የሂሳብ እድገትን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል። ከተግባሮች እና ተዋጽኦዎች ጋር መተዋወቅ ይችላሉ።

በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት (9 ኛ ክፍል) ውስጥ አልጀብራን በምታጠናበት ጊዜ, አንዱ አስፈላጊ ርዕሰ ጉዳዮች የቁጥር ቅደም ተከተሎችን ማጥናት ነው, ይህም እድገትን ያካትታል - ጂኦሜትሪክ እና አርቲሜቲክ. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የሂሳብ እድገትን እና መፍትሄዎችን የያዘ ምሳሌዎችን እንመለከታለን.

የሂሳብ እድገት ምንድን ነው?

ይህንን ለመረዳት በጥያቄ ውስጥ ያለውን እድገት መግለጽ, እንዲሁም ችግሮችን ለመፍታት በኋላ ላይ ጥቅም ላይ የሚውሉትን መሰረታዊ ቀመሮችን ማቅረብ አስፈላጊ ነው.

በአንዳንድ የአልጀብራ ግስጋሴዎች 1ኛ ቃል ከ 6 ጋር እኩል እንደሆነ እና 7 ኛ ቃል ከ 18 ጋር እኩል እንደሆነ ይታወቃል ልዩነቱን መፈለግ እና ይህንን ቅደም ተከተል ወደ 7 ኛ ቃል መመለስ አስፈላጊ ነው.

ያልታወቀን ቃል ለመወሰን ቀመሩን እንጠቀም፡ a n = (n - 1) * d + a 1 . የታወቀውን መረጃ ከሁኔታው ወደ እሱ እንተካው, ማለትም, ቁጥሮች a 1 እና a 7, እኛ አለን: 18 = 6 + 6 * d. ከዚህ አገላለጽ በቀላሉ ልዩነቱን ማስላት ይችላሉ: d = (18 - 6) /6 = 2. ስለዚህ, የችግሩን የመጀመሪያ ክፍል መልስ ሰጥተናል.

ቅደም ተከተሎችን ወደ 7 ኛ ቃል ለመመለስ የአልጀብራ ግስጋሴን ማለትም 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d እና የመሳሰሉትን መጠቀም አለብዎት. በውጤቱም, ሙሉውን ቅደም ተከተል እንመልሳለን-a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

ምሳሌ ቁጥር 3፡ እድገትን መሳል

ችግሩን የበለጠ እናወሳስበው። አሁን የሂሳብ እድገትን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል የሚለውን ጥያቄ መመለስ ያስፈልገናል. የሚከተለው ምሳሌ ሊሰጥ ይችላል-ሁለት ቁጥሮች ተሰጥተዋል, ለምሳሌ - 4 እና 5. በእነዚህ መካከል ሶስት ተጨማሪ ቃላት እንዲቀመጡ የአልጀብራ እድገትን መፍጠር አስፈላጊ ነው.

ይህንን ችግር መፍታት ከመጀመርዎ በፊት, የተሰጡት ቁጥሮች ወደፊት እድገት ውስጥ ምን ቦታ እንደሚይዙ መረዳት ያስፈልግዎታል. በመካከላቸው ሦስት ተጨማሪ ቃላት ስለሚኖሩ, ከዚያም 1 = -4 እና 5 = 5. ይህንን ካቋቋምን በኋላ ወደ ችግሩ እንሸጋገራለን, ይህም ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ ነው. በድጋሚ, ለ n ኛ ቃል ቀመርን እንጠቀማለን, እናገኛለን: a 5 = a 1 + 4 * d. ከ: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. እዚህ ያገኘነው የልዩነቱ ኢንቲጀር እሴት አይደለም፣ነገር ግን ምክንያታዊ ቁጥር ነው፣ስለዚህ የአልጀብራ እድገት ቀመሮች ተመሳሳይ እንደሆኑ ይቆያሉ።

አሁን የተገኘውን ልዩነት ወደ 1 እንጨምር እና የጎደሉትን የሂደቱን ውሎች እንመልስ። እኛ እናገኛለን: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, which coincided ከችግሩ ሁኔታዎች ጋር.

ምሳሌ ቁጥር 4፡ የእድገት የመጀመሪያ ቃል

የሒሳብ እድገት ምሳሌዎችን ከመፍትሔ ጋር መስጠቱን እንቀጥል። በሁሉም የቀድሞ ችግሮች ውስጥ የአልጀብራ እድገት የመጀመሪያ ቁጥር ይታወቅ ነበር. አሁን የተለያየ አይነት ችግርን እናስብ: ሁለት ቁጥሮች ይሰጡ, 15 = 50 እና 43 = 37. ይህ ቅደም ተከተል በየትኛው ቁጥር እንደሚጀምር መፈለግ አስፈላጊ ነው.

እስካሁን ጥቅም ላይ የዋሉት ቀመሮች የ1 እና መ እውቀትን ይይዛሉ። በችግር መግለጫ ውስጥ ስለ እነዚህ ቁጥሮች ምንም የሚታወቅ ነገር የለም. ቢሆንም፣ የትኛውን መረጃ እንደሚገኝ ለእያንዳንዱ ቃል መግለጫዎችን እንጽፋለን፡ a 15 = a 1 + 14 * d እና a 43 = a 1 + 42 * d. ሁለት ያልታወቁ መጠኖች (ሀ 1 እና መ) ያሉባቸው ሁለት እኩልታዎችን ተቀብለናል። ይህ ማለት ችግሩ የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ለመፍታት ይቀንሳል ማለት ነው.

ይህንን ስርዓት ለመፍታት ቀላሉ መንገድ በእያንዳንዱ እኩልታ ውስጥ 1 ን መግለጽ እና ከዚያ የተገኙትን መግለጫዎች ማወዳደር ነው። የመጀመሪያ እኩልታ፡ a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ሁለተኛ እኩልታ፡ a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. እነዚህን አባባሎች በማመሳሰል 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, ከየት ነው ልዩነቱ d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (3 አስርዮሽ ቦታዎች ብቻ ተሰጥተዋል).

መን በማወቅ፣ ከላይ ካሉት 2 አባባሎች ማናቸውንም ለ 1 መጠቀም ይችላሉ። ለምሳሌ, መጀመሪያ: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

በተገኘው ውጤት ላይ ጥርጣሬ ካደረብዎት, ሊፈትሹት ይችላሉ, ለምሳሌ, በሁኔታው ውስጥ የተገለፀውን የ 43 ኛውን የእድገት ጊዜ ይወስኑ. እናገኛለን: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. ትንሹ ስህተቱ በሂሳብ ስሌት ውስጥ ወደ ሺዎች ማዞር ጥቅም ላይ ስለዋለ ነው.

ምሳሌ ቁጥር 5፡ መጠን

አሁን ለአርቲሜቲክ እድገት ድምር መፍትሄዎች ያላቸውን በርካታ ምሳሌዎችን እንመልከት።

የሚከተለው ቅጽ የቁጥር እድገት ይስጥ፡ 1፣ 2፣ 3፣ 4፣ ...፣. የእነዚህን ቁጥሮች 100 ድምር እንዴት ማስላት ይቻላል?

ለኮምፒዩተር ቴክኖሎጂ እድገት ምስጋና ይግባውና ይህንን ችግር መፍታት ይቻላል ፣ ማለትም ፣ ሁሉንም ቁጥሮች በቅደም ተከተል ይጨምሩ ፣ ይህም ኮምፒዩተሩ አንድ ሰው Enter ቁልፍን እንደተጫነ ያደርገዋል። ይሁን እንጂ የቀረቡት ተከታታይ ቁጥሮች የአልጀብራ እድገት መሆናቸውን እና ልዩነቱ 1. የድምሩ ቀመርን በመተግበር ላይ መሆኑን ትኩረት ከሰጡ ችግሩ በአእምሯዊ ሁኔታ ሊፈታ ይችላል: S n = n * (a 1 +) a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

ይህ ችግር "ጋውሲያን" ተብሎ መጠራቱ ትኩረት የሚስብ ነው ምክንያቱም በ 18 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ ታዋቂው ጀርመናዊ, ገና 10 አመት ብቻ, በጥቂት ሰከንዶች ውስጥ በራሱ ውስጥ ሊፈታው ስለቻለ. ልጁ የአልጀብራ እድገትን ድምር ቀመር አላወቀም ነበር ነገር ግን ቁጥሮቹን በቅደም ተከተል መጨረሻ ላይ በጥንድ ብትጨምር ሁልጊዜ አንድ አይነት ውጤት ታገኛለህ ማለትም 1 + 100 = 2 + 99 አስተዋለ። = 3 + 98 = ..., እና እነዚህ ድምሮች በትክክል 50 (100/2) ስለሚሆኑ ትክክለኛውን መልስ ለማግኘት 50 በ 101 ማባዛት በቂ ነው.

ምሳሌ ቁጥር 6፡ የቃላት ድምር ከ n እስከ m

ሌላው የሒሳብ እድገት ድምር ዓይነተኛ ምሳሌ የሚከተለው ነው፡ ተከታታይ ቁጥሮች ከተሰጡ፡ 3፣ 7፣ 11፣ 15፣ ...፣ ከ 8 እስከ 14 ያሉት የቃላቶቹ ድምር ምን ያህል እንደሚሆን ማግኘት አለቦት። .

ችግሩ የሚፈታው በሁለት መንገድ ነው። ከመካከላቸው የመጀመሪያው የማይታወቁ ቃላትን ከ 8 እስከ 14 መፈለግን እና ከዚያ በቅደም ተከተል ማጠቃለልን ያካትታል። ጥቂት ቃላቶች ስለሌለ ይህ ዘዴ ብዙ ጉልበት የሚጠይቅ አይደለም. ቢሆንም, ይህን ችግር ለመፍታት የቀረበው ሁለተኛው ዘዴ ነው, ይህም የበለጠ ዓለም አቀፋዊ ነው.

ሀሳቡ በ m እና n ቃላቶች መካከል ያለውን የአልጀብራ እድገት ድምር ቀመር ለማግኘት ሲሆን n > m ኢንቲጀር ናቸው። ለሁለቱም ጉዳዮች፣ ለድምሩ ሁለት አባባሎችን እንጽፋለን።

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

ከ n > m ጀምሮ፣ 2ኛው ድምር የመጀመሪያውን እንደሚያጠቃልል ግልጽ ነው። የመጨረሻው መደምደሚያ ማለት በእነዚህ ድምሮች መካከል ያለውን ልዩነት ወስደን a m የሚለውን ቃል ከጨመርን (ልዩነቱን በሚወስዱበት ጊዜ ከ S n ድምር ይቀንሳል) ለችግሩ አስፈላጊውን መልስ እናገኛለን. እኛ አለን: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1-ሜ/2)። በዚህ አገላለጽ ውስጥ የ n እና a m ቀመሮችን መተካት አስፈላጊ ነው. ከዚያም እናገኛለን: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + መ * (3 * ሜትር - m 2 - 2) / 2.

የተገኘው ቀመር ትንሽ አስቸጋሪ ነው፣ ሆኖም፣ ድምር S mn በ n፣m፣ a 1 እና d ላይ ብቻ ይወሰናል። በእኛ ሁኔታ, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. እነዚህን ቁጥሮች በመተካት, S mn = 301 እናገኛለን.

ከላይ ከተጠቀሱት መፍትሄዎች እንደሚታየው, ሁሉም ችግሮች የተመሰረቱት ለ n ኛ ቃል አገላለጽ እና የመጀመሪያ ቃላት ስብስብ ድምር ቀመር በእውቀት ላይ ነው. ከእነዚህ ችግሮች ውስጥ አንዱን ለመፍታት ከመጀመርዎ በፊት ሁኔታውን በጥንቃቄ እንዲያነቡ ይመከራል, ምን ማግኘት እንዳለቦት በግልጽ ይረዱ እና ከዚያ በኋላ ብቻ መፍትሄውን ይቀጥሉ.

ሌላው ጠቃሚ ምክር ለቀላልነት መጣር ነው ፣ ማለትም ፣ ውስብስብ የሂሳብ ስሌቶችን ሳይጠቀሙ ጥያቄን መመለስ ከቻሉ ፣ በዚህ ሁኔታ ውስጥ ስህተት የመሥራት እድሉ አነስተኛ ስለሆነ ያንን ብቻ ማድረግ ያስፈልግዎታል ። ለምሳሌ በሂሳብ እድገት ምሳሌ ከመፍትሔ ቁጥር 6 ጋር አንድ ሰው በቀመር S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, እና ማቆም ይችላል. አጠቃላዩን ችግር ወደ ተለያዩ ንኡስ ተግባራት ይከፋፍሉት (በዚህ ጉዳይ ላይ በመጀመሪያ a n እና m የሚለውን ቃላቶች ያግኙ)።

በተገኘው ውጤት ላይ ጥርጣሬ ካደረብዎት, ከተሰጡት ምሳሌዎች ውስጥ እንደተደረገው, ለማጣራት ይመከራል. የሂሳብ እድገትን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል አግኝተናል። ከተረዱት, ያን ያህል አስቸጋሪ አይደለም.

I. V. Yakovlev | የሂሳብ ቁሶች | MathUs.ru

አርቲሜቲክ እድገት

የሒሳብ እድገት ልዩ ዓይነት ቅደም ተከተል ነው። ስለዚህ፣ የሂሳብ (ከዚያም ጂኦሜትሪክ) እድገትን ከመግለጽ በፊት፣ ስለ ቁጥር ቅደም ተከተል አስፈላጊ ጽንሰ-ሀሳብ በአጭሩ መወያየት አለብን።

ተከታይ

የተወሰኑ ቁጥሮች እርስ በእርሳቸው የሚታዩበት ስክሪኑ ላይ ያለውን መሳሪያ አስቡት። 2 እንበል; 7; 13; 1; 6; 0; 3; :: ይህ የቁጥር ስብስብ በትክክል የተከታታይ ምሳሌ ነው።

ፍቺ የቁጥር ቅደም ተከተል እያንዳንዱ ቁጥር ልዩ የሆነ ቁጥር ሊመደብበት የሚችልበት የቁጥሮች ስብስብ ነው (ይህም ከአንድ የተፈጥሮ ቁጥር ጋር የተያያዘ) 1. ቁጥሩ n የተከታታይ nth ቃል ይባላል።

ስለዚህ, ከላይ ባለው ምሳሌ, የመጀመሪያው ቁጥር 2 ነው, ይህ በቅደም ተከተል የመጀመሪያው አባል ነው, ይህም በ a1 ሊገለጽ ይችላል; ቁጥር አምስት ቁጥር አለው 6 ቁጥር አለው በቅደም ተከተል አምስተኛው ቃል ነው, እሱም በ a5 ሊገለጽ ይችላል. በአጠቃላይ፣ የአንድ ተከታታይ n ኛ ቃል በ (ወይም bn፣ cn፣ ወዘተ) ይገለጻል።

በጣም ምቹ ሁኔታ በቅደም ተከተል n ኛ ቃል በአንዳንድ ቀመር ሊገለጽ ይችላል. ለምሳሌ ፎርሙላ a = 2n 3 ቅደም ተከተሎችን ይገልጻል፡ 1; 1; 3; 5; 7; : : : ቀመር a = (1) n ቅደም ተከተል ይገልጻል: 1; 1; 1; 1; ::

እያንዳንዱ የቁጥሮች ስብስብ ቅደም ተከተል አይደለም. ስለዚህ, አንድ ክፍል ቅደም ተከተል አይደለም; እንደገና ለመቆጠር "በጣም ብዙ" ቁጥሮች ይዟል. የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ R እንዲሁ ተከታታይ አይደለም። እነዚህ እውነታዎች በሂሳብ ትንተና ሂደት ውስጥ የተረጋገጡ ናቸው.

አርቲሜቲክ እድገት፡ መሰረታዊ ፍቺዎች

አሁን የሂሳብ እድገትን ለመግለጽ ዝግጁ ነን።

ፍቺ የሂሳብ ግስጋሴ እያንዳንዱ ቃል (ከሁለተኛው ጀምሮ) ከቀዳሚው ቃል ድምር እና የተወሰነ የተወሰነ ቁጥር (የሂሳብ ግስጋሴ ልዩነት ተብሎ የሚጠራው) እኩል የሆነበት ቅደም ተከተል ነው።

ለምሳሌ, ቅደም ተከተል 2; 5; 8; አስራ አንድ; : :: የመጀመሪያ ቃል 2 እና ልዩነት ያለው የሂሳብ እድገት ነው 3. ቅደም ተከተል 7; 2; 3; 8; :: የመጀመሪያ ቃል 7 እና ልዩነት ያለው የሂሳብ እድገት ነው 5. ቅደም ተከተል 3; 3; 3; :: ከዜሮ ጋር እኩል የሆነ ልዩነት ያለው የሂሳብ እድገት ነው።

ተመጣጣኝ ፍቺ፡- ተከታታዩ an+1 an ቋሚ እሴት ከሆነ (ከ n የማይለይ) ከሆነ የሒሳብ ግስጋሴ ይባላል።

የሒሳብ ግስጋሴ ልዩነቱ አወንታዊ ከሆነ እየጨመረ እና ልዩነቱ አሉታዊ ከሆነ እየቀነሰ ይባላል።

1 ግን እዚህ የበለጠ አጭር ፍቺ አለ፡- ቅደም ተከተል በተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ ላይ የተገለጸ ተግባር ነው። ለምሳሌ የእውነተኛ ቁጥሮች ተከታታይ ተግባር f: N ! አር.

በነባሪ፣ ቅደም ተከተሎች ማለቂያ የሌላቸው ይቆጠራሉ፣ ማለትም፣ ማለቂያ የሌለው የቁጥሮች ብዛት። ነገር ግን የመጨረሻ ቅደም ተከተሎችን ከግምት ውስጥ ለማስገባት ማንም አያስቸግረንም; በእውነቱ, ማንኛውም የተገደበ የቁጥሮች ስብስብ የመጨረሻ ቅደም ተከተል ተብሎ ሊጠራ ይችላል. ለምሳሌ, የመጨረሻው ቅደም ተከተል 1 ነው. 2; 3; 4; 5 በአምስት ቁጥሮች የተሰራ ነው.

ለ 1 ኛ ጊዜ የሂሳብ እድገት ቀመር

አንድ የሂሳብ እድገት ሙሉ በሙሉ በሁለት ቁጥሮች እንደሚወሰን ለመረዳት ቀላል ነው-የመጀመሪያው ቃል እና ልዩነት. ስለዚህ, ጥያቄው የሚነሳው-የመጀመሪያውን ቃል እና ልዩነቱን በማወቅ, የሂሳብ እድገትን የዘፈቀደ ቃል እንዴት ማግኘት እንደሚቻል?

ለ n ኛ ጊዜ የሂሳብ እድገት አስፈላጊውን ቀመር ለማግኘት አስቸጋሪ አይደለም. እስቲ አንድ

የሒሳብ እድገት በልዩነት መ. እና አለነ:
an+1 = an +d (n = 1; 2; :):::
በተለይም እኛ እንጽፋለን-
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
እና አሁን የ ፎርሙላ ቀመር የሚከተለው እንደሆነ ግልጽ ይሆናል-
an = a1 + (n 1)d፡

ችግር 1. በሂሳብ እድገት 2; 5; 8; አስራ አንድ; :: የ Nth term ፎርሙላውን ፈልግ እና መቶኛውን አስላ::

መፍትሄ። በቀመር (1) መሠረት አለን።

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1፡

a100 = 3 100 1 = 299፡

ንብረት እና የሂሳብ እድገት ምልክት

የሂሳብ እድገት ንብረት. በሂሳብ እድገት ውስጥ ለማንኛውም

በሌላ አነጋገር፣ እያንዳንዱ የሂሳብ ግስጋሴ አባል (ከሁለተኛው ጀምሮ) የአጎራባች አባላት የሂሳብ አማካኝ ነው።

	ማረጋገጫ። እና አለነ:
	a n 1+ a n+1		(አንድ መ) + (አንድ + መ)

የሚፈለገው ነበር.

በአጠቃላይ፣ የሒሳብ ዕድገት እኩልነትን ያሟላል።

a n = a n k+ a n+k

ለማንኛውም n> 2 እና ለማንኛውም የተፈጥሮ k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

ቀመር (2) እንደ አስፈላጊ ብቻ ሳይሆን እንደ በቂ ሁኔታ ሆኖ የሚያገለግለው እንደ ቅደም ተከተል የሂሳብ ግስጋሴ ነው።

አርቲሜቲክ እድገት ምልክት. እኩልነት (2) ለሁሉም n> 2 የሚይዝ ከሆነ፣ ቅደም ተከተል an የሂሳብ እድገት ነው።

ማረጋገጫ። ቀመር (2) እንደሚከተለው እንፃፍ።

a na n 1= a n+1a n፡

ከዚህ በመነሳት ልዩነቱ an+1 an በ n ላይ እንደማይመሰረት እና ይህ ማለት ቅደም ተከተል ኤ የሂሳብ ግስጋሴ ነው ማለት ነው።

የሒሳብ እድገት ንብረት እና ምልክት በአንድ መግለጫ መልክ ሊቀረጽ ይችላል; ለመመቻቸት, ይህንን ለሶስት ቁጥሮች እናደርጋለን (ይህ ብዙውን ጊዜ በችግሮች ውስጥ የሚከሰት ሁኔታ ነው).

የሒሳብ እድገት ባህሪ። ሶስት ቁጥሮች a, b, c 2b = a + c ከሆነ እና ብቻ ከሆነ የሂሳብ እድገት ይመሰርታሉ.

ችግር 2. (MSU, የኢኮኖሚክስ ፋኩልቲ, 2007) ሶስት ቁጥሮች 8x, 3 x2 እና 4 በተጠቆመው ቅደም ተከተል ውስጥ እየቀነሰ የሂሳብ እድገት ይመሰርታሉ. xን ያግኙ እና የዚህን እድገት ልዩነት ያመልክቱ።

መፍትሄ። በሂሳብ እድገት ንብረት እኛ አለን-

2 (3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5፡

x = 1 ከሆነ ፣ ከዚያ እየቀነሰ የ 8 ፣ 2 ፣ 4 እድገት እናገኛለን በ 6 ልዩነት። x = 5 ከሆነ ፣ ከዚያ እየጨመረ የ 40 ፣ 22 ፣ 4 እድገት እናገኛለን። ይህ ጉዳይ ተስማሚ አይደለም.

መልስ: x = 1, ልዩነቱ 6 ነው.

የሒሳብ እድገት የመጀመሪያ ቃላቶች ድምር

በአፈ ታሪክ እንደሚነገረው አንድ ቀን መምህሩ ልጆቹን ከ1 እስከ 100 ያለውን የቁጥር ድምር ፈልጉ እና ጋዜጣ ለማንበብ ጸጥ ብለው ተቀምጠዋል። ይሁን እንጂ በጥቂት ደቂቃዎች ውስጥ አንድ ልጅ ችግሩን እንደፈታሁ ተናገረ። ይህ የ9 ዓመቱ ካርል ፍሬድሪክ ጋውስ ነበር፣ በኋላም በታሪክ ውስጥ ካሉት ታላላቅ የሂሳብ ሊቃውንት አንዱ።

የትንሽ ጋውስ ሀሳብ የሚከተለው ነበር። ፍቀድ

S = 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100

ይህን መጠን በተገላቢጦሽ ቅደም ተከተል እንፃፍ፡-

S = 100 + 99 + 98 + ፡ ፡ : + 3 + 2 + 1;

እና እነዚህን ሁለት ቀመሮች ያክሉ።

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +::

በቅንፍ ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ቃል ከ 101 ጋር እኩል ነው፣ እና በአጠቃላይ 100 እንደዚህ ያሉ ቃላት አሉ።

2S = 101 100 = 10100;

ይህንን ሃሳብ የምንጠቀመው የድምር ቀመርን ለማግኘት ነው።

S = a1 + a2 +:: + an + a n: (3)

የቀመር (3) ጠቃሚ ማሻሻያ የሚገኘው የ n ኛ ቃል ቀመር a = a1 + (n 1) በእርሱ ውስጥ ከተተካ ነው።

		2a1 + (n 1) መ

ችግር 3. የሁሉም አዎንታዊ ባለሶስት አሃዝ ቁጥሮች ድምር በ13 የሚካፈል ያግኙ።

መፍትሄ። ባለ ሶስት አሃዝ ቁጥሮች የ 13 ብዜቶች ሲሆኑ የሂሳብ ግስጋሴን ይመሰርታሉ ፣ የመጀመሪያው ቃል 104 እና ልዩነቱ 13 ነው። የዚህ እድገት ኛ ቃል የሚከተለው ቅጽ አለው፡-

አንድ = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n፡

እድገታችን ስንት ቃላትን እንደያዘ እንወቅ። ይህንን ለማድረግ እኩልነትን እንፈታለን-

አንድ 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; ን 6 69፡

ስለዚህ፣ በእድገታችን ውስጥ 69 አባላት አሉ። ቀመር (4) በመጠቀም አስፈላጊውን መጠን እናገኛለን:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

አርቲሜቲክ እና ጂኦሜትሪክ እድገቶች

የንድፈ ሐሳብ መረጃ

የንድፈ ሐሳብ መረጃ

	አርቲሜቲክ እድገት	የጂኦሜትሪክ እድገት
ፍቺ	አርቲሜቲክ እድገት አንድ nከሁለተኛው ጀምሮ እያንዳንዱ አባል ወደ ተመሳሳይ ቁጥር ከተጨመረው የቀድሞ አባል ጋር እኩል የሆነበት ቅደም ተከተል ነው መ (መ- የእድገት ልዩነት)	የጂኦሜትሪክ እድገት ለ nየዜሮ ያልሆኑ ቁጥሮች ቅደም ተከተል ነው ፣ እያንዳንዱ ቃል ፣ ከሁለተኛው ጀምሮ ፣ ከቀዳሚው ቃል ጋር በተመሳሳይ ቁጥር ሲባዛ። ቅ (ቅ- የእድገት ደረጃ)
የድግግሞሽ ቀመር	ለማንኛውም ተፈጥሯዊ n a n + 1 = a n + d	ለማንኛውም ተፈጥሯዊ n b n + 1 = b n ∙ q፣ b n ≠ 0
ቀመር nth ቃል	a n = a 1 + d (n - 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 ፣ b n ≠ 0
ባህሪይ ንብረት
የመጀመሪያዎቹ n ውሎች ድምር

የተግባር ምሳሌዎች ከአስተያየቶች ጋር

መልመጃ 1

በሂሳብ እድገት (እድገት) አንድ n) ሀ 1 = -6, ሀ 2

እንደ nኛው ቃል ቀመር፡-

ሀ 22 = ሀ 1+ መ (22 - 1) = ሀ 1+ 21 መ

በሁኔታ፡-

ሀ 1= -6፣ እንግዲህ ሀ 22= -6 + 21 መ.

የሂደቶችን ልዩነት መፈለግ አስፈላጊ ነው-

መ = ሀ 2 - አንድ 1 = -8 – (-6) = -2

ሀ 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

መልስ፡- ሀ 22 = -48.

ተግባር 2

የጂኦሜትሪክ እድገትን አምስተኛውን ቃል ይፈልጉ: -3; 6፤....

1 ኛ ዘዴ (n-term ቀመርን በመጠቀም)

በጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ኤን ኛ ቃል ቀመር መሰረት፡-

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1∙q 4.

ምክንያቱም ለ 1 = -3,

2 ኛ ዘዴ (በተደጋጋሚ ቀመር በመጠቀም)

የሂደቱ መለያ -2 (q = -2) ስለሆነ፣ ከዚያ፡-

ለ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ለ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ለ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

መልስ፡- ለ 5 = -48.

ተግባር 3

በሂሳብ እድገት (እድገት) a n) a 74 = 34; አ 76= 156. የዚህን እድገት ሰባ አምስተኛ ቃል ያግኙ.

ለሂሳብ እድገት, የባህሪው ባህሪው ቅጹ አለው .

ስለዚህ፡-

ውሂቡን ወደ ቀመር እንተካው፡-

መልስ፡ 95.

ተግባር 4

በሂሳብ እድገት (እድገት) a n) a n= 3n - 4. የመጀመሪያዎቹን አስራ ሰባት ቃላት ድምር ያግኙ.

የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ n ቃላት ድምርን ለማግኘት ሁለት ቀመሮች ጥቅም ላይ ይውላሉ፡

ከመካከላቸው በዚህ ጉዳይ ላይ ለመጠቀም የበለጠ አመቺ የሆነው የትኛው ነው?

እንደ ሁኔታው የመጀመሪያው ግስጋሴ የ n ኛው ቃል ቀመር ይታወቃል ( አንድ n) አንድ n= 3n - 4. ወዲያውኑ ማግኘት ይችላሉ ሀ 1, እና ሀ 16ሳያገኙ መ. ስለዚህ, የመጀመሪያውን ቀመር እንጠቀማለን.

መልስ፡- 368.

ተግባር 5

በሂሳብ እድገት (እድገት) አንድ n) ሀ 1 = -6; ሀ 2= -8. የሂደቱን ሃያ ሁለተኛ ቃል ይፈልጉ።

እንደ nኛው ቃል ቀመር፡-

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = ሀ 1+ 21 ቀ.

በሁኔታ፣ ከሆነ ሀ 1= -6፣ እንግዲህ ሀ 22= -6 + 21d . የሂደቶችን ልዩነት መፈለግ አስፈላጊ ነው-

መ = ሀ 2 - አንድ 1 = -8 – (-6) = -2

ሀ 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

መልስ፡- ሀ 22 = -48.

ተግባር 6

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴው በርካታ ተከታታይ ቃላት ተጽፈዋል፡-

x የተሰየመውን የእድገት ቃል ይፈልጉ።

በሚፈታበት ጊዜ, ለ n ኛ ቃል ቀመር እንጠቀማለን b n = b 1 ∙ q n - 1ለጂኦሜትሪክ እድገቶች. የሂደቱ የመጀመሪያ ቃል። የሂደቱን q መለያ ለማግኘት ፣ ከተሰጡት የሂደቱ ውሎች ውስጥ ማንኛውንም መውሰድ እና በቀድሞው መከፋፈል ያስፈልግዎታል። በምሳሌአችን ወስደን መከፋፈል እንችላለን። ያንን q = 3 እናገኛለን. በ n ፈንታ, 3 ን በቀመር ውስጥ እንተካለን, ምክንያቱም የተሰጠውን የጂኦሜትሪክ እድገት ሶስተኛ ጊዜ ማግኘት አስፈላጊ ነው.

የተገኙትን እሴቶች በቀመር በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን

መልስ፡.

ተግባር 7

በ nth ቃል ቀመር ከተሰጡት የሂሳብ እድገቶች ውስጥ, ሁኔታው የሚረካበትን ይምረጡ አንድ 27 > 9:

የተሰጠው ሁኔታ ለ 27 ኛው የእድገት ጊዜ መሟላት ስላለበት በእያንዳንዱ አራት እድገቶች ውስጥ 27 ን ከመተካት ይልቅ 27 ን እንተካለን. በ 4 ኛው ግስጋሴ ውስጥ እኛ እናገኛለን-

መልስ፡ 4.

ተግባር 8

በሂሳብ እድገት ሀ 1= 3, d = -1.5. አለመመጣጠን የሚይዘው ትልቁን የ n እሴት ይግለጹ አንድ n > -6.

ትኩረት!
ተጨማሪዎች አሉ።
ቁሳቁሶች በልዩ ክፍል 555.
በጣም "በጣም አይደለም..." ላልሆኑ.
እና “በጣም…” ለሚሉት)

የሂሳብ ግስጋሴ እያንዳንዱ ቁጥር ከቀዳሚው ተመሳሳይ መጠን የሚበልጥ (ወይም ያነሰ) ተከታታይ ቁጥሮች ነው።

ይህ ርዕስ ብዙውን ጊዜ ውስብስብ እና ለመረዳት የማይቻል ይመስላል. የፊደሎቹ ኢንዴክሶች፣ የዕድገቱ n ኛ ቃል፣ የሂደቱ ልዩነት - ይህ ሁሉ በሆነ መንገድ ግራ የሚያጋባ ነው፣ አዎ... የሒሳብ ግስጋሴውን ትርጉም እንወቅ እና ሁሉም ነገር ወዲያውኑ የተሻለ ይሆናል።)

የሂሳብ እድገት ጽንሰ-ሀሳብ።

የአሪቲሜቲክ እድገት በጣም ቀላል እና ግልጽ ጽንሰ-ሐሳብ ነው. ጥርጣሬ አለህ? በከንቱ.) ለራስዎ ይመልከቱ.

ያልተጠናቀቁ ተከታታይ ቁጥሮች እጽፋለሁ፡-

1, 2, 3, 4, 5, ...

ይህን ተከታታይ ማራዘም ትችላለህ? ከአምስቱ በኋላ ምን ቁጥሮች ይመጣሉ? ሁሉም ሰው... እ...፣ ባጭሩ 6፣ 7፣ 8፣ 9፣ ወዘተ ቁጥሮች ቀጥሎ እንደሚመጡ ሁሉም ሰው ይገነዘባል።

ስራውን እናወሳስበው። ያልተጠናቀቁ ተከታታይ ቁጥሮች እሰጥዎታለሁ፡-

2, 5, 8, 11, 14, ...

ስርዓተ ጥለቱን ለመያዝ፣ ተከታታዩን ማራዘም እና ስም መስጠት ይችላሉ። ሰባተኛየረድፍ ቁጥር?

ይህ ቁጥር 20 መሆኑን ከተረዱ, እንኳን ደስ አለዎት! የተሰማዎት ብቻ አይደለም። የሂሳብ እድገት ቁልፍ ነጥቦች ፣ነገር ግን በተሳካ ሁኔታ በንግድ ስራ ውስጥ ተጠቀመባቸው! እርስዎ ካልረዱት, ያንብቡ.

አሁን ቁልፍ ነጥቦቹን ከስሜቶች ወደ ሂሳብ እንተርጉማቸው።)

የመጀመሪያው ቁልፍ ነጥብ.

የአሪቲሜቲክ እድገት ተከታታይ ቁጥሮችን ይመለከታል።ይህ በመጀመሪያ ግራ የሚያጋባ ነው። እኩልታዎችን ለመፍታት, ግራፎችን እና ሁሉንም ነገር ለመፍታት እንለማመዳለን ... ግን እዚህ ተከታታዩን እናራዝማለን, የተከታታዩን ቁጥር ይፈልጉ ...

እሺ ይሁን. ግስጋሴዎች ከአዲስ የሂሳብ ቅርንጫፍ ጋር ለመጀመሪያ ጊዜ የሚያውቁት ብቻ ነው. ክፍሉ "ተከታታይ" ተብሎ የሚጠራ ሲሆን በተለይም በተከታታይ ቁጥሮች እና መግለጫዎች ይሰራል. ተለማመዱ።)

ሁለተኛ ቁልፍ ነጥብ.

በሂሳብ ግስጋሴ፣ ማንኛውም ቁጥር ከቀዳሚው የተለየ ነው። በተመሳሳይ መጠን.

በመጀመሪያው ምሳሌ, ይህ ልዩነት አንድ ነው. ምንም አይነት ቁጥር ቢወስዱ, ከቀዳሚው አንድ ይበልጣል. በሁለተኛው - ሶስት. ማንኛውም ቁጥር ከቀዳሚው በሦስት ይበልጣል። በእውነቱ ፣ ስርዓተ-ጥለትን እንድንረዳ እና ተከታይ ቁጥሮችን ለማስላት እድሉን የሚሰጠን ይህ ጊዜ ነው።

ሦስተኛው ቁልፍ ነጥብ.

ይህ ጊዜ አስደናቂ አይደለም, አዎ ... ግን በጣም በጣም አስፈላጊ ነው. እነሆ እሱ፡- እያንዳንዱ የእድገት ቁጥር በእሱ ቦታ ላይ ነው.የመጀመሪያው ቁጥር አለ, ሰባተኛው አለ, አርባ አምስተኛው, ወዘተ. በዘፈቀደ ካዋሃዷቸው, ንድፉ ይጠፋል. አርቲሜቲክ እድገት እንዲሁ ይጠፋል። የቀረው ተከታታይ ቁጥሮች ብቻ ነው።

ዋናው ነጥብ ይሄ ነው።

በእርግጥ አዲስ ውሎች እና ስያሜዎች በአዲስ ርዕስ ውስጥ ይታያሉ። እነሱን ልታውቃቸው ይገባል። አለበለዚያ ተግባሩን አይረዱትም. ለምሳሌ፣ እንደ አንድ ነገር መወሰን አለብህ፡-

የመጀመሪያዎቹን ስድስት የሒሳብ ግስጋሴ ቃላት (a n) 2 = 5፣ d = -2.5 ከሆነ ይጻፉ።

የሚያነሳሳ?) ደብዳቤዎች, አንዳንድ ኢንዴክሶች ... እና ተግባሩ, በነገራችን ላይ, ቀላል ሊሆን አይችልም. የቃላቶቹን እና ስያሜዎችን ትርጉም ብቻ መረዳት ያስፈልግዎታል። አሁን ይህንን ጉዳይ እንቆጣጠራለን እና ወደ ሥራው እንመለሳለን.

ውሎች እና ስያሜዎች.

አርቲሜቲክ እድገትእያንዳንዱ ቁጥር ከቀዳሚው የተለየበት ተከታታይ ቁጥሮች ነው። በተመሳሳይ መጠን.

ይህ መጠን ይባላል . ይህንን ጽንሰ-ሐሳብ በበለጠ ዝርዝር እንመልከት.

የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነት.

የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነትየትኛውም የእድገት ቁጥር ነው ተጨማሪያለፈው.

አንድ አስፈላጊ ነጥብ. እባኮትን ለቃሉ ትኩረት ይስጡ "ተጨማሪ".በሂሳብ ፣ ይህ ማለት እያንዳንዱ የእድገት ቁጥር ነው። በማከልወደ ቀዳሚው ቁጥር የሂሳብ እድገት ልዩነት።

ለማስላት, እንበል ሁለተኛየተከታታዩ ቁጥሮች, ያስፈልግዎታል አንደኛቁጥር ጨምርይህ በጣም የሒሳብ እድገት ልዩነት። ለማስላት አምስተኛ- ልዩነቱ አስፈላጊ ነው ጨምርለ አራተኛ,ደህና, ወዘተ.

የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነትምን አልባት አዎንታዊ ፣ከዚያ በተከታታይ ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ቁጥር እውነተኛ ይሆናል። ከቀዳሚው የበለጠ.ይህ እድገት ይባላል እየጨመረ ነው።ለምሳሌ:

8; 13; 18; 23; 28; .....

እዚህ እያንዳንዱ ቁጥር ተገኝቷል በማከልአዎንታዊ ቁጥር፣ +5 ወደ ቀዳሚው።

ልዩነቱ ሊሆን ይችላል። አሉታዊ,ከዚያም በተከታታይ ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ቁጥር ይሆናል ከቀዳሚው ያነሰ.ይህ እድገት ይባላል (አያምኑም!) እየቀነሰ ነው።

ለምሳሌ:

8; 3; -2; -7; -12; .....

እዚህ እያንዳንዱ ቁጥር እንዲሁ ተገኝቷል በማከልወደ ቀዳሚው, ግን ቀድሞውኑ አሉታዊ ቁጥር, -5.

በነገራችን ላይ ከእድገት ጋር ሲሰራ, ተፈጥሮውን ወዲያውኑ ለመወሰን በጣም ጠቃሚ ነው - እየጨመረ ወይም እየቀነሰ ይሄዳል. ይህ ውሳኔውን ለማሰስ፣ ስህተቶችዎን ለመለየት እና ጊዜው ከማለፉ በፊት ለማስተካከል በጣም ይረዳል።

የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነትብዙውን ጊዜ በደብዳቤው ይገለጻል መ.

እንዴት ማግኘት እንደሚቻል መ? በጣም ቀላል። በተከታታዩ ውስጥ ከማንኛውም ቁጥር መቀነስ አስፈላጊ ነው ቀዳሚቁጥር መቀነስ። በነገራችን ላይ የመቀነሱ ውጤት "ልዩነት" ይባላል.)

ለምሳሌ እንገልፃለን። መየሂሳብ እድገትን ለመጨመር;

2, 5, 8, 11, 14, ...

በፈለግነው ተከታታይ ውስጥ ማንኛውንም ቁጥር እንወስዳለን, ለምሳሌ, 11. ከእሱ እንቀንሳለን የቀድሞ ቁጥርእነዚያ። 8፡

ትክክለኛው መልስ ይህ ነው። ለዚህ የሂሳብ እድገት, ልዩነቱ ሶስት ነው.

ሊወስዱት ይችላሉ ማንኛውም የእድገት ቁጥር,ምክንያቱም ለአንድ የተወሰነ እድገት መ -ሁሌም አንድ አይነት ነው።ቢያንስ ቢያንስ አንድ ቦታ በረድፍ መጀመሪያ ላይ, ቢያንስ በመሃል ላይ, ቢያንስ በማንኛውም ቦታ. የመጀመሪያውን ቁጥር ብቻ መውሰድ አይችሉም። በቀላሉ ምክንያቱም በጣም የመጀመሪያው ቁጥር ቀዳሚ የለም።)

በነገራችን ላይ ያንን በማወቅ d=3, የዚህን እድገት ሰባተኛው ቁጥር ማግኘት በጣም ቀላል ነው. ወደ አምስተኛው ቁጥር 3 እንጨምር - ስድስተኛውን እናገኛለን, 17 ይሆናል. ሶስት ወደ ስድስተኛው ቁጥር እንጨምር, ሰባተኛው ቁጥር - ሀያ እናገኛለን.

እንግለጽ መለዝቅተኛ የሂሳብ እድገት;

8; 3; -2; -7; -12; .....

እኔ አስታውሳችኋለሁ, ምልክቶች ምንም ይሁን ምን, ለመወሰን መከማንኛውም ቁጥር ያስፈልጋል የቀደመውን ውሰድ ።ማንኛውንም የእድገት ቁጥር ይምረጡ, ለምሳሌ -7. የእሱ የቀድሞ ቁጥር -2 ነው. ከዚያም፡-

መ = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

የሂሳብ እድገት ልዩነት ማንኛውም ቁጥር ሊሆን ይችላል: ኢንቲጀር, ክፍልፋይ, ምክንያታዊ ያልሆነ, ማንኛውም ቁጥር.

ሌሎች ውሎች እና ስያሜዎች።

በተከታታይ ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ቁጥር ይባላል የሂሳብ እድገት አባል።

እያንዳንዱ የእድገት አባል የራሱ ቁጥር አለው።ቁጥሮቹ ያለ ምንም ማታለያዎች በጥብቅ በቅደም ተከተል ናቸው። አንደኛ፣ ሁለተኛ፣ ሦስተኛ፣ አራተኛ፣ ወዘተ. ለምሳሌ፣ በሂደቱ 2፣ 5፣ 8፣ 11፣ 14፣ ... ሁለት የመጀመሪያው ቃል ነው፣ አምስት ሁለተኛው፣ አስራ አንድ አራተኛው ነው፣ ደህና፣ ተረድተሃል...) እባክዎን በግልፅ ተረዱ - ቁጥሮች እራሳቸውሙሉ በሙሉ ማንኛውም ሊሆን ይችላል, ሙሉ, ክፍልፋይ, አሉታዊ, ማንኛውም, ነገር ግን የቁጥሮች ቁጥር- በጥብቅ በቅደም ተከተል!

በአጠቃላይ ቅፅ ውስጥ እድገትን እንዴት እንደሚፃፍ? ችግር የሌም! በተከታታይ ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ቁጥር በደብዳቤ ይጻፋል. የሂሳብ እድገትን ለማመልከት, ደብዳቤው ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል ሀ. የአባላት ቁጥሩ ከታች በቀኝ በኩል ባለው መረጃ ጠቋሚ ይገለጻል። በነጠላ ሰረዝ (ወይም ሴሚኮሎን) የተለዩ ቃላትን እንጽፋለን፣ እንደዚህ፡-

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ......

ሀ 1- ይህ የመጀመሪያው ቁጥር ነው. ሀ 3- ሦስተኛ, ወዘተ. ምንም የሚያምር ነገር የለም። ይህ ተከታታይ ጽሑፍ በአጭሩ እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል። (ኤን).

እድገቶች ይከሰታሉ ማለቂያ የሌለው እና የማያልቅ.

የመጨረሻግስጋሴው የተወሰነ አባላት አሉት. አምስት፣ ሠላሳ ስምንት፣ ምንም ቢሆን። ግን የተወሰነ ቁጥር ነው።

ማለቂያ የሌለውእድገት - እርስዎ እንደሚገምቱት ማለቂያ የሌለው ቁጥር ያላቸው አባላት አሉት።)

የመጨረሻውን ሂደት በእንደዚህ አይነት ተከታታይ ፣ ሁሉንም ውሎች እና መጨረሻ ላይ አንድ ነጥብ መፃፍ ይችላሉ ።

a 1፣ a 2፣ a 3፣ a 4፣ a 5።

ወይም እንደዚህ፣ ብዙ አባላት ካሉ፡-

a 1፣ a 2፣...a 14፣ a 15

በመግቢያው ላይ የአባላቱን ብዛት ማመልከት አለብዎት. ለምሳሌ (ለሃያ አባላት) እንደዚህ፡-

(a n)፣ n = 20

በዚህ ትምህርት ውስጥ በምሳሌዎች ላይ እንደሚታየው ማለቂያ የሌለው እድገት በረድፍ መጨረሻ ላይ በኤሊፕሲስ ሊታወቅ ይችላል።

አሁን ተግባራቶቹን መፍታት ይችላሉ. ተግባሮቹ ቀላል ናቸው፣ የሒሳብ ግስጋሴን ትርጉም ለመረዳት ብቻ።

በሂሳብ እድገት ላይ ያሉ ተግባራት ምሳሌዎች።

ከላይ የተሰጠውን ተግባር በዝርዝር እንመልከተው፡-

1. የመጀመሪያዎቹን ስድስት የሒሳብ ግስጋሴ ቃላት (a n) ይጻፉ 2 = 5, d = -2.5 ከሆነ.

ስራውን ወደ መረዳት ቋንቋ እንተረጉማለን. ማለቂያ የሌለው የሂሳብ እድገት ተሰጥቷል። የዚህ እድገት ሁለተኛ ቁጥር ይታወቃል: ሀ 2 = 5የሂደቱ ልዩነት ይታወቃል- መ = -2.5.የዚህን እድገት የመጀመሪያ, ሶስተኛ, አራተኛ, አምስተኛ እና ስድስተኛ ቃላትን ማግኘት አለብን.

ግልጽ ለማድረግ, በችግሩ ሁኔታዎች መሰረት ተከታታይ እጽፋለሁ. የመጀመሪያዎቹ ስድስት ውሎች፣ ሁለተኛው ቃል አምስት ሲሆን፡-

ሀ 1፣ 5፣ a 3፣ a 4፣ a 5፣ a 6፣....

ሀ 3 = ሀ 2 + መ

በአገላለጽ ይተኩ ሀ 2 = 5እና መ = -2.5. ስለ ቅነሳው አይርሱ!

ሀ 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

ሦስተኛው ቃል ከሁለተኛው ያነሰ ሆኖ ተገኝቷል. ሁሉም ነገር ምክንያታዊ ነው። ቁጥሩ ከቀዳሚው በላይ ከሆነ አሉታዊዋጋ, ይህም ማለት ቁጥሩ ራሱ ከቀዳሚው ያነሰ ይሆናል. ግስጋሴው እየቀነሰ ነው። እሺ፣ ከግምት ውስጥ እናስገባዋለን።) ተከታታይ አራተኛውን ቃል እንቆጥራለን፡-

ሀ 4 = ሀ 3 + መ

ሀ 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

ሀ 5 = ሀ 4 + መ

ሀ 5=0+(-2,5)= - 2,5

ሀ 6 = ሀ 5 + መ

ሀ 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ስለዚህ, ከሦስተኛው እስከ ስድስተኛው ያሉት ቃላት ተቆጥረዋል. ውጤቱም የሚከተለው ተከታታይ ነው.

ሀ 1፣ 5፣ 2.5፣ 0፣ -2.5፣ -5፣ ....

የመጀመሪያውን ቃል ለማግኘት ይቀራል ሀ 1በታዋቂው ሰከንድ መሠረት. ይህ ወደ ሌላኛው አቅጣጫ, ወደ ግራ ደረጃ ነው.) ስለዚህ, የሂሳብ እድገት ልዩነት መላይ መጨመር የለበትም ሀ 2, ኤ ተይዞ መውሰድ:

ሀ 1 = ሀ 2 - መ

ሀ 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

ይኼው ነው. የምደባ መልስ፡-

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

በማለፍ, ይህንን ተግባር እንደፈታን ልብ ማለት እፈልጋለሁ ተደጋጋሚመንገድ። ይህ አስፈሪ ቃል ማለት የሂደቱን አባል መፈለግ ብቻ ነው በቀድሞው (በአጠገብ) ቁጥር መሠረት.ከእድገት ጋር ለመስራት ሌሎች መንገዶችን ከዚህ በታች እንመለከታለን።

ከዚህ ቀላል ተግባር አንድ አስፈላጊ መደምደሚያ ሊወሰድ ይችላል.

አስታውስ፡-

ቢያንስ አንድ ቃል እና የሂሳብ ግስጋሴን ልዩነት ካወቅን, የዚህን እድገት ማንኛውንም ቃል ማግኘት እንችላለን.

ያስታዉሳሉ? ይህ ቀላል መደምደሚያ በዚህ ርዕስ ላይ የትምህርት ቤቱን ኮርስ አብዛኛዎቹን ችግሮች ለመፍታት ያስችልዎታል. ሁሉም ተግባራት በሶስት ዋና መለኪያዎች ዙሪያ ያሽከረክራሉ. የሂሳብ እድገት አባል ፣ የእድገት ልዩነት ፣ የሂደቱ አባል ቁጥር።ሁሉም።

በእርግጥ ሁሉም የቀደመ አልጀብራ አልተሰረዙም።) አለመመጣጠኖች፣ እኩልታዎች እና ሌሎች ነገሮች ከእድገት ጋር ተያይዘዋል። ግን በእድገት እራሱ መሰረት- ሁሉም ነገር በሶስት መለኪያዎች ዙሪያ ያሽከረክራል.

እንደ ምሳሌ፣ በዚህ ርዕስ ላይ አንዳንድ ታዋቂ ተግባራትን እንመልከት።

2. n=5፣ d = 0.4 እና a 1 = 3.6 ከሆነ የመጨረሻውን የሂሳብ ግስጋሴን በተከታታይ ጻፍ።

እዚህ ሁሉም ነገር ቀላል ነው. ሁሉም ነገር አስቀድሞ ተሰጥቷል. የሂሳብ እድገት አባላት እንዴት እንደሚቆጠሩ ፣ መቁጠር እና መፃፍ እንደሚችሉ ማስታወስ ያስፈልግዎታል። በተግባራዊ ሁኔታዎች ውስጥ ያሉትን ቃላቶች እንዳያመልጥዎት ይመከራል-“የመጨረሻ” እና “ n=5"በፊትዎ ላይ ሙሉ በሙሉ ሰማያዊ እስክትሆኑ ድረስ ላለመቁጠር.) በዚህ ሂደት ውስጥ 5 (አምስት) አባላት ብቻ ናቸው.

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

ሀ 4 = ሀ 3 + መ = 4.4 + 0.4 = 4.8

ሀ 5 = ሀ 4 + መ = 4.8 + 0.4 = 5.2

መልሱን ለመጻፍ ይቀራል፡-

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

ሌላ ተግባር፡-

3. ቁጥር 7 የሂሳብ ግስጋሴ (a n) አባል መሆን አለመሆኑን ይወስኑ። ሀ 1 = 4.1; መ = 1.2.

እም... ማን ያውቃል? አንድ ነገር እንዴት እንደሚወሰን?

እንዴት-እንዴት... ግስጋሴውን በተከታታይ መልክ ጻፉ እና እዚያም ሰባት ይኖሩ እንደሆነ ይመልከቱ! እንቆጥራለን፡-

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

ሀ 4 = ሀ 3 + መ = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

አሁን እኛ ሰባት ብቻ መሆናችን በግልፅ ይታያል ሾልከው ገቡበ 6.5 እና 7.7 መካከል! ሰባት በእኛ ተከታታይ ቁጥሮች ውስጥ አልገቡም, እና ስለዚህ, ሰባት የተሰጠው እድገት አባል አይሆኑም.

መልስ፡ አይ.

እና በእውነተኛው የጂአይኤ ስሪት ላይ የተመሰረተ ችግር እዚህ አለ።

4. በርካታ ተከታታይ የሒሳብ ግስጋሴ ቃላት ተጽፈዋል፡-

...; 15; X; 9; 6; ...

ያለ መጨረሻ እና መጀመሪያ የተጻፈ ተከታታይ ነው። ምንም የአባል ቁጥሮች, ምንም ልዩነት የለም መ. እሺ ይሁን. ችግሩን ለመፍታት, የሂሳብ እድገትን ትርጉም መረዳት በቂ ነው. ምን ሊሆን እንደሚችል እንይ እና እንይ ማወቅከዚህ ተከታታይ? ሦስቱ ዋና መለኪያዎች ምንድን ናቸው?

የአባል ቁጥሮች? እዚህ አንድ ቁጥር የለም.

ግን ሶስት ቁጥሮች አሉ እና - ትኩረት! - ቃል "ወጥነት ያለው"በሁኔታ ላይ. ይህ ማለት ቁጥሮቹ በጥብቅ በቅደም ተከተል ናቸው, ያለ ክፍተቶች. በዚህ ረድፍ ውስጥ ሁለት አሉ? ጎረቤትየታወቁ ቁጥሮች? አዎ፣ አለኝ! እነዚህ 9 እና 6 ናቸው. ስለዚህ, የሂሳብ እድገትን ልዩነት ማስላት እንችላለን! ከስድስት ቀንስ ቀዳሚቁጥር፣ ማለትም ዘጠኝ:

ተራ ጥቃቅን ነገሮች ቀርተዋል። ለ X ቀዳሚው ቁጥር ምን ያህል ይሆናል? አስራ አምስት. ይህ ማለት X በቀላል መደመር በቀላሉ ሊገኝ ይችላል. የሂሳብ እድገትን ልዩነት ወደ 15 ያክሉ፡

ይኼው ነው. መልስ፡- x=12

የሚከተሉትን ችግሮች እራሳችን እንፈታዋለን. ማሳሰቢያ፡ እነዚህ ችግሮች በቀመር ላይ የተመሰረቱ አይደሉም። የሒሳብ ግስጋሴን ትርጉም ለመረዳት ብቻ።) ተከታታይ ቁጥሮችን እና ፊደላትን ብቻ እንጽፋለን፣ እንመልከተው እና እንረዳዋለን።

5. የ 5 = -3 ከሆነ የሂሳብ እድገትን የመጀመሪያውን አወንታዊ ቃል ይፈልጉ; መ = 1.1.

6. ቁጥር 5.5 የሒሳብ እድገት (a n) አባል እንደሆነ ይታወቃል, 1 = 1.6; መ = 1.3. የዚህን አባል ቁጥር n ይወስኑ።

7. በሂሳብ እድገት 2 = 4 እንደሚታወቅ ይታወቃል; ሀ 5 = 15.1. 3 ያግኙ.

8. በርካታ ተከታታይ የሒሳብ ግስጋሴ ቃላት ተጽፈዋል፡-

...; 15.6; X; 3.4; ...

በ x ፊደል የተመለከተውን የሂደቱን ቃል ይፈልጉ።

9. ባቡሩ ከጣቢያው መንቀሳቀስ ጀመረ, በደቂቃ በ 30 ሜትር ፍጥነት ይጨምራል. በአምስት ደቂቃ ውስጥ የባቡሩ ፍጥነት ምን ያህል ይሆናል? መልስዎን በኪሜ በሰዓት ይስጡ።

10. በሂሳብ እድገት 2 = 5 ይታወቃል. ሀ 6 = -5 1 ያግኙ.

መልሶች (በተዛባ): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

ሁሉም ነገር ሠርቷል? የሚገርም! በሚቀጥሉት ትምህርቶች በከፍተኛ ደረጃ የሂሳብ እድገትን መቆጣጠር ይችላሉ።

ሁሉም ነገር አልተሳካም? ችግር የሌም. በልዩ ክፍል 555, እነዚህ ሁሉ ችግሮች በክፍል የተከፋፈሉ ናቸው.) እና በእርግጥ, ቀላል ተግባራዊ ዘዴ ይገለጻል, ወዲያውኑ ለእንደዚህ አይነት ስራዎች መፍትሄውን በግልፅ, በግልፅ, በጨረፍታ ያጎላል!

በነገራችን ላይ በባቡር እንቆቅልሽ ውስጥ ሰዎች ብዙውን ጊዜ የሚሰናከሉባቸው ሁለት ችግሮች አሉ. አንደኛው ከእድገት አንፃር ብቻ ነው፣ ሁለተኛው ደግሞ በሂሳብ ላይ ለሚታዩ ችግሮች እና ፊዚክስም አጠቃላይ ነው። ይህ የልኬቶች ትርጉም ከአንዱ ወደ ሌላው ነው። እነዚህ ችግሮች እንዴት መፈታት እንዳለባቸው ያሳያል።

በዚህ ትምህርት ውስጥ የሂሳብ እድገትን የመጀመሪያ ደረጃ ትርጉም እና ዋና መለኪያዎችን ተመልክተናል። በዚህ ርዕስ ላይ ሁሉንም ማለት ይቻላል ችግሮችን ለመፍታት ይህ በቂ ነው. አክል መወደ ቁጥሮች, ተከታታይ ጻፍ, ሁሉም ነገር መፍትሄ ያገኛል.

በዚህ መማሪያ ውስጥ በምሳሌዎች ላይ እንደሚታየው የጣት መፍትሄው በጣም አጭር ለሆኑ የረድፍ ቁርጥራጮች በደንብ ይሰራል። ተከታታዩ ረዘም ያለ ከሆነ, ስሌቶቹ ይበልጥ የተወሳሰበ ይሆናሉ. ለምሳሌ እኛ በምንተካው ጥያቄ ውስጥ በችግር 9 ውስጥ ከሆነ "አምስት ደቂቃዎች"ላይ "ሰላሳ አምስት ደቂቃ"ችግሩ በጣም የከፋ ይሆናል.)

እና በመሰረቱ ቀላል የሆኑ፣ ግን በስሌቶች ረገድ የማይረባ ተግባራትም አሉ፣ ለምሳሌ፡-

የሂሳብ እድገት (a n) ተሰጥቷል. 1 =3 እና d=1/6 ከሆነ 121 ያግኙ።

ታዲያ ምን 1/6 ብዙ እና ብዙ ጊዜ ልንጨምር ነው?! እራስዎን ማጥፋት ይችላሉ!?

ይችላሉ.) እንደዚህ አይነት ስራዎችን በአንድ ደቂቃ ውስጥ መፍታት የሚችሉበት ቀላል ቀመር ካላወቁ. ይህ ቀመር በሚቀጥለው ትምህርት ውስጥ ይሆናል. እና ይህ ችግር እዚያ ተፈትቷል. በአንድ ደቂቃ ውስጥ)

ይህን ጣቢያ ከወደዱት...

በነገራችን ላይ ለአንተ ይበልጥ አስደሳች የሆኑ ሁለት ጣቢያዎች አሉኝ።)

ምሳሌዎችን የመፍታት ልምምድ ማድረግ እና ደረጃዎን ማወቅ ይችላሉ. በፈጣን ማረጋገጫ መሞከር። እንማር - በፍላጎት!)

ከተግባሮች እና ተዋጽኦዎች ጋር መተዋወቅ ይችላሉ።

አርቲሜቲክ እድገትየቁጥሮችን ቅደም ተከተል ሰይም (የእድገት ውሎች)

በዚህ ውስጥ እያንዳንዱ ቀጣይ ቃል ከቀዳሚው የተለየ በአዲስ ቃል ፣ እሱም እንዲሁ ተብሎ ይጠራል የእርምጃ ወይም የእድገት ልዩነት.

ስለዚህ ፣ የሂደቱን ደረጃ እና የመጀመሪያ ቃሉን በመግለጽ ፣ ቀመሩን በመጠቀም ማንኛውንም ንጥረ ነገሮቹን ማግኘት ይችላሉ።

የሂሳብ እድገት ባህሪዎች

1) ከሁለተኛው ቁጥር ጀምሮ እያንዳንዱ የሒሳብ ዕድገት አባል የቀደምት እና ቀጣይ አባላት የሒሳብ አማካኝ ነው።

ንግግሩም እውነት ነው። ከጎን ያሉት ጎዶሎ (እንዲያውም) የእድገት ቃላቶች በመካከላቸው ካለው ቃል ጋር እኩል ከሆነ ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል የሂሳብ ግስጋሴ ነው። ይህንን መግለጫ በመጠቀም, ማንኛውንም ቅደም ተከተል ማረጋገጥ በጣም ቀላል ነው.

እንዲሁም ፣ በሂሳብ እድገት ንብረት ፣ ከላይ ያለው ቀመር ወደሚከተለው ሊጠቃለል ይችላል።