊኖሚል ደረጃን ይደውሉ።

ስለዚህ ፣ ፖሊኖሚል በመደበኛ ፎርም ካልተፃፈ ፣ እና ዲግሪውን ማግኘት ከፈለጉ ፣ ከዚያ ዋናውን ፖሊኖሚል ወደ መደበኛ ቅፅ መቀነስ ያስፈልግዎታል ፣ እና የተገኘውን ፖሊኖሚል ደረጃ ይፈልጉ - አስፈላጊው ይሆናል። መፍትሄውን በምሳሌነት እንመልከት።

ለምሳሌ.

የፖሊኖሚል ደረጃን ያግኙ 3 a 12 -2 a b c a c b+y 2 z 2 -2 a 12 -a 12.

መፍትሄ።

በመጀመሪያ ፖሊኖሚሉን በመደበኛ መልክ መወከል ያስፈልግዎታል፡-
3 a 12 -2 a b c a c b+y 2 z 2 -2 a 12 -a 12 = = (3 a 12 -2 a 12 -a 12) - 2·(አአ)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =-2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

የመደበኛ ቅፅ ብዙ ቁጥር ያላቸው ሁለት ሞኖሚሎች -2·a 2 ·b 2 ·c 2 እና y 2 ·z 2 ያካትታል። ኃይላቸውን እንፈልግ፡ 2+2+2=6 እና 2+2=4። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው ፣ ከእነዚህ ኃይሎች ውስጥ ትልቁ 6 ነው ፣ እሱም በትርጉሙ የመደበኛ ቅፅ ፖሊኖሚል ኃይል ነው። -2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, እና ስለዚህ የመጀመሪያው ፖሊኖሚል ደረጃ.፣ 3 x እና 7 የብዙ ቁጥር 2 x-0.5 x y+3 x+7።

መጽሃፍ ቅዱስ።

አልጀብራ፡የመማሪያ መጽሐፍ ለ 7 ኛ ክፍል አጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / [ዩ. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; የተስተካከለው በ ኤስ.ኤ. ቴላኮቭስኪ. - 17 ኛ እትም. - ኤም.: ትምህርት, 2008. - 240 p. የታመመ. - ISBN 978-5-09-019315-3.
ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ.አልጀብራ 7 ኛ ክፍል. በ 2 ፒ.ኤም ክፍል 1. የተማሪዎች የመማሪያ መጽሐፍ የትምህርት ተቋማት/ A.G. Mordkovich. - 17 ኛ እትም ፣ ያክሉ። - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: የታመመ. ISBN 978-5-346-02432-3.
አልጀብራእና ጀመረ የሂሳብ ትንተና. 10 ኛ ክፍል: የመማሪያ መጽሐፍ. ለአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት: መሰረታዊ እና መገለጫ. ደረጃዎች / [ዩ. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M. I. Shabunin]; የተስተካከለው በ ኤ.ቢ. ዚዝቼንኮ. - 3 ኛ እትም. - ኤም.: ትምህርት, 2010.- 368 p. የታመመ. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Gusev V.A.፣ Mordkovich A.G.ሒሳብ (የቴክኒክ ትምህርት ቤቶች ለሚገቡ ሰዎች መመሪያ): Proc. አበል.- M.; ከፍ ያለ ትምህርት ቤት, 1984.-351 p., የታመመ.