ብዙ ችግሮችን ለመፍታት ስታቲስቲክስ ወደ እኛ እርዳታ ይመጣል, ለምሳሌ: የመወሰን ሞዴል መገንባት በማይቻልበት ጊዜ, ብዙ ምክንያቶች ሲኖሩ, ወይም ያለውን መረጃ ግምት ውስጥ በማስገባት የተገነባውን ሞዴል እድል መገምገም ሲያስፈልገን. ለስታቲስቲክስ ያለው አመለካከት አሻሚ ነው. ሦስት ዓይነት ውሸቶች አሉ የሚል አስተያየት አለ: ውሸት, የተወገዘ ውሸቶች እና ስታቲስቲክስ. በሌላ በኩል ፣ ብዙ የስታቲስቲክስ “ተጠቃሚዎች” እንዴት እንደሚሰራ ሙሉ በሙሉ ሳይረዱ ፣ ለምሳሌ ፣ መደበኛነቱን ሳያረጋግጡ በማንኛውም ውሂብ ላይ ሙከራን መተግበር። እንዲህ ዓይነቱ ቸልተኝነት ከባድ ስህተቶችን ይፈጥራል እና የሙከራ "አድናቂዎችን" ወደ ስታቲስቲክስ ጠላቶች ይለውጣል. ሞገድን በ i ላይ ለማስቀመጥ እንሞክር እና የትኞቹ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ሞዴሎች የተወሰኑ ክስተቶችን እና በመካከላቸው ያለውን የጄኔቲክ ግንኙነት ለመግለጽ ጥቅም ላይ መዋል እንዳለባቸው እንወቅ።

በመጀመሪያ ደረጃ, ይህ ጽሑፍ የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እና ስታቲስቲክስን ለሚማሩ ተማሪዎች ትኩረት የሚስብ ይሆናል, ምንም እንኳን "የበሰሉ" ስፔሻሊስቶች እንደ ማጣቀሻ ሊጠቀሙበት ይችላሉ. ከሚከተሉት ስራዎች ውስጥ በአንዱ የልውውጥ ግብይት ስትራቴጂዎችን አመላካቾችን አስፈላጊነት ለመገምገም ስታቲስቲክስን የመጠቀም ምሳሌ አሳይሻለሁ።

ሥራው ከግምት ውስጥ ይገባል-

በአንቀጹ መጨረሻ ላይ ለማሰላሰል ጥያቄ ይኖራል. በዚህ ጉዳይ ላይ ሀሳቤን በሚቀጥለው ጽሁፍ አቀርባለሁ።

ከላይ ከተጠቀሱት ተከታታይ ስርጭቶች መካከል አንዳንዶቹ ልዩ ጉዳዮች ናቸው.

ገለልተኛ ስርጭቶች

የእያንዳንዱ ክስተት ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች የመከሰቱ እድል ልዩ ስርጭት ተገልጿል. እንደማንኛውም ስርጭት (ቀጣይነትን ጨምሮ) ፣ የመጠበቅ እና የመበታተን ፅንሰ-ሀሳቦች ለልዩ ክስተቶች ይገለፃሉ። ነገር ግን፣ ለተለየ የዘፈቀደ ክስተት ሒሳባዊ መጠበቅ በአጠቃላይ ሁኔታ የአንድ የዘፈቀደ ክስተት ውጤት ሆኖ ሊሳካ የማይችል እሴት ነው ፣ ይልቁንም የሂሳብ ስሌት የክስተቶች ውጤት ትርጉም ያለው እሴት መሆኑን መረዳት አለበት። ቁጥራቸው ሲጨምር ይንከባከባሉ።

የልዩ የዘፈቀደ ሁነቶችን በመቅረጽ ረገድ የአንድ ክስተት ውጤት የመሆን እድሉ የሚፈለገውን ውጤት ከጠቅላላው የጥምረቶች ብዛት ጋር የሚያመጣውን የጥምረቶች ብዛት ጥምርታ ተብሎ ሊገለጽ ስለሚችል combinatorics ጠቃሚ ሚና ይጫወታል። ለምሳሌ: በቅርጫት ውስጥ 3 ነጭ ኳሶች እና 7 ጥቁር ኳሶች አሉ. ከቅርጫቱ ውስጥ 1 ኳስ በምንመርጥበት ጊዜ, ይህንን በ 10 የተለያዩ መንገዶች (አጠቃላይ የጥምረቶች ብዛት) ማድረግ እንችላለን, ነገር ግን ነጭ ኳስ የሚመረጥባቸው 3 አማራጮች ብቻ (የሚፈለገውን ውጤት የሚሰጡ 3 ጥንብሮች). ስለዚህ, ነጭውን ኳስ የመምረጥ እድሉ: ().

እንዲሁም አንድ ሰው ናሙናዎችን በመመለስ እና ያለ መመለስ መካከል መለየት አለበት. ለምሳሌ, ሁለት ነጭ ኳሶችን የመምረጥ እድልን ለመግለጽ, የመጀመሪያው ኳስ ወደ ቅርጫቱ መመለሱን መወሰን አስፈላጊ ነው. ካልሆነ እኛ ሳንመለስ ናሙና ጋር እየተገናኘን ነው () እና እድሉ እንደሚከተለው ይሆናል - ከመጀመሪያው ናሙና ነጭ ኳስ የመምረጥ እድሉ በቅርጫቱ ውስጥ ከቀሩት ውስጥ እንደገና ነጭ ኳስ የመምረጥ እድሉ ተባዝቷል። . የመጀመሪያው ኳስ ወደ ቅርጫቱ ከተመለሰ, ይህ ከተመለሰ () ጋር ማምጣት ነው. በዚህ ሁኔታ ሁለት ነጭ ኳሶችን የመምረጥ እድሉ ነው.

ምሳሌውን በቅርጫት በተወሰነ መልኩ ካቀረብነው፡ የዝግጅቱ ውጤት ከሁለት እሴቶች አንዱን 0 ወይም 1 ከፕሮባቢሊቲዎች ጋር እና በቅደም ተከተል ይውሰድ፡ እያንዳንዱን የታቀዱትን ውጤቶች የማግኘት እድሉ የበርኑሊ ስርጭት ይባላል። :

በተቋቋመው ወግ መሠረት, የ 1 እሴት ያለው ውጤት "ስኬት" ይባላል, እና 0 ዋጋ ያለው ውጤት "ውድቀት" ይባላል. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው ውጤቱን ማግኘት "ስኬት ወይም ውድቀት" የሚከሰተው በአጋጣሚ ነው.

የቤርኑሊ ስርጭት መጠበቅ እና ልዩነት፡-

በሙከራዎች ውስጥ ያሉ ስኬቶች ብዛት ፣ ውጤቱም እንደ ስኬት እድል (ኳሶችን ወደ ቅርጫት የመመለስ ምሳሌ) የሚሰራጨው በሁለትዮሽ ስርጭት ነው ።

በሌላ አነጋገር የሁለትዮሽ ስርጭቱ ከስኬት እድሎች ጋር ሊሰራጭ የሚችሉትን ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምርን ይገልፃል ማለት እንችላለን።
ተስፋ እና ልዩነት;

መጠኖቹ እና ሁለትዮሽ ስርጭቶች ከግቤቶች እና በቅደም ተከተል ካላቸው፣ ድምራቸው እንዲሁ ከግቤቶች ጋር በሁለትዮሽ ይሰራጫል።

ኳሶችን ከቅርጫቱ አውጥተን ነጭ ኳስ እስኪወጣ ድረስ የምንመልስበትን ሁኔታ እናስብ። የእንደዚህ አይነት ስራዎች ብዛት በጂኦሜትሪክ ስርጭት ይገለጻል. በሌላ አነጋገር የጂኦሜትሪክ ስርጭቱ በእያንዳንዱ ሙከራ ውስጥ የመሳካት እድል እስከ መጀመሪያው ስኬት ድረስ የሙከራዎችን ብዛት ይገልጻል። ስኬት የተከሰተበት ሙከራ ቁጥር ከተዘዋወረ፣ የጂኦሜትሪክ ስርጭቱ በሚከተለው ቀመር ይገለጻል።

የፓስካል ስርጭቱ አጠቃላይ የስርጭት ስርጭት ነው፡ በገለልተኛ ሙከራዎች ውስጥ የውድቀቶች ብዛት ስርጭትን ይገልፃል ፣ ውጤቱም አጠቃላይ ስኬት ከመከሰቱ በፊት በስኬት እድሉ ላይ ይሰራጫል። መቼ , ለብዛቱ ስርጭት እናገኛለን.

የአሉታዊ ሁለትዮሽ ስርጭት መጠበቅ እና ልዩነት፡-

እስካሁን ድረስ የተገላቢጦሽ ናሙናዎችን ምሳሌዎችን ተመልክተናል, ማለትም, የውጤቱ ዕድል ከሙከራ ወደ ሙከራ አልተቀየረም.

አሁን ሳይመለሱ ሁኔታውን ያስቡ እና ቀደም ሲል የታወቁ የስኬቶች እና ውድቀቶች ብዛት (በቅርጫት ውስጥ ነጭ እና ጥቁር ኳሶች ቀድመው የታወቁ ፣ ትራምፕ ካርዶች በዴክ ውስጥ) ከሕዝብ የተሳካላቸው ምርጫዎች ብዛት ያለውን ዕድል ይግለጹ ። በጨዋታው ውስጥ የተበላሹ ክፍሎች, ወዘተ).

አጠቃላይ ስብስቡ ዕቃዎችን ይይዝ፣ አንዳንዶቹ እንደ “1” እና “0” የሚል ምልክት ተደርጎባቸዋል። “1” የሚል መለያ ያለው ነገር መምረጡን እንደ ስኬት እና “0” የሚል መለያ እንደ ውድቀት እንቆጥረዋለን። እኛ n ሙከራዎችን እናከናውናለን, እና የተመረጡት ነገሮች ተጨማሪ ሙከራዎች ውስጥ አይሳተፉም. የስኬት ዕድሉ የሃይፐርጂኦሜትሪክ ስርጭትን ይታዘዛል፡-

ተስፋ እና ልዩነት;

መርዝ ስርጭት

የፖይሰን ስርጭት ከላይ ከተገለጹት ስርጭቶች በ “ርዕሰ-ጉዳዩ” ውስጥ በጣም የተለየ ነው-አሁን የታሰበው የአንድ ወይም ሌላ የፈተና ውጤት የመከሰቱ ዕድል አይደለም ፣ ግን የክስተቶች ጥንካሬ ፣ ማለትም ፣ አማካይ የክስተቶች ብዛት። በጊዜ አሃድ.

የPoisson ስርጭት የገለልተኛ ክስተቶችን በጊዜ ሂደት በአማካይ የክስተቶች መጠን የመከሰት እድልን ይገልጻል።

የ Poisson ስርጭት, ከ ጋር በማጣመር, በገለልተኛ ክስተቶች መካከል ያለውን የጊዜ ክፍተቶችን የሚገልጽ, የአስተማማኝነት ጽንሰ-ሀሳብ የሂሳብ መሰረትን ይመሰርታል.

የዘፈቀደ ተለዋዋጮች x እና y () ከስርጭት ጋር ያለው ምርት የመሆን እድሉ እፍጋ እና በሚከተለው ሊሰላ ይችላል።

ከዚህ በታች ያሉት አንዳንድ ስርጭቶች የፒርሰን ስርጭት ልዩ ጉዳዮች ናቸው፣ እሱም በተራው ደግሞ ለቀመሩ መፍትሄ ነው።

በዚህ ክፍል ውስጥ የሚብራሩት ስርጭቶች እርስ በርስ የቅርብ ግንኙነት አላቸው. እነዚህ ግንኙነቶች የሚገለጹት አንዳንድ ስርጭቶች የሌሎች ስርጭቶች ልዩ ጉዳዮች በመሆናቸው ወይም ሌሎች ስርጭቶች ያላቸውን የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ለውጦችን በመግለጽ ነው።

ከዚህ በታች ያለው ሥዕላዊ መግለጫ በዚህ ጽሑፍ ውስጥ በሚታዩ አንዳንድ ተከታታይ ስርጭቶች መካከል ያለውን ግንኙነት ያሳያል። በሥዕላዊ መግለጫው ውስጥ ፣ ጠንካራ ቀስቶች የዘፈቀደ ተለዋዋጮችን መለወጥ ያሳያሉ (የቀስቱ መጀመሪያ የመነሻ ስርጭትን ያሳያል ፣ የቀስት መጨረሻ ውጤቱን ያሳያል) እና ነጠብጣብ ያላቸው ቀስቶች አጠቃላይ ግንኙነቶችን ያመለክታሉ (የቀስቱ መጀመሪያ ያሳያል) የፍላጻው ጫፍ የሚያመለክትበት ልዩ ሁኔታ ነው. ለፒርሰን ስርጭት ልዩ ጉዳዮች ፣ ተጓዳኝ የፒርሰን ስርጭት ዓይነት ከተጠለፉ ቀስቶች በላይ ይጠቁማል።

መደበኛ ስርጭት (የጋውሲያን ስርጭት)

ከመለኪያዎች ጋር የመደበኛ ስርጭት እድሉ እፍጋት እና በጋውሲያን ተግባር ይገለጻል፡

ከሆነ እና , ከዚያም እንዲህ ዓይነቱ ስርጭት መደበኛ ይባላል.

የመደበኛ ስርጭት መጠበቅ እና ልዩነት፡

የተለመደው ስርጭት ዓይነት VI ስርጭት ነው.

የገለልተኛ መደበኛ መጠኖች የካሬዎች ድምር አለው፣ እና የነፃ Gaussian መጠኖች ጥምርታ በ ላይ ተሰራጭቷል።

መደበኛው ስርጭት ወሰን በሌለው ሁኔታ የተከፋፈለ ነው፡ በመደበኛነት የተከፋፈሉ መጠኖች ድምር እና ከመለኪያዎች ጋር እና በዚህ መሰረት, እንዲሁም ከግቤቶች ጋር መደበኛ ስርጭት አለው , የት እና .

መደበኛው የስርጭት ጉድጓድ የተፈጥሮ ክስተቶችን፣ የቴርሞዳይናሚክስ ተፈጥሮ ጫጫታ እና የመለኪያ ስህተቶችን የሚገልጹ መጠኖችን አምሳያ።

በተጨማሪም, በማዕከላዊው ገደብ ንድፈ ሃሳብ መሰረት, የቃላቶቹ ስርጭቶች ምንም ቢሆኑም, ብዙ ቁጥር ያላቸው ገለልተኛ ቃላት ድምር ወደ መደበኛ ስርጭት ይሰበሰባል. በዚህ ንብረት ምክንያት፣ መደበኛ ስርጭት በስታቲስቲክስ ትንተና ታዋቂ ነው፣ ብዙ የስታቲስቲክስ ሙከራዎች የተነደፉት በተለምዶ ለተሰራጨው መረጃ ነው።

የ z-ሙከራው በተለመደው ስርጭት ማለቂያ በሌለው መከፋፈል ላይ የተመሰረተ ነው. ይህ ሙከራ በተለምዶ የሚሰራጩት እሴቶች ናሙና የሚጠበቀው ዋጋ ከተወሰነ እሴት ጋር እኩል መሆኑን ለማረጋገጥ ይጠቅማል። የልዩነቱ ዋጋ መሆን አለበት። የሚታወቅ. የልዩነቱ እሴቱ የማይታወቅ ከሆነ እና በተተነተነው ናሙና ላይ ተመስርቶ የሚሰላ ከሆነ፣ በ ላይ የተመሰረተ ቲ-ሙከራ።

ከአጠቃላይ ህዝብ በመደበኛ ልዩነት የተከፋፈሉ እሴቶች ናሙና እንዳለን እናስብ፣ እስቲ እንገምተው። ከዚያም እሴቱ መደበኛ መደበኛ ስርጭት ይኖረዋል. የተገኘውን የ z እሴት ከመደበኛ ስርጭት ኳንቲሎች ጋር በማነፃፀር፣ መላምቱን ከሚፈለገው የትርጉም ደረጃ ጋር መቀበል ወይም ውድቅ ማድረግ ይችላሉ።

የጋውሲያን ስርጭት በሰፊው ጥቅም ላይ በመዋሉ ፣ ከስታቲስቲክስ ጋር በደንብ የማይተዋወቁ ብዙ ተመራማሪዎች መረጃውን ለመደበኛነት ማረጋገጥ ይረሳሉ ፣ ወይም የስርጭት ጥግግት ግራፍ “በአይን” ይገምግሙ ፣ ከ Gaussian ውሂብ ጋር እንደሚገናኙ በጭፍን ያምናሉ። በዚህ መሠረት ለመደበኛ ስርጭት የተነደፉ ሙከራዎችን በደህና መጠቀም እና ሙሉ በሙሉ የተሳሳቱ ውጤቶችን ማግኘት ይችላሉ። ይህ ምናልባት በጣም አስፈሪው የውሸት አይነት ስለ ስታቲስቲክስ ወሬ የመጣው ከየት ነው.

እስቲ አንድ ምሳሌ እንይ፡ የአንድ የተወሰነ እሴት ስብስብ የመቋቋም አቅም መለካት አለብን። ተቃውሞ አካላዊ ተፈጥሮ አለው፤ ከስም እሴት የተቃውሞ ልዩነቶች ስርጭት መደበኛ ይሆናል ብሎ ማሰብ ምክንያታዊ ነው። ለተለካው እሴቶች የደወል ቅርጽ ያለው የይሆናልነት እፍጋታ ተግባርን በተቃዋሚው እሴት አካባቢ ባለው ሁነታ እንለካለን እና እናገኛለን። ይህ የተለመደ ስርጭት ነው? አዎ ከሆነ፣ የስርጭቱን መበታተን አስቀድመን ካወቅን፣ ወይም z-testን በመጠቀም ጉድለት ያለባቸውን ተቃዋሚዎች እንፈልጋለን። ብዙዎች ይህን ያደርጋሉ ብዬ አስባለሁ።

ነገር ግን የተቃውሞ መለኪያ ቴክኖሎጂን ጠለቅ ብለን እንመርምር፡ መቋቋም ማለት የተተገበረው የቮልቴጅ እና የአሁኑ ፍሰት ጥምርታ ነው። የአሁኑን እና ቮልቴጅን በመሳሪያዎች እንለካለን, እሱም በተራው, በመደበኛነት ስህተቶችን ያሰራጫል. ማለትም ፣ የአሁኑ እና የቮልቴጅ መለኪያዎች ናቸው። በመደበኛነት የተከፋፈሉ የዘፈቀደ ተለዋዋጮችከተገመቱ መጠኖች እውነተኛ እሴቶች ጋር በሚዛመደው የሂሳብ ፍላጎቶች። ይህ ማለት የተገኙት የመከላከያ እሴቶች በ Gaussian መሠረት ሳይሆን ይሰራጫሉ ማለት ነው።

ስርጭቱ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ካሬዎች ድምርን ይገልፃል፣ እያንዳንዳቸው በመደበኛው መደበኛ ህግ መሰረት ይሰራጫሉ፡

የነፃነት ዲግሪዎች ብዛት የት ነው?

የስርጭት መጠበቅ እና መበታተን;

እሱ ልዩ ጉዳይ ነው (እና ስለዚህ ዓይነት III ስርጭት) እና አጠቃላይ። በላይ የተከፋፈለው የመጠን ሬሾ።

የፒርሰን ጥሩነት ፈተና በስርጭቱ ላይ የተመሰረተ ነው። ይህንን መስፈርት በመጠቀም የአንድ የተወሰነ የንድፈ ሃሳባዊ ስርጭት ንብረት የሆነ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ናሙና አስተማማኝነት ማረጋገጥ ይችላሉ።

አንዳንድ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ናሙና እንዳለን እናስብ። በዚህ ናሙና ላይ በመመስረት የእሴቶች ወደ ክፍተቶች () ውስጥ የመውደቅ እድሎችን እናሰላለን። በተመረጡት ክፍተቶች ውስጥ የመውደቅ እድሎች በዚህ መሠረት ስለ ስርጭቱ የትንታኔ አገላለጽ ግምታዊ ግምት ይኑር። ከዚያም መጠኖቹ በተለመደው ህግ መሰረት ይሰራጫሉ.

ወደ መደበኛው መደበኛ ስርጭት እንቀንስ፡,
የት እና .

የተገኙት ዋጋዎች ከግቤቶች (0, 1) ጋር መደበኛ ስርጭት አላቸው, እና ስለዚህ የካሬዎቻቸው ድምር በነፃነት ደረጃ ይሰራጫል. የነፃነት ደረጃ መቀነስ ወደ ክፍተቶች ውስጥ የሚወድቁ የእሴቶች እድሎች ድምር ላይ ተጨማሪ ገደብ ጋር የተያያዘ ነው: ከ 1 ጋር እኩል መሆን አለበት.

እሴቱን ከስርጭቱ ኳንቲሎች ጋር በማነፃፀር፣ ስለ መረጃው የንድፈ ሃሳባዊ ስርጭት መላ ምት ከሚፈለገው የትርጉም ደረጃ ጋር መቀበል ወይም አለመቀበል ይችላሉ።

የተማሪ ስርጭቱ ቲ-ሙከራን ለማካሄድ ይጠቅማል፡- የሚጠበቀው የነሲብ ተለዋዋጮች ናሙና ለተወሰነ እሴት ወይም የሁለት ናሙናዎች የሚጠበቀው እሴት እኩልነት (እኩልነት) ልዩነቶች መፈተሽ አለባቸው)። የተማሪ ስርጭቱ የተከፋፈለ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እና የተከፋፈለ ተለዋዋጭ ሬሾን ይገልጻል።

እንደቅደም ተከተላቸው የነጻነት ዲግሪ ያላቸው ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ይሁኑ። ከዚያም መጠኑ የነፃነት ደረጃዎች ያለው የአሳ ማከፋፈያ ስርጭት ይኖረዋል, እና መጠኑ የነፃነት ደረጃዎች ያለው የአሳ ማከፋፈያ ስርጭት ይኖረዋል.
የአሳ ማጥመጃ ስርጭቱ ለትክክለኛ አሉታዊ ያልሆኑ ክርክሮች ይገለጻል እና የመሆን እድሉ አለው፡-


የአሳ ማጥመጃው ስርጭት መጠበቅ እና ልዩነት፡-

በርካታ የስታቲስቲክስ ሙከራዎች ፊሸር ስርጭት ላይ የተመሰረቱ ናቸው፣ ለምሳሌ የመመለሻ መለኪያዎችን አስፈላጊነት መገምገም፣ ለ heteroskedasticity ፈተና እና የናሙና ልዩነቶች እኩልነት ፈተና (f-test፣ ከ መለየት አለበት)። ትክክለኛየአሳ ማጥመጃ ሙከራ).

የኤፍ-ሙከራ፡ ሁለት ገለልተኛ ናሙናዎች እና የተከፋፈሉ የውሂብ መጠኖች እና በቅደም ተከተል ይኑር። ስለ ናሙና ልዩነቶች እኩልነት መላምት እናስቀምጥ እና በስታቲስቲክስ እንፈትነው።

እሴቱን እናሰላው. የነፃነት ደረጃዎች ያለው ፊሸር ስርጭት ይኖረዋል።

እሴቱን ከተዛማጅ ፊሸር ስርጭት ኳንቲሎች ጋር በማነፃፀር፣ የናሙና ልዩነቶችን የእኩልነት መላምት ከሚፈለገው የትርጉም ደረጃ ጋር መቀበል ወይም ውድቅ ማድረግ እንችላለን።

ገላጭ (ገላጭ) ስርጭት እና የላፕላስ ስርጭት (ድርብ ገላጭ፣ ድርብ ገላጭ)

ገላጭ ስርጭቱ በአማካይ ጥንካሬ በሚከሰቱ ገለልተኛ ክስተቶች መካከል ያለውን የጊዜ ክፍተቶች ይገልጻል። በተወሰነ ጊዜ ውስጥ እንዲህ ዓይነቱ ክስተት የተከሰቱት ክስተቶች ቁጥር እንደ ወሰን ይገለጻል. ገላጭ ስርጭቱ ከአስተማማኝ ጽንሰ-ሀሳብ ጋር የሂሳብ መሠረት ይመሰርታል።

ከአስተማማኝነት ጽንሰ-ሀሳብ በተጨማሪ ገላጭ ስርጭት በማህበራዊ ክስተቶች መግለጫ ፣ በኢኮኖሚክስ ፣ በወረፋ ፅንሰ-ሀሳብ ፣ በትራንስፖርት ሎጂስቲክስ ውስጥ - የክስተቶችን ፍሰት ለመቅረጽ በሚያስፈልግበት ቦታ ሁሉ ጥቅም ላይ ይውላል።

ገላጭ ስርጭቱ ልዩ ጉዳይ ነው (ለ n=2) እና ስለዚህ . በስፋት የተከፋፈለው መጠን ቺ-ካሬ መጠን ያለው 2 ዲግሪ ነፃነት ስለሆነ፣ የሁለት ነጻ በመደበኛነት የሚሰራጩ የካሬዎች ድምር ተብሎ ሊተረጎም ይችላል።

እንዲሁም ገላጭ አከፋፈል ፍትሃዊ ጉዳይ ነው።

ትምህርት 8

የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ፕሮባቢሊቲ ስርጭቶች።ሁለትዮሽ ስርጭት. መርዝ ስርጭት. የጂኦሜትሪክ ስርጭት. የማመንጨት ተግባር.

6. ፕሮባብሊቲ ማከፋፈያዎች
ድንገተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች

ሁለትዮሽ ስርጭት

ተመረተ nገለልተኛ ሙከራዎች, በእያንዳንዱ ውስጥ ክስተቱ ሀሊታይም ላይታይም ይችላል። ሊሆን ይችላል። ገጽየአንድ ክስተት ክስተት ሀበሁሉም ፈተናዎች ውስጥ ቋሚ እና ከፈተና ወደ ፈተና አይለወጥም. እንደ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X የክስተቱን ክስተቶች ብዛት ግምት ውስጥ ያስገቡ ሀበእነዚህ ፈተናዎች ውስጥ. አንድ ክስተት የመከሰት እድልን ለማግኘት ቀመር ሀ
ለስላሳ ክአንድ ጊዜ nሙከራዎች, እንደሚታወቀው, ተገልጸዋል የበርኑሊ ቀመር

በበርኑሊ ቀመር የተገለጸው የይቻላል ስርጭት ይባላል ሁለትዮሽ .

ይህ ህግ "ሁለትዮሽ" ይባላል ምክንያቱም የቀኝ እጅ በኒውተን ሁለትዮሽ መስፋፋት ውስጥ እንደ አጠቃላይ ቃል ሊቆጠር ይችላል.

የሁለትዮሽ ህግን በጠረጴዛ መልክ እንፃፍ

የዚህን ስርጭት የቁጥር ባህሪያትን እናገኝ.

.

የኒውተን ሁለትዮሽ የሆነውን እኩልነት እንፃፍ

.

እና ከገጽ ጋር ይለያዩ. በውጤቱም እናገኛለን

.

የግራ እና የቀኝ ጎኖቹን በ ገጽ:

.

ያንን ግምት ውስጥ በማስገባት p+q=1፣ አለን።

(6.2)

ስለዚህ፣ በ n ነፃ ሙከራዎች ውስጥ የተከናወኑ ክስተቶች ብዛት የሂሳብ ግምት ከሙከራዎች ብዛት ውጤት ጋር እኩል ነው n በእያንዳንዱ ሙከራ ውስጥ አንድ ክስተት የመከሰት እድሉ p።.

ቀመሩን በመጠቀም ልዩነቱን እናሰላው።

ለዚህም እናገኛለን

.

በመጀመሪያ የኒውተንን ሁለትዮሽ ቀመር ከግንዛቤ ጋር እንለይ ገጽ:

እና ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች በ ገጽ 2:

ስለዚህም እ.ኤ.አ.

ስለዚህ, የሁለትዮሽ ስርጭት ልዩነት ነው

. (6.3)

እነዚህ ውጤቶች እንዲሁ ከጥራት ምክንያታዊነት ሊገኙ ይችላሉ። በሁሉም ሙከራዎች ውስጥ ያለው የክስተት ሀ ክስተት አጠቃላይ ቁጥር X በግለሰብ ሙከራዎች ውስጥ የክስተቱ ክስተቶች ብዛት ድምር ነው። ስለዚህ, X 1 በመጀመሪያው ሙከራ ውስጥ የክስተቱ ክስተቶች ብዛት ከሆነ, X 2 - በሁለተኛው, ወዘተ., በሁሉም ሙከራዎች ውስጥ የክስተት አጠቃላይ ክስተቶች ብዛት X = X 1 +X 2 እኩል ነው. +…+X n. በሒሳብ ጥበቃ ንብረት መሠረት፡-

በእኩልነት በቀኝ በኩል ያሉት እያንዳንዱ ቃላቶች በአንድ ሙከራ ውስጥ ያሉ የክስተቶች ብዛት የሂሳብ ግምት ነው ፣ ይህም ከክስተቱ ዕድል ጋር እኩል ነው። ስለዚህም

በተበታተነው ንብረት መሰረት፡-

ጀምሮ፣ እና የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሒሳብ ጥበቃ፣ ይህም ሁለት እሴቶችን ብቻ ሊወስድ ይችላል፣ እነሱም 1 2 ከፕሮባቢሊቲ ጋር ገጽእና 0 2 ከፕሮባቢሊቲ ጋር ቅ, ያ. ስለዚህም በውጤቱም, እናገኛለን

የመጀመርያ እና ማዕከላዊ አፍታዎችን ፅንሰ-ሀሳብ በመጠቀም ፣ለ asymmetry እና kurtosis ቀመሮችን ማግኘት እንችላለን-

. (6.4)

የሁለትዮሽ ስርጭት ፖሊጎን የሚከተለው ቅጽ አለው (ምሥል 6.1 ይመልከቱ)። ፕሮባቢሊቲ ፒ n(ክ) በመጀመሪያ በመጨመር ይጨምራል ክ, ከፍተኛውን እሴት ላይ ይደርሳል እና ከዚያ መቀነስ ይጀምራል. ከጉዳዩ በስተቀር የሁለትዮሽ ስርጭቱ የተዛባ ነው። ገጽ=0.5. ብዙ ቁጥር ባላቸው ፈተናዎች ልብ ይበሉ nየሁለትዮሽ ስርጭቱ ወደ መደበኛው በጣም ቅርብ ነው. (የዚህ ሀሳብ መነሻ ከሞኢቭር-ላፕላስ አካባቢያዊ ቲዎሬም ጋር የተያያዘ ነው።)

የአንድ ክስተት ክስተት ቁጥር m 0 ይባላል በጣም የሚመስለውበዚህ ተከታታይ ሙከራዎች ውስጥ ለተወሰኑ ጊዜያት ክስተት የመከሰት እድሉ ከፍተኛ ከሆነ (ከፍተኛው በስርጭት ባለ ብዙ ጎን). ለሁለትዮሽ ስርጭት

. (6.5)

አስተያየት። ይህ እኩልነት ለሁለትዮሽ እድሎች ተደጋጋሚ ቀመር በመጠቀም ሊረጋገጥ ይችላል፡-

(6.6)

ምሳሌ 6.1.በዚህ ድርጅት ውስጥ የፕሪሚየም ምርቶች ድርሻ 31% ነው። በነሲብ በተመረጡ የ75 ምርቶች ስብስብ ውስጥ የሒሳብ ጥበቃ እና ልዩነት፣እንዲሁም በጣም ሊሆኑ የሚችሉ የፕሪሚየም ምርቶች ብዛት ምንድናቸው?

መፍትሄ። ምክንያቱም ገጽ=0,31, ቅ=0,69, n=75 እንግዲህ

ም X] = n.p.= 75×0.31 = 23.25; ደ X] = npq= 75×0.31×0.69 = 16.04.

በጣም ሊሆን የሚችል ቁጥር ለማግኘት ኤም 0, ድርብ አለመመጣጠን እንፍጠር

ያንን ተከትሎ ነው። ኤም 0 = 23.

መርዝ ስርጭት

ቀደም ሲል እንደተገለፀው የሁለትዮሽ ስርጭት ወደ መደበኛው ሲቀርብ ነው n®¥ ነገር ግን, ይህ ከመጨመር ጋር አብሮ ከሆነ አይከሰትም nከብዛቶቹ አንዱ ገጽወይም ቅወደ ዜሮ ያደላል። በዚህ ሁኔታ, አሲምፕቶቲክ ፖይሰን ቀመር ይይዛል, ማለትም. በ n®¥, ገጽ®0

, (6.7)

የት l= n.p.. ይህ ቀመር ይወስናል የመርዛማ ስርጭት ህግ , ራሱን የቻለ ትርጉም ያለው, እና እንደ ሁለትዮሽ ስርጭት ልዩ ሁኔታ ብቻ አይደለም. ከሁለትዮሽ ስርጭቱ በተለየ፣ እዚህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ክማለቂያ የሌላቸውን የእሴቶች ብዛት መውሰድ ይችላል፡- ክ=0,1,2,…

የፖይሰን ህግ በእኩል ጊዜ ውስጥ የተከሰቱትን የክውነቶች ብዛት ይገልፃል። የPoisson ማከፋፈያ ፖሊጎን በምስል ላይ ይታያል። 6.2. ለትልቅ ኤል ውድድሮች ልብ ይበሉ
የፖይሰን ስርጭት ወደ መደበኛው ቀርቧል። ስለዚህ, የ Poisson ስርጭት, እንደ አንድ ደንብ, ጥቅም ላይ ይውላል l የአንድነት ቅደም ተከተል እና የፈተናዎች ብዛት. nትልቅ መሆን አለበት, እና የዝግጅቱ የመከሰቱ ዕድል ገጽበእያንዳንዱ ፈተና ውስጥ ትንሽ ነው. በዚህ ረገድ የፖይሰን ህግ ብዙ ጊዜም ይጠራል ያልተለመዱ ክስተቶች ስርጭት ህግ.

የ Poisson ስርጭት የሚከሰትባቸው ሁኔታዎች ምሳሌዎች የሚከተሉት ናቸው: 1) በአንድ ክፍል ውስጥ የተወሰኑ ማይክሮቦች ብዛት; 2) በእያንዳንዱ ጊዜ ከሚሞቅ ካቶድ የሚወጣው ኤሌክትሮኖች ብዛት; 3) በተወሰነ ጊዜ ውስጥ በሬዲዮአክቲቭ ምንጭ የሚለቀቁት የ a-particles ብዛት; 4) በቀን በተወሰነ ሰዓት ወደ ስልክ ልውውጥ የሚመጡ ጥሪዎች ቁጥር, ወዘተ.

የፖይሰን ህግን በጠረጴዛ መልክ እንፃፍ

የሁሉም ዕድሎች ድምር ከአንድ ጋር እኩል መሆኑን እንፈትሽ፡-

የዚህን ስርጭት የቁጥር ባህሪያትን እናገኝ. ለ DSV በሒሳብ የሚጠበቀው ፍቺ፣ አለን።

በመጨረሻው ድምር ላይ ማጠቃለያው የሚጀምረው በ ክ=1, ምክንያቱም የሚዛመደው ድምር የመጀመሪያ ቃል ክ=0፣ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

ልዩነቱን ለማግኘት በመጀመሪያ የዘፈቀደ ካሬውን የሂሳብ ግምት እናገኛለን፡-

ስለዚህ፣ በፖይሰን ህግ መሰረት የሚሰራጨው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ ጥበቃ እና ልዩነት የሚገጣጠሙ እና ከዚህ ስርጭት ግቤት ጋር እኩል ናቸው።

. (6.8)

ይህ የPoisson ስርጭት ልዩ ባህሪ ነው። ስለዚህ, በሙከራ መረጃ ላይ በመመስረት, የሒሳብ ጥበቃ እና የአንድ የተወሰነ እሴት ልዩነት እርስ በርስ የተቃረበ ሆኖ ከተገኘ, ይህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በፖይሰን ህግ መሰረት ይሰራጫል ብለን ለመገመት ምክንያት አለ.

የመነሻ እና የማዕከላዊ አፍታዎችን ፅንሰ-ሀሳብ በመጠቀም ፣ ለ Poisson ስርጭት ፣ skewness Coefficient እና kurtosis እኩል መሆናቸውን ማሳየት እንችላለን-

. (6.9)

መለኪያው ሁል ጊዜ አዎንታዊ ስለሆነ, የ Poisson ስርጭቱ ሁል ጊዜ አዎንታዊ ማዛባት እና kurtosis አለው.

አሁን የፖይሰን ቀመር በጣም ቀላል የሆነውን የክስተቶች ፍሰት የሂሳብ ሞዴል ተደርጎ ሊወሰድ እንደሚችል እናሳይ።

የክስተቶች ፍሰትበዘፈቀደ ጊዜ የሚከሰቱትን ተከታታይ ክስተቶች ይደውሉ። ዥረቱ ይባላል በጣም ቀላሉ, ንብረቶች ካሉት ቋሚነት, ምንም ውጤት የለምእና ተራነት.

የፍሰት መጠን l በአንድ ክፍል ጊዜ የሚከሰቱ አማካይ የክስተቶች ብዛት ነው።

የፍሰት ጥንካሬ ቋሚ l ከታወቀ, ከዚያም የመከሰቱ ዕድል ክበጊዜ ሂደት በጣም ቀላሉ ፍሰት ክስተቶች ቲበPoisson ቀመር ይወሰናል፡-

. (6.10)

ይህ ፎርሙላ የቀላል ፍሰትን ሁሉንም ባህሪያት ያንፀባርቃል. ከዚህም በላይ ማንኛውም ቀላል ፍሰት በፖይሰን ቀመር ይገለጻል, ስለዚህ በጣም ቀላሉ ፍሰቶች ብዙ ጊዜ ይባላሉ መርዝ.

የማይንቀሳቀስ ንብረት ክበማንኛውም ጊዜ ውስጥ ያሉ ክስተቶች በቁጥር ላይ ብቻ ይወሰናሉ ክእና በቆይታ ጊዜ ቲየጊዜ ቆይታ እና በመቁጠር መጀመሪያ ላይ የተመካ አይደለም. በሌላ አነጋገር, ፍሰቱ የቋሚነት ባህሪ ካለው, ከዚያም የመከሰቱ ዕድል ክበተወሰነ ጊዜ ውስጥ ክስተቶች ቲላይ ብቻ የተመካ ተግባር አለ። ክእና ከ ቲ.

በጣም ቀላል በሆነው ፍሰት ውስጥ, ከፖይሰን ቀመር (6.10) የመሆኑ እድል ይከተላል. ክወቅት ክስተቶች ቲ, በተወሰነ ጥንካሬ, የሁለት ነጋሪ እሴቶች ተግባር ብቻ ነው. ክእና ቲ, የቋሚነት ባህሪን የሚያመለክት.

ምንም ጉዳት የሌለው ንብረት የለም።የመከሰት እድል ነው ክበማንኛውም ጊዜ ውስጥ ያሉ ክስተቶች የሚወሰኑት ከተጠቀሰው ጊዜ መጀመሪያ በፊት ባሉት ጊዜያት ክስተቶች በመታየታቸው ወይም ባለመከሰታቸው ላይ ነው። በሌላ አነጋገር የፍሰቱ ታሪክ በቅርብ ጊዜ ውስጥ የሚከሰቱ ክስተቶችን እድሎች አይጎዳውም.

በጣም ቀላል በሆነ ፍሰት ውስጥ ፣ የፖይሰን ቀመር (6.10) ከግምት ውስጥ ከገባበት ጊዜ በፊት ስለ ክስተቶች መከሰት መረጃን አይጠቀምም ፣ ይህም የኋለኛው ተፅእኖ አለመኖሩን ያሳያል።

ተራ ንብረትበአጭር ጊዜ ውስጥ ሁለት ወይም ከዚያ በላይ ክስተቶች መከሰት በተግባር የማይቻል ነው. በሌላ አነጋገር በአጭር ጊዜ ውስጥ ከአንድ በላይ ክስተቶች የመከሰታቸው ዕድል አንድ ክስተት ብቻ ከመከሰቱ ጋር ሲነጻጸር እዚህ ግባ የሚባል አይደለም።

የ Poisson ቀመር (6.10) የመደበኛነት ንብረትን እንደሚያንጸባርቅ እናሳይ። በማስቀመጥ ላይ ክ=0 እና ክ=1፣ እንደቅደም ተከተላቸው፣ ምንም አይነት ክስተቶች ያለመከሰታቸው እና የአንድ ክስተት መከሰት እድሎችን እናገኛለን፡-

ስለዚህ, ከአንድ በላይ ክስተት የመከሰቱ ዕድል

በ Maclaurin ተከታታይ ውስጥ የተግባር መስፋፋትን በመጠቀም, ከአንደኛ ደረጃ ለውጦች በኋላ እናገኛለን

.

ማወዳደር ፒ ቲ(1) እና ፒ ቲ(ክ> 1) ፣ ለአነስተኛ እሴቶች ብለን መደምደም እንችላለን ቲየመደበኛነት ንብረትን ከሚያመለክት አንድ ክስተት የመከሰት እድል ጋር ሲነፃፀር ከአንድ በላይ ክስተቶች የመከሰቱ ዕድል እዚህ ግባ የሚባል አይደለም።

ምሳሌ 6.2.ራዘርፎርድ እና ጋይገር በ 7.5 ጊዜ ውስጥ ራዲዮአክቲቭ ንጥረ ነገር በተደረጉ ምልከታዎች ውስጥ ሰከንድበአማካይ 3.87 a-particles ወጣ። ለ 1 ያለውን ዕድል ይፈልጉ ሰከንድይህ ንጥረ ነገር ቢያንስ አንድ ክፍል ይወጣል.

መፍትሄ። ቀደም ብለን እንደገለጽነው, በሬዲዮአክቲቭ ምንጭ የሚለቀቁትን የ a-particles ብዛት በተወሰነ ጊዜ ውስጥ ማሰራጨት በፖይሰን ቀመር ይገለጻል, ማለትም. በጣም ቀላል የሆነውን የክስተቶች ፍሰት ይመሰርታል. የ a-particles ልቀት መጠን ለ 1 ሰከንድእኩል ነው።

,

ከዚያም የ Poisson ቀመር (6.10) ቅጹን ይወስዳል

ስለዚህ, የመሆን እድሉ ቲ=1 ሰከንድንጥረ ነገሩ ቢያንስ አንድ ቅንጣት እኩል ይሆናል።

የጂኦሜትሪክ ስርጭት

እስከ መጀመሪያው መምታት ድረስ እና የመተኮሱ እድል በተወሰነው ኢላማ ላይ ይተኩስ ገጽበእያንዳንዱ ሾት ውስጥ ዒላማውን መምታት ተመሳሳይ ነው እና በቀደሙት ጥይቶች ውጤቶች ላይ የተመካ አይደለም. በሌላ አነጋገር, ከግምት ውስጥ ባለው ሙከራ ውስጥ, የቤርኖሊ እቅድ ተግባራዊ ይሆናል. እንደ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X የተተኮሱትን የተኩስ ብዛት እንመለከታለን። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ተፈጥሯዊ ቁጥሮች ናቸው። x 1 =1, x 2 =2, ... ከዚያም የሚያስፈልገው የመሆኑ እድል ክጥይቶች እኩል ይሆናሉ

. (6.11)

በዚህ ቀመር ግምት ውስጥ ክ=1,2, ... ከመጀመሪያው ቃል ጋር የጂኦሜትሪክ እድገት እናገኛለን ገጽእና ማባዣ ቅ:

በዚህ ምክንያት, በቀመር (6.11) የተገለጸው ስርጭት ይባላል ጂኦሜትሪክ .

ያለገደብ እየቀነሰ ላለው የጂኦሜትሪክ እድገት ድምር ቀመር በመጠቀም ያንን ማረጋገጥ ቀላል ነው።

.

የጂኦሜትሪክ ስርጭትን የቁጥር ባህሪያትን እንፈልግ.

ለ DSV በሒሳብ የሚጠበቀው ፍቺ፣ አለን።

.

ቀመሩን በመጠቀም ልዩነቱን እናሰላው።

.

ለዚህም እናገኛለን

.

ስለዚህም እ.ኤ.አ.

.

ስለዚህ, የጂኦሜትሪክ ስርጭቱ የሂሳብ ጥበቃ እና ልዩነት እኩል ነው

. (6.12)

6.4. * የማመንጨት ተግባር

ከ DSV ጋር የተያያዙ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ, የማጣመጃ ዘዴዎች ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ. በጣም ከተሻሻሉ የንድፈ ሃሳባዊ ዘዴዎች ጥምር ትንተና አንዱ ተግባራትን የማመንጨት ዘዴ ነው, ይህም በመተግበሪያዎች ውስጥ በጣም ኃይለኛ ከሆኑ ዘዴዎች አንዱ ነው. እሱን ባጭሩ እናውቀው።

የዘፈቀደ ተለዋዋጭ x አሉታዊ ያልሆኑ የኢንቲጀር እሴቶችን ብቻ ከወሰደ፣ ማለትም.

,

ያ የማመንጨት ተግባር የዘፈቀደ ተለዋዋጭ x ፕሮባቢሊቲ ስርጭት ተግባር ይባላል

, (6.13)

የት ዝ- እውነተኛ ወይም ውስብስብ ተለዋዋጭ. አስታውስ አትርሳ በበርካታ የማመንጨት ተግባራት መካከልጄ x ( x)እና ብዙ ስርጭቶች(ፒ(x= ክ)} የአንድ ለአንድ ደብዳቤ አለ.

የዘፈቀደ ተለዋዋጭ x ይኑረው ሁለትዮሽ ስርጭት

.

ከዚያም, የኒውተንን ሁለትዮሽ ቀመር በመጠቀም, እናገኛለን

,

እነዚያ። የሁለትዮሽ ስርጭት የማመንጨት ተግባር መምሰል

. (6.14)

መደመር። መርዝ የማመንጨት ተግባር

መምሰል

. (6.15)

የጂኦሜትሪክ ስርጭት ተግባር ማመንጨት

መምሰል

. (6.16)

የማመንጨት ተግባራትን በመጠቀም, የ DSV ዋና አሃዛዊ ባህሪያትን ለማግኘት ምቹ ነው. ለምሳሌ፣የመጀመሪያዎቹ እና የሁለተኛው የመጀመሪያ አፍታዎች ከማመንጨት ተግባር ጋር በሚከተሉት እኩልነቶች ይዛመዳሉ።

, (6.17)

. (6.18)

ተግባራትን የማመንጨት ዘዴ ብዙውን ጊዜ ምቹ ነው ምክንያቱም በአንዳንድ ሁኔታዎች የ DSV ስርጭት ተግባር ለመወሰን በጣም አስቸጋሪ ነው, የማመንጨት ተግባሩ አንዳንድ ጊዜ ለማግኘት ቀላል ነው. ለምሳሌ፣ የቤርኑሊ ተከታታይ ገለልተኛ የሙከራ ንድፍን አስቡበት፣ ግን አንድ ለውጥ ያድርጉት። የአንድ ክስተት ዕድል ይከሰት ሀከሙከራ ወደ ፍርድ ይለያያል። ይህ ማለት የቤርኑሊ ቀመር ለእንደዚህ ዓይነቱ እቅድ የማይተገበር ይሆናል ማለት ነው። በዚህ ጉዳይ ላይ የማከፋፈያ ተግባሩን የማግኘት ተግባር ጉልህ የሆኑ ችግሮችን ያቀርባል. ነገር ግን, ለዚህ እቅድ, የማመንጨት ተግባሩን ለማግኘት ቀላል ነው, እና, ስለዚህ, ተጓዳኝ የቁጥር ባህሪያት በቀላሉ ማግኘት ቀላል ነው.

የማመንጨት ተግባራት በስፋት ጥቅም ላይ የዋለው የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ጥናት በተመጣጣኝ የማመንጨት ተግባራት ምርቶች ጥናት ሊተካ ይችላል በሚለው እውነታ ላይ ነው. ስለዚህ፣ x 1፣ x 2፣…፣ x ከሆነ nገለልተኛ ናቸው, እንግዲህ

ፍቀድ p k=ፒኬ(ሀ) - የ "ስኬት" ዕድል ክ- ኛ ፈተና በበርኑሊ ወረዳ (በቅደም ተከተል ፣ q k=1–p k- የ "ውድቀት" ዕድል ክኛ ፈተና) ከዚያም በቀመር (6.19) መሠረት የማመንጨት ተግባር ቅጹ ይኖረዋል

. (6.20)

ይህንን የማመንጨት ተግባር በመጠቀም, መጻፍ እንችላለን

.

እዚህ ግምት ውስጥ ይገባል p k +q k=1. አሁን, ቀመር (6.1) በመጠቀም, ሁለተኛውን የመጀመሪያ ጊዜ እናገኛለን. ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ እንሰላለን

እና .

በልዩ ሁኔታ ገጽ 1 =ገጽ 2 =…=p n=ገጽ(ማለትም በሁለትዮሽ ስርጭት ውስጥ) ከተገኙት ቀመሮች ውስጥ Mx = n.p.፣ Dx= npq.

እነዚያ። discrete በዘፈቀደ የ X ዋጋ ጂኦም አለው. አከፋፋይ ከመለኪያ ጋር አርእና አካታች ቅዋጋዎችን የሚወስድ ከሆነ 1,2,3,… ክ፣... ከሁኔታዎች ጋር

P (X) = pq k-1, የት ቅ=1-አር.

ስርጭቱ ጂኦም ተብሎ ይጠራል, ምክንያቱም. እውነትነት ገጽ 1፣ ገጽ 2፣...የጂኦሜትሪክ እድገትን ይመሰርታሉ, የመጀመሪያው አባል ነው አር, እና መለያው ነው ቅ.

የፈተናዎች ብዛት ካልተገደበ, ማለትም. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶችን 1 ፣ 2 ፣ ... ፣ ∞ መውሰድ ከቻለ የሚጠበቀው እሴት እና ልዩነት ጂኦሜትሪክ ነው። ማከፋፈያዎች ቀመሮችን Mх = 1/p, Dх = q/p 2 በመጠቀም ማግኘት ይቻላል

ለምሳሌ. ሽጉጡ የመጀመሪያው ጥቃት እስኪደርስ ድረስ በዒላማው ላይ ይቃጠላል. ዒላማውን የመምታት እድሉ በእያንዳንዱ ጥይት p = 0.6 ነው. ኤስ.ቪ. X ከመጀመሪያው መምታት በፊት ሊሆኑ የሚችሉ የተኩስ ብዛት ነው።

ሀ) የስርጭት ተከታታዮችን ያሰባስቡ, የስርጭት ተግባሩን ይፈልጉ, ግራፉን ይገንቡ እና ሁሉንም የቁጥር ባህሪያት ያግኙ. ለ) ተኳሹ ከሶስት ጥይቶች ያልበለጡ ጥይቶችን ለመተኮስ ካሰበ ለጉዳዩ ያለውን የሂሳብ ጥበቃ እና ልዩነት ይፈልጉ።

ሀ)የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶችን 1 ፣ 2 ፣ 3 ፣ 4 ፣... ፣ ∞ ሊወስድ ይችላል።
P (1) = p = 0.6
P (2) = qp = 0.4 0.6 = 0.24
P(3) = q 2 p = 0.4 2 0.6 = 0.096 ...
P (k) = q k-1 p = 0.4 k-1 0.6 ...
የስርጭት ክልል፡

መቆጣጠሪያ፡ Σp i = 0.6/(1-0.4) = 1 (የጂኦሜትሪክ እድገት ድምር)

የማከፋፈያው ተግባር የ r.v. X ከተወሰነው የቁጥር እሴት ያነሰ ዋጋ ይወስዳል። የስርጭት ተግባር እሴቶቹ የሚገኙት እድሎችን በማጠቃለል ነው።

x ≤ 1 ከሆነ፣ ከዚያ F(x) = 0

ከሆነ 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
ከሆነ 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
ከሆነ 3< x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ...
k-1 ከሆነ< x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 k-1)/(1-0,4) = 1-0,4 k-1 (частичная сумма геом-ой прогрессии) ...

Mх = 1 / p = 1/0.6 ≈ 1.667
Dх = q/p 2 = 0.4/0.36 ≈ 1.111
σ = √Dх ≈ 1.054

ለ)የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶችን 1 ፣ 2 ፣ 3 ሊወስድ ይችላል።
P (1) = p = 0.6
P (2) = qp = 0.4 0.6 = 0.24
P(3) = q 2 p +q 3 = 0.4 2 0.6 + 0.4 3 = 0.16
የስርጭት ክልል፡

መቆጣጠሪያ፡ Σp i = 0.6 + 0.24 + 0.16 = 1
የስርጭት ተግባር.

x ≤ 1 ከሆነ፣ ከዚያ F(x) = 0
ከሆነ 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
ከሆነ 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
x > 3 ከሆነ፣ ከዚያ F(x) = 0.84 + 0.16 = 1
ኤም (ኤክስ) = 1 0.6 + 2 0.24 + 3 0.16 = 1.56
መ (ኤክስ) = 1 2 0.6 + 2 2 0.24 + 3 2 0.16 - 1.56 2 = 0.5664
σ (Х) ≈ 0.752

ስኩዊድ እና kurtosis

Asymmetry የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭትን አለመመጣጠን የሚገልጽ የናሙና ስርጭት ንብረት ነው። በተግባራዊ ሁኔታ, የሲሜትሪክ ስርጭቶች እምብዛም አይደሉም, እና የአሲሜትሪነት ደረጃን ለመለየት እና ለመገምገም, የአሲሜትሪ ጽንሰ-ሐሳብ ቀርቧል. በአሉታዊው asymmetry coefficient, በግራ በኩል ረጋ ያለ "መውረድ" ይታያል, አለበለዚያ - በቀኝ በኩል. በመጀመሪያው ሁኔታ, asymmetry በግራ በኩል ይባላል, እና በሁለተኛው - በቀኝ በኩል.

Asymmetry Coefficient የተለየየዘፈቀደ ተለዋዋጭ ቀመርን በመጠቀም ይሰላል፡-
እንደ (X) = (x 1-ኤም X) 3 ገጽ 1 + (x 2 - ኤም X) 3 ገጽ 2 + ... + ( x n-M X) 3 ፒ

ኮፍ ተመጣጣኝ ያልሆነ ቀጣይነት ያለው sl.vel. በቀመርው ይሰላል፡-

ከመጠን በላይ የስርጭት ጥምዝ ቁልቁል መለኪያ ነው. የዲስክሪት የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የ kurtosis ጥምርታ ቀመርን በመጠቀም ይሰላል፡-

Ex(X) = [(x 1 - M X) 4 p 1 + (x 2 - M X) 4 p 2 + ... + (x n - M X) 4 p n ] / σ 4 - 3

ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የ kurtosis ጥምርታ ቀመርን በመጠቀም ይሰላል፡-

ለምሳሌ.

የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ስርጭት ህግ የሚቀጥለው ተለዋዋጭ ሊሆኑ የሚችሉ ሁሉም እሴቶች ዝርዝር ነው። ሊቀበለው የሚችለው X, እና ተጓዳኝ እድሎች. የሁሉም እምነቶች ድምር እኩል መሆን አለበት 1. ቼክ፡ 0.1 + 0.2 + 0.5 + 0.1 + 0.1 = 1.

1. የሚጠበቀው ዋጋ: M (X) = -2 0.1 - 1 0.2 + 0 0.5 + 1 0.1 + 2 0.1 = -0.1
2. መበታተንየሚቀጥለው vel እሴት የካሬ መዛባት የሂሳብ መጠበቅ ነው። X ከእሷ mat.ozh.: D (X) = (-2 + 0.1) 2 0.1 + (- 1 + 0.1) 2 0.2 + (0 + 0.1) 2 0.5 + (1 + 0.1) 2 0.1 + (2 + 0.1) 2 0.1 = 1.09
   ወይም D (X) = (-2) 2 0.1 + (-1) 2 0.2 + 0 2 0.5 + 1 2 0.1 + 2 2 0.1 - (-0,1) 2 = 1.1 - 0.01 = 1.09
3. ረቡዕ ካሬ. ጠፍቷልየልዩነቱ ካሬ ሥር ነው፡ σ = √1.09 ≈ 1.044
4. ኮፍ. ተመጣጣኝ ያልሆነእንደ (X) = [(-2 + 0.1) 3 0.1 + (- 1 + 0.1) 3 0.2 + (0 + 0.1) 3 0.5 + (1 + 0.1) 3 0.1 + (2 + 0.1) 3 0.1] / 1.044 3 = 0.200353
5. ኮፍ. ከመጠን በላይኢ x(X) = [(-2 + 0.1) 4 0.1 + (- 1 + 0.1) 4 0.2 + (0 + 0.1) 4 0.5 + (1 + 0,1) 4 ·0.1 + (2 + 0.1) 4 · 0.1 ]/1.044 4 - 3 = 0.200353
6. የማከፋፈያው ተግባር የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ከአንዳንድ የቁጥር እሴት ያነሰ ዋጋ የመውሰድ እድሉ ነው። x: F(X) = P(X< x). የማከፋፈያው ተግባር የማይቀንስ ተግባር ነው. ከ 0 እስከ 1 ባለው ክልል ውስጥ እሴቶችን ይወስዳል።

ፒ (ኤክስ< -0,1) = F(-0,1) = 0,3 P(X >-0.05) = P (0) + P (1) + P (2) = 0.5 + 0.1 + 0.1 = 0.7

2) ተከታታይ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች። መደበኛ ስርጭት.

የቀጠለየዘፈቀደ ተለዋዋጭ ምንም ልዩ የቁጥር እሴቶችን አይወስድም ፣ ግን በቁጥር ልዩነት ላይ ያሉ ማንኛውንም እሴቶች። ቀጣይነት ባለው ጉዳይ ላይ ያለው የስርጭት ህግ መግለጫ ከተለየ ጉዳይ ይልቅ በጣም የተወሳሰበ ነው.

የቀጠለከተወሰነ የጊዜ ክፍተት ማንኛውንም ዋጋ ሊወስድ የሚችል የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ይባላል፣ ለምሳሌ የመጓጓዣ ጊዜን መጠበቅ፣ በማንኛውም ወር ውስጥ ያለው የአየር ሙቀት፣ የአንድ ክፍል ትክክለኛ መጠን ከስም ልዩነት ወዘተ. የተቀመጠው የጊዜ ክፍተት በአንድ ወይም በሁለቱም አቅጣጫዎች ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል.

ለተለዩ እና ተከታታይ ጉዳዮች እድሎችን ለማስላት በችግሮች ውስጥ ያለው ዋነኛው ልዩነት እንደሚከተለው ነው ። በተለየ ሁኔታእንደ ክስተቶች x = ሐ(የነሲብ ተለዋዋጭው የተወሰነ እሴት ይወስዳል) ዕድሉ ይፈለጋል አር(ጋር). ቀጣይነት ባለው ሁኔታየዚህ ዓይነቱ ዕድል ከዜሮ ጋር እኩል ናቸውስለዚህ “የነሲብ ተለዋዋጭ ከተወሰነ ክፍል እሴቶችን ይወስዳል” ዓይነት ክስተቶች የመከሰቱ ዕድል ትኩረት የሚስብ ነው ፣ ማለትም። ሀ≤ X≤ ለ. ወይም ለመሳሰሉት ዝግጅቶች X≤ ጋርዕድልን መፈለግ አር(X≤ ጋር). የስርጭት ተግባሩን ግራፍ አግኝተናል F ( X≤ ጋር).

ስለዚህ, የተለያዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች በጣም ትልቅ ናቸው. የሚቀበሉት የእሴቶች ብዛት ውሱን፣ ሊቆጠር የሚችል ወይም የማይቆጠር ሊሆን ይችላል፤ እሴቶቹ ተለይተው ሊቀመጡ ወይም ክፍተቶችን ሙሉ በሙሉ መሙላት ይችላሉ። በተፈጥሮ ውስጥ በጣም የተለያዩ የሆኑትን የዘፈቀደ ተለዋዋጮች እሴቶችን እድሎች ለመግለጽ እና በተጨማሪም ፣ በተመሳሳይ መንገድ እነሱን ለመጥቀስ ፣ ጽንሰ-ሀሳቡ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ተግባር.

የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ይሁን እና X- የዘፈቀደ እውነተኛ ቁጥር። ያነሰ ዋጋ የሚወስድበት ዕድል ኤክስ፣ተብሎ ይጠራል ፕሮባቢሊቲ ማከፋፈያ ተግባርየዘፈቀደ ተለዋዋጭ: ረ(x)= ፒ(<х}.

የተባለውን እናጠቃልለው፡- የዘፈቀደ ተለዋዋጭእሴቱ በጉዳዩ ላይ የሚመረኮዝ እና የእድላቸው ስርጭት ተግባር የሚገለጽበት መጠን ነው።

ለቀጣይ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች (የነሲብ ተለዋዋጭ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ስብስብ የማይቆጠር ከሆነ) የስርጭት ህጉ ተግባርን በመጠቀም ይገለጻል። ብዙውን ጊዜ ይህ የስርጭት ተግባር :ኤፍ( x= ፒ (ኤክስ<X) .

ተግባር ረ( x) የሚከተለው አለው። ንብረቶች:

1. 0 ≤ ረ( x) ≤ 1 ;

2.ኤፍ( x) አይቀንስም;

3.ኤፍ( x) ቀጣይነት ያለው ግራ;

4.ኤፍ (- ∞ ) = 0፣ ረ( ∞ ) = 1.