ምን አይነት ኮንቬክስ ፖሊጎን ነው። መደበኛ ኮንቬክስ ፖሊጎኖች

በአንድ አውሮፕላን ላይ የነጥብ ስብስብ።

በአውሮፕላን ውስጥ ወይም በ ውስጥ ብዙ ነጥቦች ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታተብሎ ይጠራል ኮንቬክስየዚህ ስብስብ ሁለት ነጥቦች በሙሉ በዚህ ስብስብ ውስጥ ባለው የመስመር ክፍል ሊገናኙ የሚችሉ ከሆነ።

ቲዎሪ 1. መስቀለኛ መንገድ የመጨረሻ ቁጥርየኮንቬክስ ስብስቦች ኮንቬክስ ስብስብ ነው.

መዘዝ።የአንድ ውሱን የኮንቬክስ ስብስቦች መገናኛ (ኮንቬክስ) ስብስብ ነው.

የማዕዘን ነጥቦች.

የድንበር ነጥብ ኮንቬክስ ስብስብተብሎ ይጠራል ማዕዘን, በእሱ በኩል አንድ ክፍል መሳል ከተቻለ, ሁሉም ነጥቦች በተሰጠው ስብስብ ውስጥ አይደሉም.

የተለያየ ቅርጽ ያላቸው ስብስቦች ውሱን ወይም ሊኖራቸው ይችላል ማለቂያ የሌለው ቁጥርየማዕዘን ነጥቦች.

ኮንቬክስ ፖሊጎን.

ፖሊጎንተብሎ ይጠራል ኮንቬክስ, በሁለት የአጎራባች ጫፎች ውስጥ በሚያልፉ በእያንዳንዱ መስመር በአንድ በኩል ቢተኛ.

ቲዎረም፡ የኮንቬክስ n-ጎን ማዕዘኖች ድምር 180˚ *(n-2) ነው።

6) የስርዓቶች መፍትሄ m የመስመር አለመመጣጠንከሁለት ተለዋዋጮች ጋር

ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር የመስመራዊ እኩልነት ስርዓት ተሰጥቷል።

የአንዳንድ ወይም ሁሉም እኩል ያልሆኑ ምልክቶች ≥ ሊሆኑ ይችላሉ።

በ X1OX2 መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ የመጀመሪያውን አለመመጣጠን እናስብ። ቀጥ ያለ መስመር እንስራ

የትኛው የድንበር መስመር ነው.

ይህ ቀጥተኛ መስመር አውሮፕላኑን ወደ ሁለት ግማሽ አውሮፕላኖች 1 እና 2 ይከፍላል (ምሥል 19.4).

ግማሽ-አውሮፕላን 1 መነሻውን ይዟል, ግማሽ-አውሮፕላን 2 መነሻውን አልያዘም.

የተወሰነው ግማሽ-አውሮፕላን በየትኛው የድንበር መስመር በኩል እንደሚገኝ ለመወሰን, መውሰድ ያስፈልግዎታል የዘፈቀደ ነጥብበአውሮፕላኑ ላይ (በተለይም መነሻው) እና የዚህን ነጥብ መጋጠሚያዎች ወደ እኩልነት ይቀይሩት. አለመመጣጠኑ እውነት ከሆነ ግማሽ አውሮፕላኑ ወደዚህ ነጥብ ይመለከተዋል፤ እውነት ካልሆነ ከነጥቡ ተቃራኒ በሆነ አቅጣጫ።

የግማሽ አውሮፕላኑ አቅጣጫ በቀስት በስዕሎቹ ላይ ይታያል.

ፍቺ 15. ለእያንዳንዱ የስርአቱ እኩልነት መፍትሄው የድንበሩን መስመር የያዘው ግማሽ አውሮፕላን እና በአንድ በኩል ይገኛል.

ፍቺ 16. የግማሽ አውሮፕላኖች መገናኛ, እያንዳንዳቸው በስርዓቱ ተጓዳኝ እኩልነት የሚወሰኑት, የስርዓቱ የመፍትሄ ጎራ (SO) ይባላል.

ፍቺ 17. አሉታዊ ያልሆኑ ሁኔታዎችን የሚያረካ የስርዓት የመፍትሄ ቦታ (xj ≥ 0, j =) አሉታዊ ያልሆነ, ወይም ተቀባይነት ያለው, መፍትሄዎች (ኤ.ዲ.ኤስ) ተብሎ ይጠራል.

የእኩልነት ስርዓቱ ወጥነት ያለው ከሆነ፣ OR እና ODR ፖሊሄድሮን፣ ያልተገደበ የ polyhedral ክልል ወይም አንድ ነጥብ ሊሆኑ ይችላሉ።

የእኩልነት ስርዓቱ የማይጣጣም ከሆነ OR እና ODR ባዶ ስብስብ ናቸው።

ምሳሌ 1. የእኩልነት ስርዓትን OR እና ODE ን ይፈልጉ እና የኦህዴድን የማዕዘን ነጥቦችን መጋጠሚያዎች ይወስኑ

መፍትሄ። የመጀመሪያውን አለመመጣጠን OR እንፈልግ፡ x1 + 3x2 ≥ 3. የድንበሩን መስመር x1 + 3x2 – 3 = 0 (ምስል 19.5) እንገንባ። የነጥቡን መጋጠሚያዎች (0,0) ወደ አለመመጣጠን እንተካ: 1∙0 + 3∙0> 3; የነጥቡ (0,0) መጋጠሚያዎች ስላላሟሉ, ለእኩልነት (19.1) መፍትሄው ነጥቡን (0,0) የማይይዝ ግማሽ-አውሮፕላን ነው.

በተመሳሳይ ሁኔታ ለቀሪዎቹ የስርዓቱ እኩልነት መፍትሄዎችን እናገኝ። የእኩልነት ስርዓት OR እና ODE መሆኑን አግኝተናል convex polyhedronኤ ቢ ሲ ዲ.

እናገኛለን የማዕዘን ነጥቦችፖሊሄድሮን. ነጥብ ሀን የመስመሮች መገናኛ ነጥብ ብለን እንገልፃለን።

ስርዓቱን መፍታት, A (3/7, 6/7) እናገኛለን.

ነጥብ B እንደ የመስመሮች መገናኛ ነጥብ ሆኖ እናገኛለን

ከስርዓቱ ውስጥ B (5/3, 10/3) እናገኛለን. በተመሳሳይ፣ የነጥቦች C እና D፡ C (11/4፣ 9/14)፣ መ (3/10፣ 21/10) መጋጠሚያዎችን እናገኛለን።

ምሳሌ 2. የእኩልነት ስርዓትን OR እና ODE ያግኙ

መፍትሄ። ቀጥታ መስመሮችን እንገንባ እና የእኩልነት መፍትሄዎችን እንወስን (19.5) - (19.7). OR እና ODR ያልተገደቡ የ polyhedral ክልሎች ACFM እና ABDEKM ናቸው (ምስል 19.6)።

ምሳሌ 3. የእኩልነት ስርዓትን OR እና ODE ያግኙ

መፍትሄ። ለእኩልነት መፍትሄ እንፈልግ (19.8)-(19.10) (ምስል 19.7)። OR ያልተገደበ የ polyhedral ክልል ABCን ይወክላል; ODR - ነጥብ B.

ምሳሌ 4. የእኩልነት ስርዓት OP እና ODP ያግኙ

መፍትሄ። ቀጥታ መስመሮችን በመገንባት ለስርዓቱ እኩልነት መፍትሄዎችን እናገኛለን. OR እና ODR ተኳሃኝ አይደሉም (ምስል 19.8)።

መልመጃዎች

የእኩልነት ስርዓቶችን OR እና ODE ያግኙ

ቲዎረም. xn® a ከሆነ፣ እንግዲህ።

ማረጋገጫ። ከ xn ® a የሚከተለው ነው። በተመሳሳይ ሰአት:

፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. . ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ቲዎረም. xn ® a ከሆነ፣ ቅደም ተከተል (xn) የታሰረ ነው።

የተገላቢጦሽ መግለጫው እውነት እንዳልሆነ ልብ ሊባል ይገባል, ማለትም. የአንድ ቅደም ተከተል ወሰን መገናኘቱን አያመለክትም.

ለምሳሌ, ቅደም ተከተል ምንም እንኳን ገደብ የለውም

ተግባራትን ወደ ኃይል ተከታታይ ማስፋፋት.

ውስጥ ተግባራትን ማስፋፋት የኃይል ተከታታይአለው ትልቅ ጠቀሜታለመፍትሄዎች የተለያዩ ተግባራትየተግባሮች ምርምር, ልዩነት, ውህደት, መፍትሄዎች ልዩነት እኩልታዎች፣ የገደቦች ስሌት ፣ የአንድ ተግባር ግምታዊ እሴቶች ስሌት።

በዚህ ትምህርት እንጀምራለን አዲስ ርዕስእና ለእኛ አዲስ ጽንሰ-ሐሳብ ያስተዋውቁ: "ፖሊጎን". ከፖሊጎኖች ጋር የተያያዙትን መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች እንመለከታለን: ጎኖች, የቬርቴክስ ማዕዘኖች, ሾጣጣ እና አለመጣጣም. ከዚያም እናረጋግጣለን በጣም አስፈላጊ እውነታዎችእንደ ፖሊጎን የውስጥ ማዕዘኖች ድምር ላይ ያለው ቲዎሬም፣ ድምር ቲዎረም ውጫዊ ማዕዘኖችባለብዙ ጎን በውጤቱም, የ polygons ልዩ ጉዳዮችን ለማጥናት እንቀርባለን, ይህም ተጨማሪ ትምህርቶችን ይመለከታል.

ርዕስ፡ አራት ማዕዘን

ትምህርት: ፖሊጎኖች

በጂኦሜትሪ ኮርስ ውስጥ የጂኦሜትሪክ ምስሎችን ባህሪያት እናጠናለን እና ቀደም ሲል በጣም ቀላሉን መርምረናል-ትሪያንግል እና ክበቦች. በተመሳሳይ ጊዜ ስለእነዚህ አሃዞች እንደ አራት ማዕዘን ፣ ኢሶሴልስ እና የመሳሰሉት ልዩ ልዩ ጉዳዮችን ተወያይተናል ። መደበኛ ትሪያንግሎች. አሁን ስለ አጠቃላይ እና የበለጠ ለመነጋገር ጊዜው አሁን ነው። ውስብስብ አሃዞች - ፖሊጎኖች.

ከልዩ ጉዳይ ጋር ፖሊጎኖችእኛ ቀድሞውኑ እናውቃለን - ይህ ሶስት ማዕዘን ነው (ምስል 1 ይመልከቱ)።

ሩዝ. 1. ትሪያንግል

ስሙ ራሱ ቀድሞውኑ አፅንዖት ይሰጣል, ይህ ሶስት ማዕዘኖች ያሉት ምስል ነው. ስለዚህ ፣ በ ባለብዙ ጎንብዙዎቹ ሊኖሩ ይችላሉ, ማለትም. ከሶስት በላይ. ለምሳሌ, ፔንታጎን እንሳል (ምሥል 2 ይመልከቱ), ማለትም. አምስት ማዕዘኖች ያሉት ምስል.

ሩዝ. 2. ፔንታጎን. ኮንቬክስ ፖሊጎን

ፍቺፖሊጎን- በርካታ ነጥቦችን (ከሁለት በላይ) እና በቅደም ተከተል የሚያገናኙ ተጓዳኝ ክፍሎችን የያዘ ምስል። እነዚህ ነጥቦች ይባላሉ ጫፎችፖሊጎን, እና ክፍሎቹ ናቸው ፓርቲዎች. በዚህ ሁኔታ, ሁለት ተጓዳኝ ጎኖች በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ አይተኛም እና ሁለት ተያያዥ ያልሆኑ ጎኖች አይገናኙም.

ፍቺመደበኛ ፖሊጎንሁሉም ጎኖች እና ማዕዘኖች እኩል የሆኑበት ሾጣጣ ፖሊጎን ነው።

ማንኛውም ባለብዙ ጎንአውሮፕላኑን በሁለት ክፍሎች ይከፍላል: ውስጣዊ እና ውጫዊ. የውስጣዊው አካባቢም እንዲሁ ይባላል ባለብዙ ጎን.

በሌላ አነጋገር፣ ለምሳሌ፣ ስለ ፔንታጎን ሲናገሩ፣ ሁለቱንም የውስጥ ክልሉን እና ድንበሩን ማለታቸው ነው። እና ውስጣዊው ክልል በፖሊጎን ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ነጥቦች ያካትታል, ማለትም. ነጥቡም የፔንታጎንን ያመለክታል (ምሥል 2 ይመልከቱ).

የታሰበውን ለማጉላት ፖሊጎኖች አንዳንድ ጊዜ n-gons ይባላሉ አጠቃላይ ጉዳይአንዳንድ የማይታወቁ የማዕዘን ብዛት (n ቁርጥራጮች) መኖር።

ፍቺ ፖሊጎን ፔሪሜትር- የፖሊጎን ጎኖች ርዝመት ድምር።

አሁን ከ polygons ዓይነቶች ጋር መተዋወቅ አለብን። እነሱ የተከፋፈሉ ናቸው ኮንቬክስእና ግልጽ ያልሆነ. ለምሳሌ, በምስል ላይ የሚታየው ፖሊጎን. 2 convex ነው፣ እና በስእል። 3 ያልተወሳሰበ።

ሩዝ. 3. ኮንቬክስ ያልሆነ ፖሊጎን

ፍቺ 1. ፖሊጎንተብሎ ይጠራል ኮንቬክስ, በየትኛውም ጎኖቹ በኩል ቀጥ ያለ መስመር ሲሳል, ሙሉውን ባለብዙ ጎንበዚህ ቀጥተኛ መስመር አንድ ጎን ብቻ ይተኛል. ግልጽ ያልሆነሁሉም ሌሎች ናቸው ፖሊጎኖች.

በስእል ውስጥ የትኛውንም የፔንታጎን ጎን ሲዘረጋ መገመት ቀላል ነው. 2 ሁሉም በዚህ ቀጥተኛ መስመር በአንድ በኩል ይሆናል, ማለትም. ኮንቬክስ ነው። ነገር ግን በአራት ማዕዘን በኩል ቀጥ ያለ መስመር ሲሳል በስእል. 3 ቀድሞውንም በሁለት ክፍሎች እንደሚከፍለው አይተናል፣ ማለትም. ኮንቬክስ አይደለም.

ነገር ግን የፖሊጎን መወዛወዝ ሌላ ትርጉም አለ.

ፍቺ 2. ፖሊጎንተብሎ ይጠራል ኮንቬክስ, ማናቸውንም ሁለት የውስጥ ነጥቦቹን ሲመርጡ እና ከክፍል ጋር ሲያገናኙ, ሁሉም የክፍሉ ነጥቦች የፖሊጎን ውስጣዊ ነጥቦች ናቸው.

የዚህን ፍቺ አጠቃቀም ማሳያ በምስል ውስጥ ክፍሎችን በመገንባት ምሳሌ ላይ ማየት ይቻላል. 2 እና 3.

ፍቺ ሰያፍየፖሊጎን ሁለት ተያያዥ ያልሆኑ ጫፎችን የሚያገናኝ ማንኛውም ክፍል ነው።

የ polygons ባህሪያትን ለመግለጽ, ሁለት ናቸው በጣም አስፈላጊ ጽንሰ-ሐሳቦችስለ ማዕዘኖቻቸው፡- በኮንቬክስ ፖሊጎን ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር ላይ ቲዎረምእና በኮንቬክስ ፖሊጎን ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር ላይ ቲዎረም. እስቲ እንያቸው።

ቲዎረም. በኮንቬክስ ፖሊጎን የውስጥ ማዕዘኖች ድምር ላይ (n-ጎን)።

የእሱ ማዕዘኖች (ጎኖች) ቁጥር ​​የት አለ?

ማረጋገጫ 1. በስእል ውስጥ እናሳይ. 4 convex n-gon.

ሩዝ. 4. ኮንቬክስ n-ጎን

ከጫፍ ጫፍ ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ዲያግራኖችን እናስባለን. n-gonን ወደ ትሪያንግል ይከፋፍሏቸዋል, ምክንያቱም እያንዳንዱ የፖሊጎን ጎኖች ከጫፉ አጠገብ ካሉት ጎኖች በስተቀር ትሪያንግል ይመሰርታሉ። የእነዚህ ሁሉ ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር ከ n-gon ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር ጋር በትክክል እኩል እንደሚሆን ከሥዕሉ ላይ ማየት ቀላል ነው። የማንኛውም ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር ስለሆነ የ n-gon ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር የሚከተለው ነው፡-

ጥ.ኢ.ዲ.

ማረጋገጫ 2. የዚህ ጽንሰ-ሐሳብ ሌላ ማረጋገጫ ይቻላል. በስእል ውስጥ ተመሳሳይ n-gon እንሳል. 5 እና ማንኛውንም የውስጥ ነጥቦቹን ከሁሉም ጫፎች ጋር ያገናኙ።

ሩዝ. 5.

የ n-gon ክፍልፍል ወደ n ትሪያንግል አግኝተናል (ትሪያንግሎች እንዳሉ ያህል ብዙ ጎኖች)። የሁሉም ማዕዘኖቻቸው ድምር ከፖሊጎን ውስጠኛ ማዕዘኖች ድምር እና በ ላይ ካሉት ማዕዘኖች ድምር ጋር እኩል ነው። ውስጣዊ ነጥብ, እና ይህ አንግል ነው. እና አለነ:

ጥ.ኢ.ዲ.

የተረጋገጠ።

በተረጋገጠው ቲዎሪ መሠረት የ n-gon ማዕዘኖች ድምር በጎኖቹ ቁጥር (በ n) ላይ እንደሚወሰን ግልጽ ነው. ለምሳሌ, በሶስት ማዕዘን ውስጥ, እና የማዕዘኖቹ ድምር ነው. በአራት ማዕዘን, እና የማዕዘን ድምር, ወዘተ.

ቲዎረም. በኮንቬክስ ፖሊጎን ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር ላይ (n-ጎን)።

የማዕዘኖቹ (ጎኖቹ) ቁጥር ​​የት አለ፣ እና፣ …፣ ውጫዊ ማዕዘኖች ናቸው።

ማረጋገጫ። በስእል ውስጥ ኮንቬክስ n-ጎን እናሳይ። 6 እና ውስጣዊ እና ውጫዊ ማዕዘኖቹን ይሰይሙ.

ሩዝ. 6. ኮንቬክስ n-ጎን ከተሰየሙ ውጫዊ ማዕዘኖች ጋር

ምክንያቱም የውጪው ጥግ ከውስጣዊው ጋር ተያይዟል እንደ አጎራባች, ከዚያም እና በተመሳሳይ መልኩ ለቀሪዎቹ ውጫዊ ማዕዘኖች. ከዚያም፡-

በለውጦቹ ወቅት፣ ስለ አንድ n-ጎን የውስጥ ማዕዘናት ድምር ቀድሞ የተረጋገጠውን ቲዎሬም ተጠቀምን።

የተረጋገጠ።

ከተረጋገጠው ቲዎሪ ውስጥ ይከተላል አስደሳች እውነታ, የኮንቬክስ n-ጎን ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር እኩል ነው በእሱ ማዕዘኖች (ጎኖች) ቁጥር ​​ላይ. በነገራችን ላይ ከውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር በተቃራኒ.

መጽሃፍ ቅዱስ

1. አሌክሳንድሮቭ ኤ.ዲ. እና ሌሎች ጂኦሜትሪ, 8 ኛ ክፍል. - ኤም.: ትምህርት, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. ጂኦሜትሪ ፣ 8 ኛ ክፍል። - ኤም.: ትምህርት, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. ጂኦሜትሪ ፣ 8 ኛ ክፍል። - ኤም.: ቬንታና-ግራፍ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ()
2. Narod.ru ()
3. Xvatit.com ()

የቤት ስራ

ፖሊጎን ጽንሰ-ሀሳብ

ፍቺ 1

ፖሊጎንተብሎ ይጠራል የጂኦሜትሪክ ምስልበጥንድ የተገናኙ ክፍሎችን ባካተተ አውሮፕላን ውስጥ፣ አጠገቡ ያሉት በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ አይዋሹም።

በዚህ ሁኔታ, ክፍሎቹ ተጠርተዋል የፖሊጎን ጎኖችእና መጨረሻቸው - የባለብዙ ጎን ጫፎች.

ፍቺ 2

$n$ -ጎን $n$ ጫፎች ያለው ባለ ብዙ ጎን ነው።

የ polygons ዓይነቶች

ፍቺ 3

ፖሊጎን ሁል ጊዜ በጎኖቹ ውስጥ በሚያልፉበት በማንኛውም መስመር ላይ በተመሳሳይ ጎን የሚተኛ ከሆነ ፖሊጎን ይባላል ኮንቬክስ(ምስል 1).

ምስል 1. ኮንቬክስ ፖሊጎን

ፍቺ 4

ፖሊጎን አብሮ ከተኛ የተለያዩ ጎኖችቢያንስ አንድ ቀጥተኛ መስመር በጎኖቹ በኩል ያልፋል, ከዚያም ፖሊጎን ኮንቬክስ ያልሆነ (ምስል 2) ይባላል.

ምስል 2. ኮንቬክስ ያልሆነ ፖሊጎን

የአንድ ፖሊጎን ማዕዘኖች ድምር

በሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር ላይ ቲዎሪ እናስተዋውቅ።

ቲዎሪ 1

የማዕዘን ድምር ኮንቬክስ-ጎንእንደሚከተለው ይገለጻል።

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ማረጋገጫ።

ኮንቬክስ ፖሊጎን $A_1A_2A_3A_4A_5\ ነጥቦች A_n$ ይሰጠን። የሱን ጫፍ $A_1$ ከሌሎች ጫፎች ጋር እናገናኘው። ፖሊጎን ተሰጥቷል(ምስል 3).

ምስል 3.

በዚህ ግንኙነት $n-2$ ትሪያንግሎች እናገኛለን። ማዕዘኖቻቸውን በማጠቃለል የአንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር እናገኛለን። የሶስት ማዕዘኑ ድምር ከ$(180)^0 ጋር እኩል ስለሆነ፣የኮንቬክስ ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር በቀመር እንደሚወሰን እናገኛለን።

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

የአራት ማዕዘን ጽንሰ-ሐሳብ

የ$2$ ፍቺን በመጠቀም የኳድሪተራል ፍቺን ማስተዋወቅ ቀላል ነው።

ፍቺ 5

ባለአራት ጎን ባለ ፖሊጎን ነው $4$ ጫፎች (ምስል 4)።

ምስል 4. አራት ማዕዘን

ለአራት ማዕዘን, ጽንሰ-ሐሳቦች ኮንቬክስ አራት ማዕዘንእና ኮንቬክስ ያልሆነ አራት ማዕዘን. ክላሲክ ምሳሌዎችኮንቬክስ አራት ማዕዘኖች አራት ማዕዘን, አራት ማዕዘን, ትራፔዞይድ, ራምቡስ, ትይዩግራም (ምስል 5) ናቸው.

ምስል 5. Convex quadrilaterals

ቲዎሪ 2

የአንድ ኮንቬክስ አራት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር $(360)^0$ ነው።

ማረጋገጫ።

በ Theorem $1$፣ የኮንቬክስ -ጎን ማዕዘኖች ድምር በቀመር እንደሚወሰን እናውቃለን።

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ስለዚህ, የአንድ ኮንቬክስ አራት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር እኩል ነው

\[\ግራ(4-2\ቀኝ)\cdot (180)^0=(360)^0\]

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ፖሊጎን ጽንሰ-ሀሳብ

ፍቺ 1

ፖሊጎንበአውሮፕላኑ ውስጥ የጂኦሜትሪክ ምስል ነው ፣ እሱም በጥንድ የተገናኙ ክፍሎችን ያቀፈ ፣ በአጠገቡ ያሉት በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ አይዋሹም።

በዚህ ሁኔታ, ክፍሎቹ ተጠርተዋል የፖሊጎን ጎኖችእና መጨረሻቸው - የባለብዙ ጎን ጫፎች.

ፍቺ 2

$n$ -ጎን $n$ ጫፎች ያለው ባለ ብዙ ጎን ነው።

የ polygons ዓይነቶች

ፍቺ 3

ፖሊጎን ሁል ጊዜ በጎኖቹ ውስጥ በሚያልፉበት በማንኛውም መስመር ላይ በተመሳሳይ ጎን የሚተኛ ከሆነ ፖሊጎን ይባላል ኮንቬክስ(ምስል 1).

ምስል 1. ኮንቬክስ ፖሊጎን

ፍቺ 4

አንድ ፖሊጎን በጎኖቹ በኩል በሚያልፉበት ቢያንስ አንድ ቀጥተኛ መስመር በተቃራኒ ጎኖች ላይ ቢተኛ ፣ ፖሊጎን ያልሆነ ኮንቬክስ (ምስል 2) ይባላል።

ምስል 2. ኮንቬክስ ያልሆነ ፖሊጎን

የአንድ ፖሊጎን ማዕዘኖች ድምር

በሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር ላይ ቲዎሪ እናስተዋውቅ።

ቲዎሪ 1

የኮንቬክስ ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር እንደሚከተለው ይወሰናል

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ማረጋገጫ።

ኮንቬክስ ፖሊጎን $A_1A_2A_3A_4A_5\ ነጥቦች A_n$ ይሰጠን። የሱን ጫፍ $A_1$ ከሁሉም የዚህ ፖሊጎን ጫፎች ጋር እናገናኘው (ምሥል 3)።

ምስል 3.

በዚህ ግንኙነት $n-2$ ትሪያንግሎች እናገኛለን። ማዕዘኖቻቸውን በማጠቃለል የአንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር እናገኛለን። የሶስት ማዕዘኑ ድምር ከ$(180)^0 ጋር እኩል ስለሆነ፣የኮንቬክስ ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር በቀመር እንደሚወሰን እናገኛለን።

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

የአራት ማዕዘን ጽንሰ-ሐሳብ

የ$2$ ፍቺን በመጠቀም የኳድሪተራል ፍቺን ማስተዋወቅ ቀላል ነው።

ፍቺ 5

ባለአራት ጎን ባለ ፖሊጎን ነው $4$ ጫፎች (ምስል 4)።

ምስል 4. አራት ማዕዘን

ለአራት ማዕዘን, የኮንቬክስ ኳድሪተራል እና የማይታጠፍ አራት ማዕዘን ጽንሰ-ሐሳቦች በተመሳሳይ መልኩ ይገለፃሉ. የኮንቬክስ አራት ማዕዘን ቅርፆች ክላሲክ ምሳሌዎች ካሬ, አራት ማዕዘን, ትራፔዞይድ, ራምብስ, ትይዩ (ምስል 5) ናቸው.

ምስል 5. Convex quadrilaterals

ቲዎሪ 2

የአንድ ኮንቬክስ አራት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር $(360)^0$ ነው።

ማረጋገጫ።

በ Theorem $1$፣ የኮንቬክስ -ጎን ማዕዘኖች ድምር በቀመር እንደሚወሰን እናውቃለን።

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ስለዚህ, የአንድ ኮንቬክስ አራት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር እኩል ነው

\[\ግራ(4-2\ቀኝ)\cdot (180)^0=(360)^0\]

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

የአንድ ፖሊጎን ውሱንነት መወሰን.

የKirus–Back ስልተ ቀመር እንደ መስኮት የሚያገለግል ኮንቬክስ ፖሊጎን እንዳለ ይገምታል።

ነገር ግን, በተግባር, ፖሊጎን የመቁረጥ ተግባር ብዙ ጊዜ ይነሳል, እና ኮንቬክስ ስለመሆኑ ወይም ስለሌለው መረጃ መጀመሪያ ላይ አልተሰጠም. በዚህ ሁኔታ, የመቁረጥ ሂደቱን ከመጀመርዎ በፊት, የትኛው ፖሊጎን እንደተሰጠ - ኮንቬክስ ወይም እንዳልሆነ መወሰን ያስፈልጋል.

የአንድ ፖሊጎን ውሱንነት አንዳንድ ፍቺዎችን እንስጥ

ከሚከተሉት ሁኔታዎች ውስጥ አንዱ ከተሟላ ፖሊጎን እንደ ኮንቬክስ ይቆጠራል።

1) በኮንቬክስ ፖሊጎን ውስጥ ፣ ሁሉም ጫፎች ማንኛውንም ጠርዝ በተሸከሙት መስመር በአንዱ በኩል ይገኛሉ ። ውስጣዊ ጎንከተሰጠው ጠርዝ አንጻር ሲታይ);

2) ሁሉም ነገር ውስጣዊ ማዕዘኖችፖሊጎን ከ 180 o ያነሰ;

3) የፖሊጎን ጫፎች የሚያገናኙት ሁሉም ዲያግራኖች በዚህ ፖሊጎን ውስጥ ይተኛሉ ።

4) ሁሉም የፖሊጎን ማዕዘኖች በተመሳሳይ አቅጣጫ ይሻገራሉ (ምስል 3.3-1).

የመጨረሻውን የተዛባ መስፈርት የትንታኔ ውክልና ለማዘጋጀት፣ የቬክተር ምርቱን እንጠቀማለን።

የቬክተር ጥበብ ስራ ወ ሁለት ቬክተሮች ሀ እና ለ (ምስል 3.3-2 ሀ) እንደ፡-

A x፣a y፣a z እና b x፣by፣b z በቅደም ተከተል የፋክተር ቬክተር ዘንጎች X፣Y፣Z ላይ ያሉ ትንበያዎች ናቸው። ሀእና ለ,

- እኔ, ጄ, ክ- በመጋጠሚያው ዘንጎች X ፣ Y ፣ Z ላይ ያሉ ክፍሎች።

ሩዝ.3.3 ‑ 1

ሩዝ.3.3 ‑ 2

የአንድ ባለ ብዙ ጎን ባለ ሁለት ገጽታ ውክልና እንደ ውክልና ከወሰድን። አውሮፕላን አስተባባሪ XY ባለሶስት-ልኬት መጋጠሚያ ስርዓት X፣Y፣Z (ምስል 3.3-2 ለ)፣ ከዚያ የምስረታ አገላለጽ የቬክተር ምርትቬክተሮች ዩእና ቪ, የት ቬክተሮች ዩእና ቪየፖሊጎን ጥግ የሚሠሩ አጎራባች ጠርዞች ናቸው፣ እንደ ወሳኙ ሊጻፍ ይችላል፡

የመስቀለኛ ምርቱ ቬክተር ፋክተር ቬክተሮች በሚገኙበት አውሮፕላን ላይ ቀጥ ያለ ነው. የምርት ቬክተር አቅጣጫ የሚወሰነው በጂምሌት ደንብ ወይም በቀኝ-እጅ ጠመዝማዛ ደንብ ነው.

በስእል ውስጥ ለቀረበው ጉዳይ. 3.3-2 ለ), ቬክተር ወ, ከቬክተሮች የቬክተር ምርት ጋር የሚዛመድ ቪ, ዩ, እንደ መመሪያው ተመሳሳይ አቅጣጫ ይኖረዋል ዘንግ አስተባባሪዜድ.

በዚህ ጉዳይ ላይ የፋክተር ቬክተሮች ትንበያ ከዜሮ ጋር እኩል መሆኑን ከግምት ውስጥ በማስገባት የቬክተር ምርቱ እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል-

(3.3-1)

ክፍል ቬክተር ክሁልጊዜ አዎንታዊ, ስለዚህ የቬክተር ምልክት ወየቬክተር ምርት የሚወሰነው ከላይ በተጠቀሰው አገላለጽ ውስጥ ባለው ወሳኙ D ምልክት ብቻ ነው። በቬክተር ምርት ንብረት ላይ ተመስርተው የፋክተር ቬክተሮችን ሲቀይሩ ልብ ይበሉ ዩእና ቪየቬክተር ምልክት ወወደ ተቃራኒው ይለወጣል.

እንደ ቬክተር ከሆነ ይከተላል ቪእና ዩከአንድ ባለ ብዙ ጎን ጎን ሁለት ጠርዞችን አስቡ ፣ ከዚያ በቬክተር ምርቱ ውስጥ ያሉትን ቬክተሮች የመዘርዘር ቅደም ተከተል ከግምት ውስጥ ባለው የፖሊጎን ጥግ መሻገሪያ ወይም ይህንን አንግል በሚፈጥሩት ጠርዞች መሠረት ሊቀመጥ ይችላል። ይህ የፖሊጎን ውሱንነት ለመወሰን የሚከተለውን ህግ እንደ መስፈርት እንዲጠቀሙ ይፈቅድልዎታል፡

ለሁሉም የፖሊጎን ጥንድ ጫፎች የሚከተለው ሁኔታ ረክቷል

ለግል ማዕዘኖች የቬክተር ምርቶች ምልክቶች የማይጣጣሙ ከሆነ, ፖሊጎን ኮንቬክስ አይደለም.

የአንድ ፖሊጎን ጠርዞች በመጨረሻ ነጥቦቻቸው መጋጠሚያዎች መልክ የተገለጹ ስለሆኑ የቬክተር ምርቱን ምልክት ለመወሰን መወሰኛን መጠቀም የበለጠ አመቺ ነው.