የትምህርት ተቋም "ቤላሩስ ግዛት
የግብርና አካዳሚ"
የከፍተኛ የሂሳብ ክፍል
መመሪያዎች
“የዘፈቀደ ተለዋዋጮች” የሚለውን ርዕስ ለማጥናት በሂሳብ አያያዝ ፋኩልቲ ለተዛማጅ ትምህርት (NISPO) ተማሪዎች።
ጎርኪ ፣ 2013
የዘፈቀደ ተለዋዋጮች
ግልጽ እና ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጮች
በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ካሉት ዋና ፅንሰ-ሀሳቦች አንዱ ጽንሰ-ሐሳብ ነው። የዘፈቀደ ተለዋዋጭ . የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በሙከራ ምክንያት ከብዙ እሴቶቹ ውስጥ አንዱን ብቻ የሚወስድ እና የትኛው እንደሆነ አስቀድሞ አይታወቅም።
የዘፈቀደ ተለዋዋጮች አሉ። የተለየ እና ቀጣይነት ያለው . የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ (DRV) አንዳቸው ከሌላው ተለይተው የተወሰኑ እሴቶችን ሊወስድ የሚችል የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ነው ፣ ማለትም የዚህ መጠን ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች እንደገና ሊሰሉ የሚችሉ ከሆነ። ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ (CNV) የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ነው ፣ ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች የቁጥር መስመርን የተወሰነ ክፍተት ሙሉ በሙሉ ይሞላሉ።
የዘፈቀደ ተለዋዋጮች በላቲን ፊደል X፣ Y፣ Z፣ ወዘተ በካፒታል ፊደላት ይገለፃሉ። የነሲብ ተለዋዋጮች ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች በተዛማጅ ትናንሽ ፊደላት ይጠቁማሉ።
መዝገብ 
"የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የመሆን እድሉ" ማለት ነው። Xከ 0.28 ጋር እኩል የሆነ 5 ዋጋ ይወስዳል።
ምሳሌ 1 . ዳይቹ አንድ ጊዜ ይጣላሉ. በዚህ ሁኔታ, ከ 1 እስከ 6 ያሉት ቁጥሮች ሊታዩ ይችላሉ, ይህም የነጥቦችን ብዛት ያመለክታሉ. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እንጥቀስ X=(የተጠቀለሉ ነጥቦች ብዛት)። በፈተናው የተነሳ ይህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከስድስት እሴቶች አንዱን ብቻ ሊወስድ ይችላል፡ 1፣ 2፣ 3፣ 4፣ 5 ወይም 6. ስለዚህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X DSV አለ።
ምሳሌ 2 . ድንጋይ ሲወረወር የተወሰነ ርቀት ይጓዛል። የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እንጥቀስ X=(የድንጋይ በረራ ርቀት)። ይህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከተወሰነ የጊዜ ክፍተት ማንኛውንም፣ ግን አንድ ብቻ ዋጋ ሊወስድ ይችላል። ስለዚህ, የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X NSV አለ።
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ህግ
የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሊወስዳቸው በሚችላቸው እሴቶች እና እነዚህ እሴቶች በተወሰዱባቸው እድሎች ይታወቃል። በነሲብ ተለዋዋጭ ሊሆኑ በሚችሉ እሴቶች እና በተመጣጣኝ እድላቸው መካከል ያለው ግንኙነት ይባላል የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ህግ .
ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች የሚታወቁ ከሆነ 
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xእና ሊሆን ይችላል 
የእነዚህ እሴቶች ገጽታ, ከዚያም የ DSV ስርጭት ህግ እንደሆነ ይታመናል Xየሚታወቅ ሲሆን በሰንጠረዥ መልክ ሊጻፍ ይችላል፡-
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ነጥቦቹ በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ ከተገለጹ የ DSV ስርጭት ህግ በግራፊክ ሊገለጽ ይችላል 
,
,
…,
እና ከቀጥታ መስመር ክፍሎች ጋር ያገናኙዋቸው. የተገኘው ምስል ማከፋፈያ ፖሊጎን ይባላል.
ምሳሌ 3 . ለማጽዳት የታሰበ እህል 10% አረም ይዟል. 4 ጥራጥሬዎች በዘፈቀደ ተመርጠዋል. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እንጥቀስ X=(ከተመረጡት አራት መካከል የአረም ብዛት)። የ DSV ስርጭት ህግን ይገንቡ Xእና ማከፋፈያ ፖሊጎን.
መፍትሄ . እንደ ምሳሌ ሁኔታዎች. ከዚያም፡-
የ DSV X ስርጭት ህግን በሠንጠረዥ መልክ እንጽፍ እና የማከፋፈያ ፖሊጎን እንገንባ፡-
|
|
የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ መጠበቅ
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በጣም አስፈላጊ ባህሪዎች በባህሪያቱ ተገልጸዋል። ከእነዚህ ባህሪያት ውስጥ አንዱ ነው የሚጠበቀው ዋጋ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ.
የ DSV ስርጭት ህግ ይታወቅ X:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
የሂሳብ መጠበቅ
ዲኤስቪ Xየዚህ መጠን የእያንዳንዱ እሴት ምርቶች ድምር እና ተመጣጣኝ ዕድል ነው፡ 
.
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሒሳብ ጥበቃ ከሁሉም እሴቶቹ የሂሳብ አማካኝ ጋር በግምት እኩል ነው። ስለዚህ, በተግባራዊ ችግሮች, የዚህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ አማካኝ ዋጋ ብዙውን ጊዜ እንደ ሒሳባዊ ጥበቃ ይወሰዳል.
ለምሳሌ 8 . ተኳሹ 0.1፣ 0.45፣ 0.3 እና 0.15 የመሆን እድሉ 4፣ 8፣ 9 እና 10 ነጥብ አስመዝግቧል። በአንድ ምት የነጥቦችን ብዛት ሒሳባዊ ጥበቃ ያግኙ።
መፍትሄ . የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እንጥቀስ X=(የተቆጠሩት ነጥቦች ብዛት)። ከዚያም. ስለዚህ በአንድ ምት የሚጠበቀው አማካይ የነጥብ ብዛት 8.2 እና በ10 ምቶች - 82 ነው።
ዋና ንብረቶች የሂሳብ ጥበቃዎች የሚከተሉት ናቸው
.
.
፣ የት 
,
.
.
፣ የት Xእና ዋይገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ናቸው።
ልዩነት 
ተብሎ ይጠራል መዛባት
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xከሂሳብ ጥበቃው. ይህ ልዩነት በዘፈቀደ ተለዋዋጭ ነው እና የሂሳብ ጥበቃው ዜሮ ነው, ማለትም. 
.
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት
የዘፈቀደ ተለዋዋጭን ለመለየት፣ ከሒሳብ ጥበቃው በተጨማሪ፣ እኛም እንጠቀማለን። መበታተን , ይህም በሒሳብ በሚጠብቀው ዙሪያ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች መበታተን (መስፋፋት) ለመገመት ያስችላል. ሁለት ተመሳሳይ የሆኑ የዘፈቀደ ተለዋዋጮችን ከእኩል ሒሳባዊ ጥበቃዎች ጋር ሲያወዳድሩ፣ “ምርጥ” እሴት ያነሰ ስርጭት ያለው እንደሆነ ይቆጠራል፣ ማለትም ያነሰ መበታተን.
ልዩነት የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xተብሎ የሚጠራው ከሒሳቡ ከሚጠበቀው የካሬው መዛባት የሒሳብ ጥበቃ፡.
በተግባራዊ ችግሮች ውስጥ, ልዩነቱን ለማስላት ተመጣጣኝ ቀመር ጥቅም ላይ ይውላል.
የስርጭቱ ዋና ባህሪዎች-
.
Xበአቅም ማከፋፈያ ህግ ተሰጥቷል፡ ከዚያም መደበኛ ዳይሬሽኑ ከ ... 0.80 ጋር እኩል ነው።
መፍትሄ፡-
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X መደበኛ መዛባት እንደ ይገለጻል። 
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ የሚችልበት፣ ከዚያም እና 
መፍትሄ፡-
ሀ(በነሲብ የተሳለ ኳስ ጥቁር ነው) አጠቃላይ የይሁንታ ቀመር እንተገብራለን፡- ነጭ ኳስ ከመጀመሪያው ሽንት ወደ ሁለተኛው ሽንት የመሸጋገሩ እድል እዚህ አለ፤ - አንድ ጥቁር ኳስ ከመጀመሪያው ኡርን ወደ ሁለተኛው ሽክርክሪት የመተላለፉ ዕድል; - ነጭ ኳስ ከመጀመሪያው ሽንት ወደ ሁለተኛው ከተንቀሳቀሰ የተሳለው ኳስ ጥቁር የመሆኑ ሁኔታዊ ዕድል; - አንድ ጥቁር ኳስ ከመጀመሪያው ኡር ወደ ሁለተኛው ከተንቀሳቀሰ የተሳለው ኳስ ጥቁር የመሆኑ ሁኔታዊ ዕድል።
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X በአቅም ማከፋፈያ ህግ ተሰጥቷል፡ ከዚያም እድሉ 
እኩል...
መፍትሄ፡-
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል። ከዚያም
ወይም. የመጨረሻውን እኩልታ መፍታት, ሁለት ሥሮችን እናገኛለን እና
ርዕስ፡ የመሆን እድልን መወሰን
በ12 ክፍሎች ስብስብ ውስጥ 5 ጉድለት ያለባቸው ክፍሎች አሉ። ሶስት ክፍሎች በዘፈቀደ ተመርጠዋል. ከዚያ ከተመረጡት ክፍሎች መካከል ምንም ተስማሚ ክፍሎች የሌሉበት ዕድል እኩል ነው ...
መፍትሄ፡-
ክስተት A ለማስላት (ከተመረጡት ክፍሎች መካከል ምንም ተስማሚ ክፍሎች የሉም), ቀመሩን የት እንጠቀማለን n ኤም- ለዝግጅቱ ክስተት ተስማሚ የሆኑ የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ብዛት ሀ.በእኛ ሁኔታ, ሊሆኑ የሚችሉ የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ጠቅላላ ቁጥር ከ 12 ቱ ውስጥ ሶስት ዝርዝሮችን ማውጣት የሚቻልባቸው መንገዶች ቁጥር ጋር እኩል ነው, ማለትም.
እና አጠቃላይ ምቹ ውጤቶች ሦስት የተበላሹ ክፍሎች ከአምስት ሊወጡ የሚችሉባቸው መንገዶች ቁጥር ጋር እኩል ነው። 
ባንኩ ከሁሉም ብድሮች 44% ለህጋዊ አካላት እና 56% ለግለሰቦች ይሰጣል. ህጋዊ አካል ብድሩን በወቅቱ የማይከፍልበት ዕድል 0.2; እና ለአንድ ግለሰብ ይህ ዕድል 0.1 ነው. ከዚያም የሚቀጥለው ብድር በጊዜው የመክፈል እድሉ...
| 0,856 |
መፍትሄ፡-
የአንድን ክስተት ዕድል ለማስላት ሀ(የተሰጠው ብድር በሰዓቱ ይከፈላል) ጠቅላላውን የይሁንታ ቀመር ይተግብሩ፡. ብድሩ ለህጋዊ አካል የተሰጠበት ዕድል እዚህ አለ; - ብድሩ ለአንድ ግለሰብ የተሰጠበት ዕድል; - ለህጋዊ አካል የተሰጠ ከሆነ ብድሩ በወቅቱ የሚከፈልበት ሁኔታዊ ሁኔታ; - ብድሩ ለግለሰብ ከተሰጠ በወቅቱ የሚከፈልበት ሁኔታዊ ዕድል. ከዚያም 
ርዕስ፡ የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የእድላቸው ስርጭት ህጎች
ለተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X 
| 0,655 |
ርዕስ፡ የመሆን እድልን መወሰን
ዳይ ሁለት ጊዜ ይንከባለል. ከዚያም የተጠቀለሉት ነጥቦች ድምር ከዘጠኝ ያላነሰ የመሆን እድሉ...
መፍትሄ፡-
ክስተቱን ለማስላት (የተጠቀለሉት ነጥቦች ድምር ቢያንስ ዘጠኝ ይሆናሉ) ቀመርን እንጠቀማለን , የፈተናው አጠቃላይ የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ብዛት የት ነው, እና ኤም- ለዝግጅቱ ክስተት ተስማሚ የሆኑ የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ብዛት ሀ. በእኛ ሁኔታ ይቻላል 
የአንደኛ ደረጃ የፈተና ውጤቶች፣ ከእነዚህም ውስጥ ጥሩዎቹ የቅጹ ውጤቶች፣፣፣፣፣፣፣፣ እና፣ ማለትም። ስለዚህም እ.ኤ.አ. 
ርዕስ፡ የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የእድላቸው ስርጭት ህጎች
የፕሮባቢሊቲ ስርጭት ተግባር ቅጹ አለው፡- 
ከዚያ የመለኪያው ዋጋ እኩል ሊሆን ይችላል ...
| 0,7 | |||
| 0,85 | |||
| 0,6 |
መፍትሄ፡-
A-priory 
. ስለዚህ እና. እነዚህ ሁኔታዎች ረክተዋል, ለምሳሌ, በእሴቱ
ርዕስ፡ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቁጥራዊ ባህሪያት
ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በአዋጭነት ስርጭት ተግባር ይገለጻል፡ 
ከዚያ ልዩነቱ...
መፍትሄ፡-
ይህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በጊዜ ክፍተት ውስጥ ወጥ በሆነ መልኩ ይሰራጫል። ከዚያም የእሱ ልዩነት ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል 
. ያውና 
ርዕስ፡ ጠቅላላ ዕድል። ቤይስ ቀመሮች
የመጀመሪያው ሽንት 6 ጥቁር ኳሶች እና 4 ነጭ ኳሶች ይዟል. ሁለተኛው ሽንት 2 ነጭ እና 8 ጥቁር ኳሶችን ይዟል. አንድ ኳስ ከአጋጣሚ ሽንት ተወስዷል፣ እሱም ነጭ ሆኖ ተገኘ። ከዚያ ይህ ኳስ ከመጀመሪያው ዑደቱ የመሳብ እድሉ…
መፍትሄ፡-
ሀ(በነሲብ የተሳለ ኳስ ነጭ ነው) በጠቅላላው የይሁንታ ቀመር፡. ኳሱ ከመጀመሪያው ኡርን የመሳብ እድሉ እዚህ አለ; ኳሱ ከሁለተኛው ኡርን የመሳብ እድሉ ነው; - የተሳለው ኳስ ከመጀመሪያው ሽንት ከተቀዳ ነጭ የመሆን ሁኔታዊ ዕድል; የተሳለው ኳስ ከሁለተኛው ኡር ከተሳለ ነጭ የመሆኑ ሁኔታዊ ዕድል ነው።
ከዚያም 
.
አሁን የባዬስ ቀመር በመጠቀም ይህ ኳስ ከመጀመሪያው ሽንቷ የተቀዳበትን ሁኔታዊ ሁኔታ እናሰላል። 
ርዕስ፡ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቁጥራዊ ባህሪያት
የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xበአቅም ማከፋፈያ ህግ ተሰጥቷል፡- 
ከዚያ ልዩነቱ...
| 7,56 | |||
| 3,2 | |||
| 3,36 | |||
| 6,0 |
መፍትሄ፡-
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል።
ርዕስ፡ የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የእድላቸው ስርጭት ህጎች
መፍትሄ፡-
A-priory . ከዚያም
ሀ) በ,,
ለ) በ,,
ሐ) በ,,
መ) በ,,
መ) በ ፣
ስለዚህም እ.ኤ.አ.
ርዕስ፡ የመሆን እድልን መወሰን
አንድ ነጥብ በዘፈቀደ ራዲየስ 4 ክበብ ውስጥ ይጣላል። ከዚያ ነጥቡ በክበቡ ውስጥ ከተፃፈው ካሬ ውጭ የመሆን እድሉ...
ርዕስ፡ የመሆን እድልን መወሰን
በ12 ክፍሎች ስብስብ ውስጥ 5 ጉድለት ያለባቸው ክፍሎች አሉ። ሶስት ክፍሎች በዘፈቀደ ተመርጠዋል. ከዚያ ከተመረጡት ክፍሎች መካከል ምንም የተበላሹ ክፍሎች የሌሉበት ዕድል እኩል ነው ...
መፍትሄ፡-
ክስተቱን ለማስላት (ከተመረጡት ክፍሎች መካከል ምንም የተበላሹ ክፍሎች የሉም), ቀመሩን እንጠቀማለን, የት nጠቅላላ ሊሆኑ የሚችሉ የአንደኛ ደረጃ ፈተና ውጤቶች እና ኤም- ለዝግጅቱ ክስተት ተስማሚ የሆኑ የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ብዛት። በእኛ ሁኔታ, አጠቃላይ ሊሆኑ የሚችሉ የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ከ 12 ቱ ውስጥ ሶስት ዝርዝሮችን ማውጣት ከሚችሉባቸው መንገዶች ቁጥር ጋር እኩል ነው, ማለትም. እና አጠቃላይ ምቹ ውጤቶች ሦስት ጉድለት የሌላቸው ክፍሎች ከሰባት ሊወጡ የሚችሉባቸው መንገዶች ቁጥር ጋር እኩል ነው። ስለዚህም እ.ኤ.አ. 
ርዕስ፡ ጠቅላላ ዕድል። ቤይስ ቀመሮች
| 0,57 | |||
| 0,43 | |||
| 0,55 | |||
| 0,53 |
መፍትሄ፡-
የአንድን ክስተት ዕድል ለማስላት ሀ
ከዚያም 
ርዕስ፡ የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የእድላቸው ስርጭት ህጎች
የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በፕሮባቢሊቲ ስርጭት ህግ ይገለጻል፡-
ከዚያም ዕድሉ 
እኩል...
መፍትሄ፡-
ቀመሩን እንጠቀም 
. ከዚያም 
ርዕስ፡ ጠቅላላ ዕድል። ቤይስ ቀመሮች
| 0,875 | |||
| 0,125 | |||
| 0,105 | |||
| 0,375 |
መፍትሄ፡-
መጀመሪያ የዝግጅቱን እድል እናሰላ ሀ 
.
.
ርዕስ፡ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቁጥራዊ ባህሪያት
ከዚያ የሂሳብ ጥበቃው…
መፍትሄ፡-
ቀመሩን እንጠቀም . ከዚያም .
ርዕስ፡ የመሆን እድልን መወሰን
መፍትሄ፡-
ርዕስ፡ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቁጥራዊ ባህሪያት
ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በአይነቱ ስርጭት ጥግግት ይገለጻል። 
. ከዚያም የሒሳብ ጥበቃ ሀእና የዚህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ መደበኛ መዛባት እኩል ነው ...
 |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
መፍትሄ፡-
በመደበኛነት የሚሰራጩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የመሆን እድሉ የስርጭት እፍጋት ቅጹ አለው። 
የት , . ለዛ ነው .
ርዕስ፡ የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የእድላቸው ስርጭት ህጎች
የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በፕሮባቢሊቲ ስርጭት ህግ ይገለጻል፡-
ከዚያም እሴቶቹ ሀእና ለእኩል ሊሆን ይችላል ...
 |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
መፍትሄ፡-
ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ድምር ከ 1 ጋር እኩል ስለሆነ። መልሱ ይህንን ሁኔታ ያሟላል- .
ርዕስ፡ የመሆን እድልን መወሰን
ራዲየስ 5 ትንሽ ክብ በራዲየስ ክበብ ውስጥ ይቀመጣል 8. ከዚያም በዘፈቀደ ወደ ትልቁ ክበብ ውስጥ የሚጣለው ነጥብ ወደ ትንሹ ክበብ ውስጥ የመውደቁ እድል...
መፍትሄ፡-
የተፈለገውን ክስተት ዕድል ለማስላት ቀመርን እንጠቀማለን, የትናንሽ ክብ ስፋት እና የትልቁ ክብ ቦታ ነው. ስለዚህም እ.ኤ.አ. .
ርዕስ፡ ጠቅላላ ዕድል። ቤይስ ቀመሮች
የመጀመሪያው ሽንት 3 ጥቁር ኳሶች እና 7 ነጭ ኳሶች ይዟል. ሁለተኛው ሽንት 4 ነጭ ኳሶች እና 5 ጥቁር ኳሶች ይዟል. አንድ ኳስ ከመጀመሪያው ኡር ወደ ሁለተኛው ተላልፏል. ከዚያ በዘፈቀደ ከሁለተኛው ዑርን የተሳለ ኳስ ነጭ የመሆን እድሉ...
| 0,47 | |||
| 0,55 | |||
| 0,35 | |||
| 0,50 |
መፍትሄ፡-
የአንድን ክስተት ዕድል ለማስላት ሀ(በነሲብ የተሳለ ኳስ ነጭ ነው) አጠቃላይ የይሁንታ ቀመር ይተግብሩ፡. አንድ ነጭ ኳስ ከመጀመሪያው ኡር ወደ ሁለተኛው የዝውውር እድል እዚህ አለ; - አንድ ጥቁር ኳስ ከመጀመሪያው ኡርን ወደ ሁለተኛው ሽክርክሪት የመተላለፉ ዕድል; - ነጭ ኳስ ከመጀመሪያው ሽንት ወደ ሁለተኛው ከተንቀሳቀሰ የተሳለው ኳስ ነጭ የመሆን ሁኔታዊ ዕድል; - አንድ ጥቁር ኳስ ከመጀመሪያው ኡር ወደ ሁለተኛው ከተንቀሳቀሰ የተሳለው ኳስ ነጭ የመሆኑ ሁኔታዊ ዕድል።
ከዚያም 
ርዕስ፡ የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የእድላቸው ስርጭት ህጎች
ለተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ፡-
የፕሮባቢሊቲ ስርጭት ተግባር ቅጹ አለው፡-
ከዚያ የመለኪያው ዋጋ እኩል ሊሆን ይችላል ...
| 0,7 | |||
| 0,85 | |||
| 0,6 |
TASK N 10 ስህተት ሪፖርት አድርግ
ርዕስ፡ ጠቅላላ ዕድል። ቤይስ ቀመሮች
ባንኩ ከሁሉም ብድሮች 70% ለህጋዊ አካላት እና 30% ለግለሰቦች ይሰጣል. ሕጋዊ አካል ብድሩን በወቅቱ የማይከፍልበት ዕድል 0.15; እና ለአንድ ግለሰብ ይህ ዕድል 0.05 ነው. ብድሩ እንዳልተመለሰ የሚያመለክት መልእክት ደረሰ። ከዚያም ሕጋዊው አካል ይህንን ብድር ያልከፈለበት ዕድል...
| 0,875 | |||
| 0,125 | |||
| 0,105 | |||
| 0,375 |
መፍትሄ፡-
መጀመሪያ የዝግጅቱን እድል እናሰላ ሀ(የተሰጠ ብድር በጊዜ አይከፈልም) በጠቅላላው የይሁንታ ቀመር፡. ብድሩ ለህጋዊ አካል የተሰጠበት ዕድል እዚህ አለ; - ብድሩ ለአንድ ግለሰብ የተሰጠበት ዕድል; - ለህጋዊ አካል ከተሰጠ ብድሩ በወቅቱ የማይመለስበት ሁኔታዊ ዕድል; - ለግለሰብ የተሰጠ ከሆነ ብድሩ በወቅቱ የማይመለስበት ሁኔታዊ ዕድል። ከዚያም .
አሁን የቤይስ ቀመርን በመጠቀም ይህ ብድር በህጋዊ አካል ያልተከፈለበትን ሁኔታዊ ሁኔታ እናሰላል። .
TASK N 11 ስህተት ሪፖርት አድርግ
ርዕስ፡ የመሆን እድልን መወሰን
በ12 ክፍሎች ስብስብ ውስጥ 5 ጉድለት ያለባቸው ክፍሎች አሉ። ሶስት ክፍሎች በዘፈቀደ ተመርጠዋል. ከዚያ ከተመረጡት ክፍሎች መካከል ምንም ተስማሚ ክፍሎች የሌሉበት ዕድል እኩል ነው ...
መፍትሄ፡-
ክስተቱን ለማስላት (ከተመረጡት ክፍሎች መካከል ምንም ተስማሚ ክፍሎች የሉም), ቀመሩን እንጠቀማለን, የት nጠቅላላ ሊሆኑ የሚችሉ የአንደኛ ደረጃ ፈተና ውጤቶች እና ኤም- ለዝግጅቱ ክስተት ተስማሚ የሆኑ የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ብዛት። በእኛ ሁኔታ, አጠቃላይ ሊሆኑ የሚችሉ የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ከ 12 ቱ ውስጥ ሶስት ዝርዝሮችን ማውጣት ከሚችሉባቸው መንገዶች ቁጥር ጋር እኩል ነው, ማለትም. እና አጠቃላይ ምቹ ውጤቶች ሦስት የተበላሹ ክፍሎች ከአምስት ሊወጡ የሚችሉባቸው መንገዶች ቁጥር ጋር እኩል ነው። ስለዚህም እ.ኤ.አ.
TASK N 12 ስህተት ሪፖርት አድርግ
ርዕስ፡ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቁጥራዊ ባህሪያት
ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በአቅም ማከፋፈያ ጥግግት ይገለጻል፡ 
ከዚያ ልዩነቱ...
መፍትሄ፡-
ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል።
ከዚያም 
ርዕስ፡ የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የእድላቸው ስርጭት ህጎች
የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በፕሮባቢሊቲ ስርጭት ህግ ይገለጻል፡-
ከዚያ የይሁንታ ስርጭት ተግባሩ ቅፅ አለው...
| |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
መፍትሄ፡-
A-priory . ከዚያም
ሀ) በ,,
ለ) በ,,
ሐ) በ,,
መ) በ,,
መ) በ ፣
ስለዚህም እ.ኤ.አ. 
ርዕስ፡ ጠቅላላ ዕድል። ቤይስ ቀመሮች
5 ነጭ እና 5 ጥቁር ኳሶችን እና 6 ነጭ እና 4 ጥቁር ኳሶችን የያዙ ሰባት ሽንት ቤቶች ያሉት ሶስት ሽንትሮች አሉ። አንድ ኳስ በዘፈቀደ ሽንት ይሳባል። ከዚያ ይህ ኳስ ነጭ የመሆን እድሉ...
| 0,57 | |||
| 0,43 | |||
| 0,55 | |||
| 0,53 |
መፍትሄ፡-
የአንድን ክስተት ዕድል ለማስላት ሀ(በነሲብ የተሳለ ኳስ ነጭ ነው) አጠቃላይ የይሁንታ ቀመር ይተግብሩ፡. ከመጀመሪያዎቹ ተከታታይ ኡርኖች ኳስ የመሳብ እድሉ እዚህ አለ; - ኳሱ ከሁለተኛው ተከታታይ ኡርኖች የመሳብ እድሉ; - የተሳለው ኳስ ከመጀመሪያው ተከታታይ ሽንት ከተቀዳ ነጭ የመሆን ሁኔታዊ ዕድል; - የተሳለው ኳስ ከሁለተኛው ተከታታይ ኡርኖች ከተሳለ ነጭ የመሆን ሁኔታዊ ዕድል።
ከዚያም .
ርዕስ፡ የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የእድላቸው ስርጭት ህጎች
የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በፕሮባቢሊቲ ስርጭት ህግ ይገለጻል፡-
ከዚያም ዕድሉ እኩል...
ርዕስ፡ የመሆን እድልን መወሰን
ዳይ ሁለት ጊዜ ይንከባለል. ከዚያም የቀረቡት ነጥቦች ድምር አሥር የመሆኑ ዕድል...
ፍቺ 2.3. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ፣ በX የተወከለው፣ ውሱን ወይም ሊቆጠሩ የሚችሉ የእሴቶችን ስብስብ ከወሰደ፣ discrete ይባላል። ስብስብ - ውሱን ወይም ሊቆጠር የሚችል ስብስብ.
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ምሳሌዎችን እንመልከት።
1.
ሁለት ሳንቲሞች አንድ ጊዜ ይጣላሉ. በዚህ ሙከራ ውስጥ ያሉት የአርማዎች ብዛት በዘፈቀደ ተለዋዋጭ ነው። X. የእሱ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች 0,1,2, i.e. 
- ውሱን ስብስብ.
2. በተወሰነ ጊዜ ውስጥ የአምቡላንስ ጥሪዎች ቁጥር ይመዘገባል. የዘፈቀደ እሴት X- የጥሪዎች ብዛት. ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶቹ 0 ፣ 1 ፣ 2 ፣ 3 ፣ ... ፣ ማለትም =(0፣1፣2፣3፣...) ሊቆጠር የሚችል ስብስብ ነው።
3. በቡድኑ ውስጥ 25 ተማሪዎች አሉ። በአንድ የተወሰነ ቀን, ወደ ክፍል የመጡ ተማሪዎች ቁጥር ይመዘገባል - በዘፈቀደ ተለዋዋጭ X. የእሱ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች፡ 0፣ 1፣ 2፣ 3፣ ...፣25 i.e. = (0፣ 1፣ 2፣ 3፣ ...፣ 25)።
ምንም እንኳን በምሳሌ 3 ያሉት ሁሉም 25 ሰዎች ክፍሎችን ሊያመልጡ ባይችሉም፣ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xይህንን ዋጋ መውሰድ ይችላል. ይህ ማለት የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ዋጋዎች የተለያዩ እድሎች አሏቸው ማለት ነው።
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ ሞዴልን እንመልከት።
የመጨረሻ ወይም ሊቆጠር ከሚችል የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ቦታ ጋር የሚዛመድ የዘፈቀደ ሙከራ ይካሄድ። የዚህን ቦታ ካርታ በእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ላይ እናስብ፣ ማለትም፣ ለእያንዳንዱ የመጀመሪያ ደረጃ ክስተት የተወሰነ እውነተኛ ቁጥር እንመድብ። የቁጥሮች ስብስብ ውሱን ወይም ሊቆጠር ይችላል, ማለትም. 
ወይም
የንዑስ ስብስቦች ሥርዓት፣ የትኛውንም ንዑስ ስብስብ፣ አንድ-ነጥብ አንድን ጨምሮ፣ የቁጥር ስብስብ-አልጀብራ ይመሰርታል (- ውሱን ወይም ሊቆጠር የሚችል)።
ማንኛውም የመጀመሪያ ደረጃ ክስተት ከተወሰኑ እድሎች ጋር የተቆራኘ ስለሆነ p i(በመጨረሻው ሁሉም ነገር) እና , ከዚያም እያንዳንዱ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴት ከተወሰነ ዕድል ጋር ሊዛመድ ይችላል. p i, ለምሳሌ .
ፍቀድ Xየዘፈቀደ እውነተኛ ቁጥር ነው። እንጥቀስ አር ኤክስ (x)የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የመሆን እድሉ Xጋር እኩል የሆነ እሴት ወስዷል X፣ ማለትም እ.ኤ.አ. P X (x)=P(X=x). ከዚያ ተግባሩ አር ኤክስ (x)ለእነዚያ እሴቶች ብቻ አዎንታዊ እሴቶችን መውሰድ ይችላል። Xውሱን ወይም ሊቆጠር የሚችል ስብስብ የሆነ 
, እና ለሁሉም ሌሎች እሴቶች የዚህ እሴት ዕድል P X (x) = 0
ስለዚህ፣ የእሴቶችን ስብስብ ገለፅን-አልጀብራ እንደ ማንኛውም ንዑስ ስብስቦች እና ለእያንዳንዱ ክስተት ( X = x) ዕድሉን በማነፃፀር ለማንኛውም, ማለትም. ሊሆን የሚችል ቦታ ገንብቷል።
ለምሳሌ፣ የተመጣጠነ ሳንቲም ሁለት ጊዜ መወርወርን ያካተተ የሙከራ የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች ቦታ አራት የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶችን ያቀፈ ነው።
ሳንቲሙ ሁለት ጊዜ ሲጣል ሁለት ጭራዎች ታዩ; ሳንቲሙ ሁለት ጊዜ ሲወረውር, ሁለት የጦር ሽፋኖች ወድቀዋል;
በመጀመሪያው የሳንቲም ውርወራ ላይ አንድ ሃሽ ወጣ, በሁለተኛው ላይ ደግሞ የጦር ቀሚስ;
በመጀመሪያው የሳንቲም ውርወራ ላይ, የጦር ቀሚስ ወጣ, እና በሁለተኛው ላይ, የሃሽ ምልክት.
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ይሁን X- የፍርግርግ ማቋረጥ ብዛት. እሱ ላይ እና የእሴቶቹ ስብስብ ይገለጻል። 
. ነጠላ-ነጥብ የሆኑትን ጨምሮ ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ንዑስ ስብስቦች አልጀብራ ይመሰርታሉ፣ i.e. = (Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).
የአንድ ክስተት ዕድል ( X=x i}, і = 1፣2፣3፣ የዝግጅቱ ክስተት የመከሰቱ እድል እንደ ምሳሌው እንገልፃለን።
ስለዚህ, በአንደኛ ደረጃ ዝግጅቶች (እ.ኤ.አ.) X = xi) የቁጥር ተግባር አዘጋጅ አር ኤክስ, ስለዚህ 
.
ፍቺ 2.4. የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ህግ የቁጥሮች ጥንድ ስብስብ ነው ( x i ፣ р i) ፣ x i የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ናቸው ፣ እና р i እነዚህን እሴቶች የሚወስድባቸው እድሎች ናቸው ፣ እና .
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የስርጭት ህግን የሚገልጽ ቀላሉ መንገድ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶችን እና ተጓዳኝ እድሎችን የሚዘረዝር ሠንጠረዥ ነው።
| … | … | ||||
| … | … |
እንዲህ ዓይነቱ ሰንጠረዥ የማከፋፈያ ተከታታይ ይባላል. የስርጭት ተከታታዮቹን የበለጠ ምስላዊ መልክ ለመስጠት፣ በግራፊክ መልክ ይገለጻል፡ ዘንግ ላይ ኦነጥቦች x iእና ከነሱ ርዝማኔ ያላቸውን ቋሚዎች ይሳሉ p i. የተገኙት ነጥቦች ተያይዘዋል እና ፖሊጎን ተገኝቷል, ይህም ከስርጭት ህግ ዓይነቶች አንዱ ነው (ምስል 2.1).
ስለዚህ, የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ለመለየት, እሴቶቹን እና ተጓዳኝ እድሎችን መግለጽ ያስፈልግዎታል.
ምሳሌ 2.2.የማሽኑ የጥሬ ገንዘብ ማስገቢያ የሚቀሰቀሰው ሳንቲም በገባ ቁጥር ነው። አር. አንዴ ከተቀሰቀሰ, ሳንቲሞቹ አይወርድም. ፍቀድ X- የማሽኑ ገንዘብ ማስገቢያ ከመጀመሩ በፊት ማስገባት ያለባቸው የሳንቲሞች ብዛት። ተከታታይ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭትን ይገንቡ X.
መፍትሄ።የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች X: x 1 = 1፣ x 2 = 2፣...፣ x k = k፣...የእነዚህን እሴቶች እድሎች እንፈልግ፡- ገጽ 1- ገንዘብ ተቀባይ ለመጀመሪያ ጊዜ ሲቀንስ የሚሰራበት ዕድል እና p 1 = p; ገጽ 2 –ሁለት ሙከራዎች የመደረጉ ዕድል. ይህንን ለማድረግ, ይህ አስፈላጊ ነው: 1) ገንዘብ ተቀባይ በመጀመሪያው ሙከራ ላይ አይሰራም; 2) በሁለተኛው ሙከራ ሠርቷል. የዚህ ክስተት ዕድል ነው (1-አር) р. እንደዚሁም 
እናም ይቀጥላል, 
. የስርጭት ክልል Xቅጹን ይወስዳል
| 1 | 2 | 3 | … | ለ | … | |
| አር | ኪ.ፒ | q 2 p | qr -1 ገጽ |
ዕድሎች መሆናቸውን ልብ ይበሉ አር ኪከተከፋፈለው ጋር የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ይፍጠሩ፡ 1–p=q, ቅ<1, ስለዚህ ይህ የፕሮባቢሊቲ ስርጭት ይባላል ጂኦሜትሪክ.
ተጨማሪ የሂሳብ ሞዴል ተሠርቷል ብለን እናስብ 
በልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የተገለጸ ሙከራ X፣ እና የዘፈቀደ ክስተቶች የመከሰት እድሎችን ለማስላት ያስቡበት።
የዘፈቀደ ክስተት ውሱን ወይም ሊቆጠሩ የሚችሉ የእሴቶችን ስብስብ ይይዝ x i: ሀ= {x 1፣ x 2፣...፣ x i፣...) .ክስተት ሀከቅጹ ጋር ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች እንደ አንድነት ሊወከል ይችላል፡. ከዚያም, Kolmogorov's axiom 3 ን በመጠቀም , እናገኛለን
የክስተቶች የመከሰት እድሎች የእነሱ ምሳሌ ከሆኑት ክስተቶች የመከሰት እድሎች ጋር እኩል እንዲሆኑ ከወሰንን ጀምሮ። ይህ ማለት የማንኛውም ክስተት ዕድል ማለት ነው 
, , ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል, ምክንያቱም ይህ ክስተት በክስተቶች አንድነት መልክ ሊወከል ስለሚችል, የት .
ከዚያም የማከፋፈያው ተግባር ረ(x) = Р(–<Х<х) በቀመር ተገኝቷል። የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ተግባር ይከተላል Xይቋረጣል እና በመዝለል ይጨምራል፣ ማለትም የእርምጃ ተግባር ነው (ምስል 2.2)
ስብስቡ ውሱን ከሆነ፣ በቀመሩ ውስጥ ያሉት የቃላት ብዛት ውሱን ነው፣ ነገር ግን ሊቆጠር የሚችል ከሆነ የቃላቶቹ ብዛት ሊቆጠር ይችላል።
ምሳሌ 2.3.የቴክኒካዊ መሳሪያው እርስ በርስ በተናጥል የሚሰሩ ሁለት አካላትን ያካትታል. በቲ ጊዜ ውስጥ የመጀመሪያው ንጥረ ነገር የመጥፋት እድሉ 0.2 ነው ፣ እና የሁለተኛው አካል ውድቀት 0.1 ነው። የዘፈቀደ እሴት X- በጊዜ ውስጥ ያልተሳኩ ንጥረ ነገሮች ብዛት.
መፍትሄ።የቴክኒካል መሳሪያ ሁለት አካላትን አስተማማኝነት የሚያጠና የሙከራ የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች ቦታ የሚወሰነው በአራት አንደኛ ደረጃ ክስተቶች ነው,,,: - ሁለቱም አካላት የሚሰሩ ናቸው; - የመጀመሪያው አካል እየሰራ ነው, ሁለተኛው የተሳሳተ ነው; - የመጀመሪያው አካል የተሳሳተ ነው, ሁለተኛው ደግሞ እየሰራ ነው; - ሁለቱም አካላት የተሳሳቱ ናቸው. እያንዳንዱ የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች በቦታዎች የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች ሊገለጹ ይችላሉ። 
እና 
, የት - የመጀመሪያው ንጥረ ነገር ይሠራል; - የመጀመሪያው ንጥረ ነገር አልተሳካም; - ሁለተኛው ንጥረ ነገር እየሰራ ነው; - ሁለተኛው ንጥረ ነገር አልተሳካም. ከዚያ ፣ እና የቴክኒካዊ መሣሪያ አካላት እርስ በእርሱ በተናጥል ስለሚሠሩ ፣ ከዚያ
8. የአንድ የተወሰነ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች ወደ ክፍተቱ የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?
የተለየ ከተወሰኑ ፕሮባቢሊቲዎች ጋር የተለዩ እና የተለዩ እሴቶችን ሊወስድ የሚችል የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ይባላል።
ምሳሌ 1.በሦስት ሳንቲሞች መወርወሪያዎች ውስጥ የጦር ቀሚስ የታየበት ጊዜ ብዛት። ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች፡ 0፣ 1፣ 2፣ 3፣ ዕድላቸው እንደቅደም ተከተላቸው እኩል ናቸው፡
P (0) =; Р (1) =; Р (2) =; Р(3) =.
ምሳሌ 2.አምስት አካላትን ባካተተ መሳሪያ ውስጥ ያልተሳኩ ንጥረ ነገሮች ብዛት። ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች: 0, 1, 2, 3, 4, 5; የእነሱ ዕድል በእያንዳንዱ ንጥረ ነገር አስተማማኝነት ላይ የተመሰረተ ነው.
የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xበስርጭት ተከታታይ ወይም በስርጭት ተግባር (የተዋሃደ የስርጭት ህግ) ሊሰጥ ይችላል።
በስርጭት አቅራቢያ የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ስብስብ ነው። Xእኔእና ተጓዳኝ እድላቸው አርእኔ = ፒ(X = xእኔ), እንደ ጠረጴዛ ሊገለጽ ይችላል-
| x i | x n |
|||
| p i | р n |
በተመሳሳይ ጊዜ, እድሎች አርእኔሁኔታውን ማርካት
አርእኔ= 1 ምክንያቱም 
ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ብዛት የት አለ nውሱን ወይም ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል.
የስርጭት ተከታታይ ስዕላዊ መግለጫ ማከፋፈያ ፖሊጎን ይባላል . እሱን ለመገንባት የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ( Xእኔ) በ x-ዘንግ ላይ ተቀርፀዋል, እና ሊሆኑ የሚችሉ አርእኔ- በተስማሚው ዘንግ በኩል; ነጥቦች ሀእኔከመጋጠሚያዎች ጋር ( Xእኔ፣አርእኔ) በተቆራረጡ መስመሮች የተገናኙ ናቸው.
የስርጭት ተግባር የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xተግባር ተብሎ ይጠራል ኤፍ(X), የማን ዋጋ ነጥብ ላይ Xየዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሚሆነው ዕድል ጋር እኩል ነው። Xከዚህ ዋጋ ያነሰ ይሆናል X, ያውና
ረ(x) = P(X< х).
ተግባር ኤፍ(X) ለ discrete የዘፈቀደ ተለዋዋጭበቀመር የተሰላ
ኤፍ(X) = አርእኔ , (1.10.1)
ማጠቃለያው በሁሉም እሴቶች ላይ የሚከናወንበት እኔ, ለየተኛው Xእኔ< х.
ምሳሌ 3. 100 ምርቶችን ከያዙት ከእነዚህ ውስጥ 10 ጉድለት ያለባቸው ምርቶች ጥራታቸውን ለማረጋገጥ አምስት ምርቶች በዘፈቀደ ተመርጠዋል። የዘፈቀደ ቁጥር ተከታታይ ስርጭቶችን ይገንቡ Xበናሙናው ውስጥ የተካተቱ የተበላሹ ምርቶች.
መፍትሄ. በናሙናው ውስጥ የተበላሹ ምርቶች ብዛት ከ 0 እስከ 5 የሚያጠቃልለው ማንኛውም ኢንቲጀር ሊሆን ይችላል ፣ ከዚያ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች Xእኔየዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xእኩል ናቸው፡-
x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.
ሊሆን ይችላል። አር(X = k) ናሙናው በትክክል እንደያዘ ክ(ክ = 0, 1, 2, 3, 4, 5) ጉድለት ያለባቸው ምርቶች, እኩል ናቸው
P (X = k) =.
ይህንን ቀመር ከ 0.001 ትክክለኛነት ጋር በመጠቀም ስሌቶች ምክንያት ፣ እኛ እናገኛለን-
አር 1 = ፒ(X = 0) @ 0,583;አር 2 = ፒ(X = 1) @ 0,340;አር 3 = ፒ(X = 2) @ 0,070;
አር 4 = ፒ(X = 3) @ 0,007;አር 5 = ፒ(X= 4) @ 0;አር 6 = ፒ(X = 5) @ 0.
ለማጣራት እኩልነትን መጠቀም አርክ=1, ስሌቶቹ እና ማዞሪያዎቹ በትክክል መደረጉን እናረጋግጣለን (ሰንጠረዡን ይመልከቱ).
| x i | ||||||
| p i |
ምሳሌ 4.የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የስርጭት ተከታታይ ተሰጥቷል። X :
| x i | |||||
| p i |
የፕሮባቢሊቲ ስርጭት ተግባርን ያግኙ ኤፍ(X) የዚህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እና ይገንቡ።
መፍትሄ. ከሆነ X£10 እንግዲህ ኤፍ(X)= ፒ(X<X) = 0;
ከሆነ 10<X£20 እንግዲህ ኤፍ(X)= ፒ(X<X) = 0,2 ;
ከሆነ 20<X£30 ከዚያ ኤፍ(X)= ፒ(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;
30 ከሆነ<X£40 ከዚያ ኤፍ(X)= ፒ(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;
40 ከሆነ<X£50 ከዚያ ኤፍ(X)= ፒ(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;
ከሆነ X> 50, ከዚያም ኤፍ(X)= ፒ(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.
በፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ አተገባበር ውስጥ, የሙከራው የቁጥር ባህሪያት ዋና ጠቀሜታዎች ናቸው. በቁጥር ሊወሰን የሚችል እና በሙከራ ምክንያት በጉዳዩ ላይ በመመስረት የተለያዩ እሴቶችን ሊወስድ የሚችል መጠን ይባላል። የዘፈቀደ ተለዋዋጭ.
የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ምሳሌዎች፡-
1. በሟች አስር ውርወራዎች ውስጥ እኩል የነጥቦች ብዛት የሚታየው ብዛት።
2. ተከታታይ ጥይቶችን በተኮሰ ተኳሽ ዒላማው ላይ የተመቱት ብዛት።
3. የሚፈነዳ ቅርፊት ቁርጥራጮች ብዛት.
በእያንዳንዱ የተሰጡት ምሳሌዎች ውስጥ፣ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የተገለሉ እሴቶችን ብቻ ሊወስድ ይችላል፣ ማለትም፣ የተፈጥሮ ተከታታይ ቁጥሮችን በመጠቀም ሊዘረዘሩ የሚችሉ እሴቶች።
እንደዚህ ያለ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ፣ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶቹ ግለሰባዊ የተገለሉ ቁጥሮች ናቸው ፣ ይህ ተለዋዋጭ ከተወሰኑ እድሎች ጋር ይወስዳል ፣ የተለየ.
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ብዛት ውሱን ወይም ማለቂያ የሌለው (ተቆጥሮ ሊቆጠር የሚችል) ሊሆን ይችላል።
የስርጭት ህግየተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶቹ እና ተጓዳኝ እድላቸው ዝርዝር ነው። የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የስርጭት ህግ በሠንጠረዥ መልክ ሊገለጽ ይችላል (የይቻላል ስርጭት ተከታታይ) ፣ በትንታኔ እና በግራፊክ (የመቻል ስርጭት ፖሊጎን)።
አንድ ሙከራ ሲያካሂዱ፣ “በአማካይ” እየተጠና ያለውን ዋጋ መገምገም አስፈላጊ ይሆናል። የዘፈቀደ ተለዋዋጭ አማካኝ እሴት ሚና የሚጫወተው በቁጥር ባህሪ በሚባለው ነው። የሂሳብ ጥበቃ ፣በቀመር የሚወሰነው
የት x 1 , x 2 ,.. , x n- የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች X, ኤ ገጽ 1 ,ገጽ 2 , ... , ገጽ n- የእነዚህ እሴቶች እድሎች (አስታውስ ገጽ 1 + ገጽ 2 +…+ ገጽ n = 1).
ለምሳሌ. በዒላማው ላይ ተኩስ ይከናወናል (ምሥል 11).
በ I ውስጥ መምታት ሶስት ነጥቦችን ይሰጣል ፣ በ II - ሁለት ነጥብ ፣ በ III - አንድ ነጥብ። በአንድ ተኳሽ በአንድ ምት የተመዘገቡ የነጥቦች ብዛት የቅጹ ስርጭት ህግ አለው።
የተኳሾችን ችሎታ ለማነፃፀር ፣ የተመዘገቡትን ነጥቦች አማካኝ እሴቶች ማነፃፀር በቂ ነው ፣ ማለትም ። የሂሳብ የሚጠበቁ ኤም(X) እና ኤም(ዋይ):
ኤም(X) = 1 0,4 + 2 0,2 + 3 0,4 = 2,0,
ኤም(ዋይ) = 1 0,2 + 2 0,5 + 3 0,3 = 2,1.
ሁለተኛው ተኳሽ በአማካይ በትንሹ ከፍ ያለ የነጥቦች ብዛት ይሰጣል ፣ ማለትም። በተደጋጋሚ ሲተኮሱ የተሻለ ውጤት ያስገኛል.
የሒሳብ ጥበቃ ባህሪያትን እናስተውል፡-
1. የቋሚ እሴት ሒሳባዊ ጥበቃ ከቋሚው ራሱ ጋር እኩል ነው።
ኤም(ሲ) =ሐ.
2. የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ሒሳባዊ ጥበቃ ከቃላቶቹ የሂሳብ የሚጠበቁ ድምር ጋር እኩል ነው።
መ =(X 1 + X 2 +…+ X n)= ኤም(X 1)+ ኤም(X 2)+…+ ኤም(X n).
3. እርስ በርስ የሚደጋገፉ የነሲብ ተለዋዋጮች ምርት የሒሳብ ጥበቃ የምክንያቶቹ የሂሳብ ግምቶች ውጤት ጋር እኩል ነው።
ኤም(X 1 X 2 … X n) = ኤም(X 1)ኤም(X 2)… ኤም(X n).
4. የሁለትዮሽ ስርጭቱ ሒሳባዊ አሉታዊነት ከሙከራዎች ብዛት እና በአንድ ሙከራ ውስጥ የተከሰተ ክስተት እድል (ተግባር 4.6) ጋር እኩል ነው.
ኤም(X) = ፕ.
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ "በአማካኝ" እንዴት ከሂሳብ ጥበቃው እንደሚያፈነግጥ ለመገምገም, ማለትም. በአጋጣሚ ፅንሰ-ሀሳብ ውስጥ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች መስፋፋትን ለመለየት ፣ የመበታተን ጽንሰ-ሀሳብ ጥቅም ላይ ይውላል።
ልዩነትየዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xየካሬው መዛባት የሒሳብ ጥበቃ ተብሎ ይጠራል፡-
ዲ(X) = ኤም[(X - ኤም(X)) 2 ].
መበታተን የዘፈቀደ ተለዋዋጭ መበተን የቁጥር ባህሪ ነው። ከትርጓሜው መረዳት እንደሚቻለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ መበታተን ትንሽ ከሆነ ፣ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶቹ በሂሳብ ጥበቃ ዙሪያ ይገኛሉ ፣ ማለትም ፣ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች በተሻለ በሂሳብ ጥበቃ ተለይተው ይታወቃሉ። .
ከትርጓሜው ውስጥ ልዩነቱ ቀመርን በመጠቀም ማስላት ይቻላል
.
ሌላ ቀመር በመጠቀም ልዩነቱን ለማስላት ምቹ ነው-
ዲ(X) = ኤም(X 2) - (ኤም(X)) 2 .
ስርጭቱ የሚከተሉትን ባህሪዎች አሉት ።
1. የቋሚው ልዩነት ዜሮ ነው፡-
ዲ(ሲ) = 0.
2. ቋሚው ምክንያት ከተበታተነ ምልክት ውስጥ በማንጠፍለቅ ሊወጣ ይችላል-
ዲ(ሲኤክስ) = ሲ 2 ዲ(X).
3. የገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ልዩነት ከቃላቶቹ ልዩነት ድምር ጋር እኩል ነው።
ዲ(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= ዲ(X 1)+ ዲ(X 2)+…+ ዲ(X n)
4. የሁለትዮሽ ስርጭቱ ልዩነት ከሙከራዎች ብዛት እና በአንድ ሙከራ ውስጥ የመከሰቱ እና ያለመከሰቱ እድል ውጤት ጋር እኩል ነው።
ዲ(X) = npq.
በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ፣ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት ከካሬ ሥር ጋር እኩል የሆነ የቁጥር ባህሪ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል። ይህ አሃዛዊ ባህሪ አማካኝ ካሬ ልዩነት ይባላል እና በምልክቱ ይገለጻል።
.
የአንድ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት ከአማካይ እሴቱ ግምታዊውን መጠን ይገልፃል እና እንደ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ተመሳሳይ ልኬት አለው።
4.1. ተኳሹ ኢላማው ላይ ሶስት ጥይቶችን ተኮሰ። በእያንዳንዱ ምት ኢላማውን የመምታት እድሉ 0.3 ነው።
ለተመታዎች ብዛት የስርጭት ተከታታይ ይገንቡ።
መፍትሄ. የመምታት ብዛት የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ነው። X. እያንዳንዱ እሴት x n የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xከተወሰነ ዕድል ጋር ይዛመዳል ፒ n .
በዚህ ጉዳይ ላይ የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ህግ ሊገለጽ ይችላል ስርጭት አጠገብ.
በዚህ ችግር ውስጥ Xእሴቶችን ይወስዳል 0, 1, 2, 3. በበርኑሊ ቀመር መሰረት
,
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶችን እንፈልግ-
አር 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,
አር 3 (1)
=
0,3(0,7) 2
= 0,441,
አር 3 (2)
=
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
አር 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶችን በማዘጋጀት Xበቅደም ተከተል ፣ የስርጭት ተከታታይን እናገኛለን-
|
X n | ||||
መጠኑ መሆኑን ልብ ይበሉ
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የመሆን እድል ማለት ነው። Xከሚቻሉት መካከል ቢያንስ አንድ እሴት ይወስዳል, እና ይህ ክስተት አስተማማኝ ነው, ስለዚህ
.
4.2 በሽንት ውስጥ አራት ኳሶች ከ1 እስከ 4 ያሉት ቁጥሮች አሉ። ሁለት ኳሶች ተወስደዋል። የዘፈቀደ እሴት X- የኳሱ ቁጥሮች ድምር። የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የስርጭት ተከታታይ ይገንቡ X.
መፍትሄ።የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች X 3, 4, 5, 6, 7 ናቸው. ተጓዳኝ እድሎችን እንፈልግ. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴት 3 Xከተመረጡት ኳሶች መካከል አንዱ ቁጥር 1 ሲኖረው ብቸኛው ሁኔታ መቀበል ይቻላል, እና ሌላኛው 2. ሊሆኑ የሚችሉ የፈተና ውጤቶች ቁጥር ከአራት (የኳስ ጥንድ ሊሆኑ የሚችሉ ጥንድ) ጥምር ቁጥር ጋር እኩል ነው.
የምናገኘውን ክላሲካል ፕሮባቢሊቲ ፎርሙላ በመጠቀም
እንደዚሁ
አር(X= 4) =አር(X= 6) =አር(X= 7) = 1/6.
ድምር 5 በሁለት አጋጣሚዎች ሊታይ ይችላል: 1 + 4 እና 2 + 3, ስለዚህ
.
Xመልክ አለው፡-
የማከፋፈያ ተግባሩን ያግኙ ኤፍ(x) የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xእና ያሴሩት. አስላ ለ Xየእሱ የሂሳብ ጥበቃ እና ልዩነት.
መፍትሄ. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የስርጭት ህግ በስርጭት ተግባር ሊገለጽ ይችላል።
ኤፍ(x) = ፒ(X x).
የስርጭት ተግባር ኤፍ(x) በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ የተገለጸ የማይቀንስ በግራ ቀጣይነት ያለው ተግባር ነው።
ኤፍ (- )= 0,ኤፍ (+ )= 1.
ለተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ፣ ይህ ተግባር በቀመሩ ይገለጻል።
.
ስለዚህ በዚህ ጉዳይ ላይ
የስርጭት ተግባር ግራፍ ኤፍ(x) የተዘረጋ መስመር ነው (ምስል 12)
|
ኤፍ(x) | ||||||
የሚጠበቀው ዋጋኤም(X) የእሴቶቹ የክብደት አርቲሜቲክ አማካኝ ነው። X 1 ፣ X 2 ፣……X nየዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xበሚዛን ρ 1, ρ 2, …… , ρ n እና የዘፈቀደ ተለዋዋጭ አማካኝ እሴት ይባላል X. በቀመርው መሰረት
ኤም(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 ……… x n ρ n
ኤም(X) = 3·0.14+5·0.2+7 · 0.49+11 · 0.17 = 6.72.
መበታተንየዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶችን ከአማካይ እሴቱ የመበታተን ደረጃን ያሳያል እና ይገለጻል ዲ(X):
ዲ(X)=ኤም[(ኤች.ኤም(X)) 2 ]= ኤም(X 2) –[ኤም(X)] 2 .
ለተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ፣ ልዩነቱ ቅጹ አለው።
ወይም ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል
የችግሩን አሃዛዊ መረጃ በቀመሩ ውስጥ በመተካት የሚከተለውን እናገኛለን፡-
ኤም(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84
ዲ(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.
4.4. ሁለት ዳይስ በአንድ ጊዜ ሁለት ጊዜ ይንከባለሉ. የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሁለትዮሽ ስርጭት ህግ ይፃፉ X- በሁለት ዳይስ ላይ የአንድ እኩል ጠቅላላ የነጥብ ብዛት ክስተቶች ብዛት።
መፍትሄ. የዘፈቀደ ክስተት እናስተዋውቅ
ሀ= (በአንድ ውርወራ ሁለት ዳይስ በድምሩ እኩል የነጥብ ብዛት አስገኝቷል)።
ክላሲካል የችሎታ ፍቺን በመጠቀም እናገኛለን
አር(ሀ)=
,
የት n - በደንቡ መሠረት ሊሆኑ የሚችሉ የፈተና ውጤቶች ቁጥር ተገኝቷል
ማባዛት፡
n = 6∙6 =36,
ኤም - ዝግጅቱን የሚደግፉ ሰዎች ብዛት ሀውጤቶች - እኩል
ኤም= 3∙6=18.
ስለዚህ, በአንድ ሙከራ ውስጥ የስኬት እድል ነው
ρ = ፒ(ሀ)= 1/2.
ችግሩ የሚፈታው የቤርኑሊ ሙከራ ዘዴን በመጠቀም ነው። እዚህ አንድ ፈተና አንድ ጊዜ ሁለት ዳይስ ማንከባለል ነው። የእንደዚህ አይነት ፈተናዎች ብዛት n = 2. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xከፕሮባቢሊቲዎች ጋር እሴቶችን 0 ፣ 1 ፣ 2 ይወስዳል
አር 2 (0)
=
,አር 2 (1)
=
∙
,አር 2 (2)
=
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሚፈለገው የሁለትዮሽ ስርጭት Xእንደ ተከታታይ ስርጭት ሊወከል ይችላል፡-
|
X n | |||
|
ρ n |
4.5 . በስድስት ክፍሎች ስብስብ ውስጥ አራት መደበኛ ደረጃዎች አሉ. ሶስት ክፍሎች በዘፈቀደ ተመርጠዋል. የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የይሆናል ስርጭት ይገንቡ X- ከተመረጡት መካከል የመደበኛ ክፍሎች ብዛት እና የሂሳብ ጥበቃውን ያግኙ።
መፍትሄ።የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች Xቁጥሮች 0፣1፣2፣3 ናቸው። እንደሆነ ግልጽ ነው። አር(X=0)=0፣ መደበኛ ያልሆኑ ሁለት ክፍሎች ብቻ ስለሆኑ።
አር(X=1) =
=1/5,
አር(X= 2) =
= 3/5,
አር(X=3) =
= 1/5.
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ህግ Xበተከታታይ ስርጭት መልክ እናቅርበው፡-
|
X n | ||||
|
ρ n |
የሚጠበቀው ዋጋ
ኤም(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.
4.6 . የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሒሳባዊ ጥበቃ መሆኑን ያረጋግጡ X- የክስተቱ ክስተቶች ብዛት ሀቪ nገለልተኛ ሙከራዎች ፣ በእያንዳንዳቸው ውስጥ የአንድ ክስተት የመከሰት እድሉ እኩል ነው። ρ - በአንድ ሙከራ ውስጥ የአንድ ክስተት ክስተት የመከሰቱ ዕድል ከሙከራዎች ብዛት ጋር እኩል ነው ፣ ማለትም ፣ የሁለትዮሽ ስርጭት የሂሳብ ጥበቃን ለማረጋገጥ።
ኤም(X) =n . ρ ,
እና መበታተን
ዲ(X) =n.p. .
መፍትሄ።የዘፈቀደ እሴት Xእሴቶችን መውሰድ ይችላል 0, 1, 2 ..., n. ሊሆን ይችላል። አር(X= k) የበርኑሊ ቀመር በመጠቀም ይገኛል፡-
አር(X=k)= አር n(k)= 
ρ
ለ
(1-ρ
) n -ለ
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ተከታታይ Xመልክ አለው፡-
|
X n | |||||
|
ρ n |
ቅ n |
|
|
|
ρq n - 1
ρq n - 2
ρ
nየት ቅ= 1- ρ .
ለሂሳብ ጥበቃ የሚከተለው አገላለጽ አለን።
ኤም(X)=
ρq n -
1
+2
ρ
2
ቅ n -
2
+…+.n
ρ
n
በአንደኛው ፈተና, ማለትም ከ ጋር n= 1 በዘፈቀደ ተለዋዋጭ X 1 - የክስተቱ ክስተቶች ብዛት ሀ- የስርጭቱ ተከታታይ ቅጽ አለው:
|
X n | ||
|
ρ n |
ኤም(X 1)= 0∙q + 1 ∙ ገጽ = ገጽ
ዲ(X 1) = ገጽ – ገጽ 2 = ገጽ(1- ገጽ) = pq.
ከሆነ X k - የክስተቱ ክስተቶች ብዛት ሀበየትኛው ፈተና, ከዚያም አር(X ለ)= ρ እና
X=X 1 +X 2 +….+X n .
ከዚህ እናገኛለን
ኤም(X)=ኤም(X 1 )+ኤም(X 2)+ … +ኤም(X n)= nρ,
ዲ(X)= ዲ(X 1)+ዲ(X 2)+ ... +ዲ(X n)= npq
4.7. የጥራት ቁጥጥር ክፍል ምርቶችን ደረጃውን የጠበቀ መሆኑን ያረጋግጣል። ምርቱ መደበኛ የመሆን እድሉ 0.9 ነው። እያንዳንዱ ስብስብ 5 ምርቶችን ይይዛል. የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሒሳባዊ ጥበቃን ያግኙ X- የቡድኖች ብዛት, እያንዳንዳቸው 4 መደበኛ ምርቶችን ይይዛሉ - 50 ጥራጊዎች ለምርመራ ከተጋለጡ.
መፍትሄ. በእያንዳንዱ በዘፈቀደ በተመረጠው ስብስብ ውስጥ 4 መደበኛ ምርቶች ሊኖሩ የሚችሉበት ዕድል ቋሚ ነው; በ እንጠቁመው ρ .ከዚያም የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ ጥበቃ Xእኩል ነው። ኤም(X)= 50∙ρ.
ዕድሉን እንፈልግ ρ በበርኑሊ ቀመር፡-
ρ=ፒ 5 (4)=
= 0,94∙0,1=0,32.
ኤም(X)= 50∙0,32=16.
4.8 . ሶስት ዳይስ ይጣላሉ. የተጣሉ ነጥቦች ድምር የሂሳብ ጥበቃን ያግኙ።
መፍትሄ።የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭትን ማግኘት ይችላሉ። X- የተጣሉ ነጥቦች ድምር እና ከዚያም የሒሳብ ጥበቃው. ይሁን እንጂ ይህ መንገድ በጣም አስቸጋሪ ነው. የዘፈቀደ ተለዋዋጭን በመወከል ሌላ ዘዴ መጠቀም ቀላል ነው። X, ማስላት የሚያስፈልገው የሒሳብ ጥበቃ፣ በበርካታ ቀላል የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር መልክ፣ የሒሳብ ጥበቃው ለማስላት ቀላል ነው። የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሆነ X እኔየተጠቀለሉ ነጥቦች ብዛት ነው። እኔ- አጥንት ( እኔ= 1 ፣ 2 ፣ 3) ፣ ከዚያ የነጥቦች ድምር Xበቅጹ ውስጥ ይገለጻል
X = X 1 + X 2 + X 3 .
የመጀመሪያውን የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ ግምት ለማስላት፣ የሚቀረው የሂሳብ ጥበቃን ንብረት መጠቀም ብቻ ነው።
ኤም(X 1 + X 2 + X 3 )= ኤም(X 1 )+ ኤም(X 2)+ ኤም(X 3 ).
እንደሆነ ግልጽ ነው።
አር(X እኔ = ኬ)= 1/6፣ TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, እኔ= 1, 2, 3.
ስለዚህ, የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ ጥበቃ X እኔመምሰል
ኤም(X እኔ) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,
ኤም(X) = 3∙7/2 = 10,5.
4.9. በሙከራ ጊዜ ያልተሳካላቸው የመሣሪያዎች ብዛት የሂሳብ ግምትን ይወስኑ፡-
ሀ) ለሁሉም መሳሪያዎች የመጥፋት እድሉ ተመሳሳይ ነው አር, እና በሙከራ ላይ ያሉ መሳሪያዎች ቁጥር እኩል ነው n;
ለ) የመውደቅ እድል ለ እኔ – የመሳሪያው እኩል ነው ገጽ እኔ , እኔ= 1, 2, … , n.
መፍትሄ።የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ይሁን Xያልተሳኩ መሳሪያዎች ቁጥር ነው, ከዚያ
X = X 1 + X 2 + X n ,
X እኔ
=
እንደሆነ ግልጽ ነው።
አር(X እኔ = 1)= አር እኔ , አር(X እኔ = 0)= 1– አር እኔ ,እኔ = 1, 2, … ,n.
ኤም(X እኔ)= 1∙አር እኔ + 0∙(1- አር እኔ)= ፒ እኔ ,
ኤም(X)=ኤም(X 1)+ኤም(X 2)+… +ኤም(X n)= ፒ 1 +ፒ 2 + … + ፒ n .
በ "ሀ" ውስጥ የመሳሪያው አለመሳካት እድሉ ተመሳሳይ ነው, ማለትም
አር እኔ = ገጽ,እኔ = 1, 2, … ,n.
ኤም(X)= n.p..
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ መሆኑን ካስተዋልን ይህ መልስ ወዲያውኑ ሊገኝ ይችላል። Xከግቤቶች ጋር ሁለትዮሽ ስርጭት አለው ( n, ገጽ).
4.10. ሁለት ዳይሶች በአንድ ጊዜ ሁለት ጊዜ ይጣላሉ. የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሁለትዮሽ ስርጭት ህግ ይፃፉ X -በሁለት ዳይስ ላይ የአንድ እኩል የነጥቦች ብዛት ጥቅልሎች ብዛት።
መፍትሄ። ፍቀድ
ሀ=(በመጀመሪያዎቹ ዳይስ ላይ እኩል ቁጥር በማንከባለል)
ለ =(በሁለተኛው ዳይስ ላይ እኩል ቁጥር በማንከባለል).
በአንድ ውርወራ በሁለቱም ዳይስ ላይ እኩል ቁጥር ማግኘት በምርቱ ይገለጻል። ABከዚያም
አር
(AB)
= አር(ሀ)∙አር(ውስጥ)
=
.
የሁለተኛው የዳይስ ውርወራ ውጤት በመጀመሪያው ላይ የተመካ አይደለም ስለዚህ የቤርኑሊ ቀመር የሚሠራው መቼ ነው
n = 2,p = 1/4, ቅ = 1- ገጽ = 3/4.
የዘፈቀደ እሴት Xእሴቶችን መውሰድ ይችላል 0, 1, 2 , የበርኑሊ ቀመር በመጠቀም የመገኘት እድሉ:
አር(X= 0)= ፒ 2 (0) = ቅ 2 = 9/16,
አር(X= 1)= ፒ 2
(1)= ሲ 
,አር∙ቅ
=
6/16,
አር(X= 2)= ፒ 2
(2)= ሲ 
,
አር 2
=
1/16.
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ተከታታይ X፡
4.11. መሣሪያው በጊዜ ሂደት የእያንዳንዱ ንጥረ ነገር ብልሽት ተመሳሳይ በጣም ትንሽ የሆነ ብዙ ቁጥር ያላቸው እራሳቸውን ችለው የሚሰሩ አካላትን ያቀፈ ነው። ቲ. በጊዜ ሂደት አማካይ እምቢታዎችን ያግኙ ቲኤለመንቶች፣ በዚህ ጊዜ ውስጥ ቢያንስ አንድ ንጥረ ነገር የመሳት እድሉ 0.98 ከሆነ።
መፍትሄ። በጊዜ ሂደት እምቢ ያሉ ሰዎች ብዛት ቲንጥረ ነገሮች - የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X, በፖይሰን ህግ መሰረት ይሰራጫል, የንጥረ ነገሮች ብዛት ትልቅ ስለሆነ, ንጥረ ነገሮቹ በተናጥል ይሰራሉ እና የእያንዳንዱ ኤለመንቱ ውድቀት አነስተኛ ነው. በ ውስጥ የአንድ ክስተት ክስተቶች አማካይ ብዛት nፈተናዎች እኩል ናቸው
ኤም(X) = n.p..
ውድቀት የመከሰቱ አጋጣሚ ጀምሮ ለንጥረ ነገሮች ከ nበቀመርው ተገልጿል
አር n
(ለ)
,
የት = n.p., ከዚያም አንድም ኤለመንት በጊዜው የማይወድቅበት ዕድል ቲ ላይ እንገኛለን። K = 0:
አር n (0)= ሠ - .
ስለዚህ, የተቃራኒው ክስተት ዕድል በጊዜ ነው ቲ ቢያንስ አንድ ንጥረ ነገር አይሳካም - ከ 1 ጋር እኩል ነው - ሠ - እንደ ችግሩ ሁኔታዎች, ይህ ዕድል 0.98 ነው. ከኢ.
1 - ሠ - = 0,98,
ሠ - = 1 – 0,98 = 0,02,
ከዚህ = - ln 0,02 4.
ስለዚህ, በጊዜ ቲየመሳሪያው አሠራር በአማካይ 4 ንጥረ ነገሮች አይሳኩም.
4.12 . አንድ "ሁለት" እስኪመጣ ድረስ ዳይሶቹ ይንከባለሉ. አማካኝ የመወርወር ብዛት ያግኙ።
መፍትሄ. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እናስተዋውቅ X- ለእኛ ፍላጎት ያለው ክስተት እስኪከሰት ድረስ መከናወን ያለባቸው የፈተናዎች ብዛት። የመሆን እድሉ X= 1 በአንድ የዳይስ መወርወር ወቅት "ሁለት" የመታየት እድሉ ጋር እኩል ነው, ማለትም.
አር(X= 1) = 1/6.
ክስተት X= 2 ማለት በመጀመሪያው ፈተና "ሁለቱ" አልመጡም, ግን በሁለተኛው ላይ. የክስተቱ ዕድል X= 2 የገለልተኛ ክስተቶችን እድሎች በማባዛት ደንብ ይገኛል፡
አር(X= 2) = (5/6)∙(1/6)
እንደዚሁ
አር(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, አር(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6
ወዘተ. ተከታታይ ፕሮባቢሊቲ ስርጭቶችን እናገኛለን፡-
|
(5/6) ለ ∙1/6 |
አማካይ የመወርወር (ሙከራዎች) የሒሳብ ጥበቃ ነው።
ኤም(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + ለ (5/6) ለ -1 ∙1/6 + … =
1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + ለ (5/6) ለ -1 + …)
የተከታታዩን ድምር እንፈልግ፡-
ለሰ
ለ -1
= (
ሰ ለ)
ሰ
.
ስለዚህም እ.ኤ.አ.
ኤም(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.
ስለዚህ አንድ "ሁለት" እስኪመጣ ድረስ በአማካይ 6 ጥይቶችን ዳይስ ማድረግ ያስፈልግዎታል.
4.13. ገለልተኛ ሙከራዎች የሚከናወኑት ክስተቱ የመከሰት እድሉ ተመሳሳይ ነው። ሀበእያንዳንዱ ፈተና ውስጥ. አንድ ክስተት የመከሰት እድልን ይፈልጉ ሀበሶስት ገለልተኛ ሙከራዎች ውስጥ የአንድ ክስተት ክስተት ብዛት ልዩነት 0.63 ከሆነ .
መፍትሄ።በሶስት ሙከራዎች ውስጥ የአንድ ክስተት ክስተቶች ብዛት በዘፈቀደ ተለዋዋጭ ነው X, በሁለትዮሽ ህግ መሰረት ተሰራጭቷል. በገለልተኛ ሙከራዎች ውስጥ የአንድ ክስተት ክስተት ብዛት ልዩነት (በእያንዳንዱ ሙከራ ውስጥ ክስተቱ የመከሰት እድሉ ተመሳሳይ ነው) በተከሰተው ክስተት እና በዝግጅቱ አለመከሰት ምክንያት የሙከራ ብዛት ውጤት ጋር እኩል ነው። (ችግር 4፡6)
ዲ(X) = npq.
በሁኔታ n = 3, ዲ(X) = 0.63, ስለዚህ ይችላሉ አርከሒሳብ ማግኘት
0,63 = 3∙አር(1- አር),
ሁለት መፍትሄዎች ያሉት አር 1 = 0.7 እና አር 2 = 0,3.