Формулировка теоремы признака перпендикулярности плоскостей. Лекция по математике на тему "признак перпендикулярности двух плоскостей"

Данный урок поможет желающим получить представление о теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей». В начале него мы повторим определение двугранного и линейного угла. Затем рассмотрим, какие плоскости называются перпендикулярными, и докажем признак перпендикулярности двух плоскостей.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а - ребро).

Рис. 1

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница - l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла.

Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов.

Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ - угол между плоскостями α и β, если

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.

Рис. 2

На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ - это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными.

Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.

Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Доказать:

Рис. 3

Доказательство:

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.

Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.

Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD -линейный угол двугранного угла.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).

Доказать:

Рис. 4

Доказательство:

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.

Ðассматривается отношение перпендикулярности плоскостей - одно из важнейших и наиболее используемых в геометрии пространства и ее приложениях.

Из всего разнообразия взаимного расположения

Двух плоскостей особого внимания и изучения заслуживает то, при котором плоскости перпендикулярны друг другу (например, плоскости смежных стен комнаты,

забора и участка земли, двери и пола и т. п. (рис. 417, а–в).

Приведенные примеры позволяют увидеть одно из основных свойств отношения, которое мы будем изучать, - симметричность расположения каждой из плоскостей относительно другой. Симметрия обеспечивается тем, что плоскости вроде бы «сотканы» из перпендикуляров. Попробуем уточнить эти наблюдения.

Пусть имеем плоскость α и прямую с на ней (рис. 418, а). Проведем через каждую точку прямой с прямые, перпендикулярные плоскости α. Все эти прямые параллельны между собой (почему?) и составляют, на основании задачи 1 § 8, некоторую плоскость β (рис. 418, б). Естественно назвать плоскость β перпендикуляр­ ной плоскости α.

В свою очередь, все прямые, лежащие в плоскости α и перпен- дикулярные прямой с , образуют плоскость α и перпендикулярны плоскости β (рис. 418, в). Действительно, если а - произвольная такая прямая, то она пересекает прямую с в некоторой точке М . Через точку М проходит в плоскости β перпендикулярная α пря- мая b , поэтому b а . Следовательно, а с, а b , поэтому а β. Таким образом, плоскость α перпендикулярна плоскости β, а пря- мая с является линией их пересечения.

Две плоскости называются перпендикулярными, если каждая из них образована прямыми, перпенди­ кулярными второй плоскости и проходящими через точки пересечения этих плоскостей.

Перпендикулярностьплоскостейαиβобоз- начается привычным уже знаком: α β.

Одну из иллюстраций этого определения можно представить, если рассмотреть фраг- мент комнаты дачного домика (рис. 419). В нем пол и стена сложены из досок, перпен- дикулярных соотвественно стене и полу. По- этому они перпендикулярны. На практике

это означает, что пол горизонтален, а стена вертикальна.

Приведенное определение трудно использовать при фактичес- кой проверке перпендикулярности плоскостей. Но если внима- тельно проанализировать рассуждения, которые привели к этому определению, то видим, что перпендикулярность плоскостей α и β обеспечило наличие в плоскости β прямой b , перпендикулярной плоскости α (рис. 418, в). Мы пришли к признаку перпендику- лярности двух плоскостей, который чаще всего применяется на практике.

406 Перпендикулярность прямых и плоскостей

Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей).

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную второй плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

 Пусть плоскость β проходит через прямую b , перпендику- лярную плоскости α и с - линия пересечения плоскостей α и β (рис. 420, а). Все прямые плоскости β, параллельные прямой b и пересекающие прямую с , вместе с прямой b образуют плоскость β. По теореме о двух параллельных прямых, одна из которых пер- пендикулярна плоскости (теорема 1 § 19), все они вместе с прямой b перпендикулярны плоскости α. То есть плоскость β состоит из прямых, проходящих через линию пересечения плоскостей α и β и перпендикулярных плоскости α (рис. 420, б).

Теперь в плоскости α через точку А пересечения прямых b и с проведем прямую а , перпендикулярную прямой с (рис. 420, в). Прямая а перпендикулярна плоскости β, по признаку перпен- дикулярности прямой и плоскости (а с , по построению, а b , так как b α). Повторив предыдущие рассуждения, получим, что плоскость α состоит из прямых, перпендикулярных плоскости β, проходящих через линию пересечения плоскостей. Согласно оп- ределению, плоскости α и β перпендикулярны. ■

Приведенный признак дает возможность устанавливать пер- пендикулярность плоскостей или же обеспечивать ее.

П р и м е р 1 . Прикрепить щит к столбу так, чтобы он был распо- ложен вертикально.

 Если столб стоит вертикально, то достаточно приложить произвольно щит к столбу и закрепить его (рис. 421, а). Согласно рассмотренному выше признаку, плоскость щита будет перпенди- кулярна поверхности земли. В этом случае задача имеет беско- нечное множество решений.

Перпендикулярность плоскостей

Если же столб стоит наклонно к земле, то достаточно к столбу прикрепить вертикальную рейку (рис. 421, б), а затем щит при- крепить и к рейке, и к столбу. В этом случае положение щита бу- дет вполне определённым, поскольку столб и рейка определяют единственную плоскость. ■

В предыдущем примере «техническое» задание свелось к мате- матической задаче о проведении через данную прямую плоскос- ти, перпендикулярной другой плоскости.

П р и м е р 2 . Из вершины A квадрата ABCD проведен перпен- дикулярный его плоскости отрезок AK, AB = AK = а.

1) Определить взаимное расположение плоскостей AKC и ABD ,

AKD и ABK.

2) Построить плоскость, проходящую через прямую BD перпенди- кулярно плоскости ABC.

3) Провести через середину F отрезка KC плоскость, перпендику- лярную плоскости KAC .

4) Найти площадь треугольника BDF.

 Построим рисунок, соответствующий условию примера (рис. 422).

1) Плоскости AKC и ABD перпендикуляр- ны, по признаку перпендикулярности плос- костей (теорема 1): AK ABD , по условию. Плоскости AKD и ABK также перпендику-

лярны, по признаку перпендикулярности плоскостей (теорема 1). Действительно, прямая AB , через кото- рую проходит плоскость ABK , перпендикулярна плоскости AKD , по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18): AВ AD , как смежные стороны квадрата; AВ AK , так как

AK ABD.

2) По признаку перпендикулярности плоскостей, для искомого построениядостаточночерезнекоторуюточкупрямойBD провести

408 Перпендикулярность прямых и плоскостей

прямую, перпендикулярную плоскости ABC. А для этого достаточ- но через эту точку провести прямую, параллельную прямой AK.

Действительно, по условию, прямая AK перпендикулярна плос- кости ABC и потому, согласно теореме о двух параллельных пря-

мых,однаизкоторыхперпендикулярнаплоскости(теорема1§19),

построенная прямая будет перпендикулярна плоскости ABC.

Построение.

Через точку

B проводим

ВЕ,

параллельную

(рис. 423). Плоскость BDE - искомая.

3) Пусть F - середина отрезка KC. Про-

ведем через точку

перпендику-

плоскости

Этой прямой бу-

дет прямая

FO , где

О - центр квадрата

ABCD (рис. 424). Действительно, FO || AK ,

как средняя

линия треугольника

Поскольку

перпендикуляр-

на плоскости

прямая FO

бу-

дет ей перпендикулярна, по теореме о

двух параллельных прямых, одна из кото-

рых перпендикулярна плоскости (теорема 1

§ 19). Поэтому

FO DB. А поскольку AC DB, то DB AOF (или

KAC). Плоскость

BDF проходит через прямую, перпендикуляр-

ную плоскости KAC, то есть она является искомой.

4) В треугольнике

BDF отрезок FO

Высота, проведенная к

стороне BD (см. рис. 424). Имеем: BD =

2 a , как диагональ квад-

рата; FO = 1

AK =

1 a , по свойству средней линии треугольника.

Таким образом, S = 2 BD FO =

2 2 a

2 a =

. ■

Ответ: 4)

a 2 .

Исследование свойств отношения перпендикуляр-

ности плоскостей и его применений начнем с прос-

той, но очень полезной теоремы.

Теорема 2 (о перпендикуляре к линии пересечения перпенди- кулярных плоскостей).

Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, принадлежащая одной плоскости и перпендикулярная линии пересечения этих плоскостей, перпендикулярна второй плоскости.

 Пусть перпендикулярные плоскости

α и β пересекаются по прямой с, а прямая b в плоскости β перпендикулярна прямой с и пересекает ее в точке В (рис. 425). По опре-

делению перпендикулярности плоскостей, в плоскости β через точку В проходит прямая

b 1 ,перпендикулярная плоскости α. Понятно, что она перпендикулярна прямой с . Но че-

рез точку прямой в плоскости можно провес- ти лишь одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Поэтому

прямые b и b 1 совпадают. А это означает, что прямая одной плоскос- ти, перпендикулярная линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна второй плоскости. ■

Применим рассмотренную теорему к обоснованию еще одного признака перпендикулярности плоскостей, важного с точки зре- ния последующего изучения взаимного расположения двух плос- костей.

Пустьплоскостиαиβперпендикулярны, прямая с - линия их пересечения. Через произвольную точку А прямой с проведем

в плоскостях α и β прямые а и b, перпен- дикулярные прямой с (рис. 426). По теоре-

ме 2, прямые а и b перпендикулярны соот- ветственно плоскостям β и α, поэтому они перпендикулярны между собой: а b . Пря-

мые а и b определяют некоторую плоскость γ. Линия пересечения с плоскостей α и β

перпендикулярна плоскости γ, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18): с а , с b , а γ, b γ. Если учесть произвольность выбора точки А на прямой с и тот факт, что через точку А прямой с проходит единственная плоскость, ей перпендикулярная, то можно сделать следующий вывод.

Теорема 3 (о плоскости, перпендикулярной линии пересече- ния перпендикулярных плоскостей).

Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей, пересекает эти плоскости по перпендикулярным прямым.

Таким образом, установлено еще одно свойство перпендику- лярных плоскостей. Это свойство является характеристическим, то есть если оно справедливо для некоторых двух плоскостей, то плоскости перпендикулярны между собой. Имеем еще один при- знак перпендикулярности плоскостей.

Теорема 4 (второй признак перпендикулярности плоскос- тей).

Если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной линии их пересечения, перпендикулярны, то данные плоскости тоже перпендикулярны.

 Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой с , и плоскость γ, перпендикулярная прямой с , пересекает плоскости α и β соот-

ветственно по прямым а и b (рис. 427). По условию, а b . Поскольку γ с , то а с. А поэтому прямая а перпендикулярна плос- кости β, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18). Отсю-

да вытекает, что плоскости α и β перпенди- кулярны, по признаку перпендикулярнос- ти плоскостей (теорема 1). ■

Заслуживают внимания и теоремы о связях перпендикуляр- ности двух плоскостей третьей плоскости с их взаимным распо- ложением.

Теорема 5 (о линии пересечения двух плоскостей, перпендику- лярных третьей плоскости).

Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то линия их пересечения перпендикулярна этой плоскости.

 Пусть плоскости α и β, перпендикулярные плоскости γ, пере- секаются по прямой а (a || γ), и А - точка пересечения прямой а с

Перпендикулярность плоскостей

плоскостью γ (рис. 428). Точка А принадле-

жит линиям пересечения плоскостей γ и α, γ

и β, а, по условию, α γ и β γ. Поэтому, по

определению перпендикулярности плоскос-

тей, через точку А можно провести прямые,

лежащие в плоскостях α

и β и перпендику-

лярные плоскости γ. Поскольку через точку

можно провести лишь одну прямую, пер-

пендикулярную плоскости, то построенные

прямые совпадают и совпадают с линией

пересечения плоскостей α и β. Таким образом, прямая а - линия

пересечения плоскостей α и β - перпендикулярна плоскости γ. ■

Рассмотрим теорему, описывающую связь между параллель- ностью и перпендикулярностью плоскостей. Соответствующий ре- зультат мы уже имели для прямых и плоскостей.

Теорема 6 (о параллельных плоскостях, перпендикулярных третьей плоскости).

Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна третьей, то и вторая плоскость перпендикулярна ей.

 Пусть плоскости α и β парал- лельны, а плоскость γ перпендикуляр- на плоскости α. Поскольку плоскость γ

пересекает плоскость α, то она должна пересекать и параллельную ей плос- кость β. Возьмем в плоскости α про-

извольную прямую m , перпендику- лярную плоскости γ, и проведем через нее, а также через произвольную точ- ку плоскости β, плоскость δ (рис. 429).

Плоскости δ и β пересекаются по прямой п, а поскольку α ║ β, то т ║ п (теорема 2 §18). Из теоремы 1 вытекает, что п γ, а потому перпендикулярной плоскости γ будет и плоскость β, проходящая через прямую п. ■

Доказанная теорема дает еще один признак перпендикуляр- ности плоскостей.

Через заданную точку провести плоскость, перпендикулярную данной, можно с помощью признака перпендикулярности плоскос- тей (теорема 1). Достаточно через эту точку провести прямую, пер- пендикулярную данной плоскости (см. задачу 1 § 19). А затем через построеннуюпрямуюпровестиплоскость.Онабудетперпендикуляр- ной данной плоскости по указанному признаку. Понятно, что таких плоскостей можно провести бесконечное множество.

Более содержательной является задача о построении плоскос- ти, перпендикулярной данной, при условии, что она проходит че- рез данную прямую. Понятно, что если данная прямая перпенди- кулярна данной плоскости, то таких плоскостей можно построить бесконечное множество. Осталось рассмотреть случай, когда дан- ная прямая не перпендикулярна данной плоскости. Возможность такого построения обоснована на уровне физических моделей прямых и плоскостей в примере 1.

З а д а ч а 1 . Доказать, что через произвольную прямую, не пер- пендикулярную плоскости, можно провести плоскость, перпенди- кулярную данной плоскости.

 Пусть даны плоскость α и прямая l , l B\ a. Возьмём на прямой l произвольную точку М и проведем через нее прямую т, перпен- дикулярную плоскости α (рис. 430, а). Поскольку, по условию, l не перпендикулярна α, то прямые l и т пересекаются. Через эти прямые можно провести плоскость β (рис. 430, б), которая, соглас- но признаку перпендикулярности плоскостей (теорема 1), будет перпендикулярной плоскости α. ■

П р и м е р 3 . Через вершину А правильной пирамиды SABC с основанием ABC провести прямую, перпендикулярную плоскости боковой грани SBC.

 Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о пер- пендикуляре к линии пересечения перпендикулярных плоскостей

(теорема 2). Пусть K - середина ребра BC (рис. 431). Плоскости AKS и BCS перпенди- кулярны, по признаку перпендикулярнос- ти плоскостей (теорема 1). Действительно, ВС SK и ВС АK , как медианы, проведен- ные к основаниям в равнобедренных тре­ угольниках. Поэтому, по признаку перпенди- кулярности прямой и плоскости (теорема 1 §18), прямая ВС перпендикулярна плоскости AKS. Плоскость BCS проходит через прямую, перпендикулярную плоскости AKS.

Построение. Проведем в плоскости AKS из точки A прямую AL , перпендикулярную прямой KS - линии пересечения плоскостей AKS и BCS (рис. 432). По теореме о перпен- дикуляре к линии пересечения перпендику- лярных плоскостей (теорема 2), прямая AL перпендикулярна плоскости BCS. ■

Контрольные вопросы

На рис. 433 изображен квадрат ABCD ,

прямая MD перпендикулярна плоскости

ABCD. Какие из пар плоскостей не явля-

ются перпендикулярными:

MAD и MDC;

МВС и МАВ;

ABC и MDC;

MAD и МАВ ?

2. На рис. 434 изображена правиль - ная четырехугольная пирамида

SABCD, точки P, M, N - середи -

ны рёбер AB, BC, BS, O - центр основания ABCD. Какие из пар плос - костей перпендикулярны:

1) ACS и BDS; 2) MOS и POS;

3) COS и MNP; 4) MNP и SOB;

5) CND и ABS?

Перпендикулярность прямых и плоскостей

3. На рис. 435

изображен прямоугольный

треугольник

с прямым углом C и

прямая BP , перпендикулярная плоскос-

ти ABC . Какие из следующих пар плос-

костей перпендикулярны:

1) CBP и ABC;

2) ABP и ABC;

3) PAC и PBC; 4) PAC и PAB?

4. Две плоскости перпендикулярны. Можно ли через произвольную точку одной из них провести прямую в этой плоскости, второй плоскости?

5. В плоскости α нельзя провести прямую, плоскости β. Могут ли эти плоскости быть ми?

6. Через некоторую точку плоскости α проходит щая в этой плоскости и перпендикулярная плоскости ли, что плоскости α и β перпендикулярны?

Секция забора прикреплена к вертикальному столбу ли утверждать, что плоскость забора вертикальна?

Как к рейке, параллельной поверхности земли, прикрепить вертикально щит?

Почему поверхность дверей, независимо от того, закрыты они или открыты, располагается вертикально к полу?

Почему отвес плотно прилегает к вертикальной стене, а к на- клонной - не обязательно?

Можно ли к наклонному столбу прикрепить щит так, чтобы он был перпендикулярен поверхности земли?

Как на практике установить, перпендикулярна ли плоскость

стены плоскости пола? перпендикулярнуюперпендикулярнуюперпендикулярны - прямая, лежа - β. Верно 7. . Можно 8.9.10.11.12.

Графические упражнения

1. На рис. 436 изображен куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

1) Укажите плоскости, перпендикулярные плоскости ВDD 1 .

2) Как расположены плоскости и

A1 B1 CAB 1 C 1

Перпендикулярность плоскостей

437 плоскости квадратов ABCD и

ABC1 D1

перпендикулярны. Расстояние

СC1

равно b . Найдите длину отрезка:

АВ;

D1 C;

D1 D;

C1 D.

дан-

Постройте рисунок по приведенным

1) Плоскости равносторонних треугольников

АВС и АВK перпендикулярны.

Плоскость АВС перпендикулярна плоскостям BDC и BEA.

Плоскости α и β перпендикулярны плоскости γ и пересе-

каются по прямой а, линиями их пересечения с плоскостью γ

являются прямые b и с.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плос-

кости АВ 1 С 1 и ВСА 1 перпендикулярны.

421. Отрезок OS проведен из центра О квадрата ABCD перпен- дикулярно его плоскости.

1°) Определите взаимное расположение плоскостей ACS

и АВС.

2°) Определите взаимное расположение плоскостей ACS

и BDS .

3) Постройте плоскость, проходящую через прямую OS пер- пендикулярно плоскости ABS.

4) Постройте плоскость, перпендикулярную плоскости АВС и проходящую через середины сторон AD и CD.

422. Из точки пересечения O диагоналей ромба ABCD проведен перпендикулярный плоскости ромба отрезок OS ; AB = DB =

1°) Определите взаимное расположение плоскостей SDB и

ABC, SDB и ACS.

2°) Постройте плоскость, проходящую через прямую BC пер- пендикулярно плоскости ABD.

3) Проведите через середину F отрезка CS плоскость, пер- пендикулярную плоскости АВС.

4) Найдите площадь треугольника BDF.

423. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 .

1°) Определите взаимное расположение плоскостей АВ 1 С 1

и CDD1 .

2°) Определите взаимное расположение плоскостей АВ 1 С 1

и CD1 A1 .

3°) Постройте плоскость, проходящую через точку А перпен- дикулярно плоскости BB 1 D 1 .

4) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через се- редины рёбер А 1 D 1 и B 1 C 1 перпендикулярно плоскости АВС. 5)ОпределитевзаимноерасположениеплоскостиАА 1 В иплос- кости, проходящей через середины рёбер А 1 В 1 , C 1 D 1 , CD.

6) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через ребро ВВ 1 и середину ребра A 1 D 1 (ВВ 1 = а ).

7) Постройте точку, симметричную точке А относительно плоскости A 1 B 1 C.

424. В правильном тетраэдре АBCD с ребром 2 см точка М - се- редина DВ , а точка N - середина АС.

1°) Докажите, что прямая DВ перпендикулярна плоскости

2°) Докажите, что плоскость ВDМ перпендикулярна плос- кости АМС.

3) Через точку О пересечения медиан треугольника АDС проведите прямую, перпендикулярную плоскости АМС.

4) Найдите длину отрезка этой прямой внутри тетраэдра. 5) В каком отношении плоскость АМС делит этот отрезок?

425. Два равносторонних треугольника АВС и ADC лежат в пер- пендикулярных плоскостях.

1°) Найдите длину отрезка BD, если AC = 1 см.

2) Докажите, что плоскость BKD (K лежит на прямой AC ) перпендикулярна плоскости каждого из треугольников тог- да и только тогда, когда K является серединой стороны AC.

426. Прямоугольник ABCD, стороны которого 3 см и 4 см, пере- гнули по диагонали AC так, что треугольники ABC и ADC расположились в перпендикулярных плоскостях. Опреде- лите расстояние между точками B и D после того, как пере- гнули прямоугольник ABCD.

427. Через данную точку проведите плоскость, перпендикуляр- ную каждой из двух данных плоскостей.

428°. Докажите, что плоскости смежных граней куба перпендику- лярны.

429. Плоскости α и β перпендикулярны между собой. Из точки А плоскости α проведена перпендикулярная плоскости β пря- мая АВ. Докажите, что прямая АВ лежит в плоскости α.

430. Докажите, что если плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны между собой.

431. Через точки А и В , лежащие на линии пересечения р пер- пендикулярных между собой плоскостей α и β, проведены перпендикулярные р прямые: АА 1 в α, ВВ 1 в β. Точка X ле- жит на прямой АА 1 , а точка Y - на ВB 1 . Докажите, что пря- мая ВB 1 перпендикулярна прямой ВХ , а прямая АA 1 пер- пендикулярна прямой АY.

432*. Через середину каждой стороны треугольника проведена плоскость, перпендикулярная этой стороне. Докажите, что все три проведенные плоскости пересекаются по одной пря- мой, перпендикулярной плоскости треугольника.

Упражнения для повторения

433. В равностороннем треугольнике со стороной b определите: 1) высоту; 2) радиусы вписанной и описанной окружностей.

434. Из одной точки проведен к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Определите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 см и 50 см, а их проекции на данную прямую относятся, как 3: 10.

435. Определите катеты прямоугольного треугольника, если бис - сектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 15 см и

Основное определение

Две плоскости называ-

ются перпендикуляр­ ными, если каждая из них образована прямы - ми, перпендикулярны - ми второй плоскости и проходящими через точки пересечения этих плоскостей.

Основные утверждения

Признак перпенди­

Если одна

кулярности

плоскостей

прохо-

плоскостей

дит через

перпендикулярную

второй плоскости, то

b α, b β α β

эти плоскости пер-

пендикулярны.

перпен-

две плоскости

дикуляре

перпендикулярны, то

пересеченияперпен­

прямая, принадлежа-

дикулярных

плос-

щая одной плоскости

и перпендикулярная

пересечения

этих плоскостей, пер-

α β, b β, c = α ∩β,

пендикулярна второй

b c b α

плоскости.

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, и не принадлежащими одной плоскости.

Определение. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера любого из его линейных углов.

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o .

Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Свойства.

  1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней представляют собой прямоугольники.
  2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда являются прямыми
  3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Задачи и тесты по теме "Тема 7. "Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей"."

  • Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс

    Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1

  • Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс

    Уроков: 2 Заданий: 10 Тестов: 1

  • Параллельность плоскостей - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс

    Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1

  • Перпендикулярные прямые - Начальные геометрические сведения 7 класс

    Уроков: 1 Заданий: 17 Тестов: 1

Материал темы обобщает и систематизирует известные Вам из планиметрии сведения о перпендикулярности прямых. Изучение теорем о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, а также материал о перпендикуляре и наклонных целесообразно сочетать с систематическим повторением соответствующего материала из планиметрии.

Решения практически всех задач на вычисление сводятся к применению теоремы Пифагора и следствий из нее. Во многих задачах возможность применения теоремы Пифагора или следствий из нее обосновывается теоремой о трех перпендикулярах или свойствами параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Лекция по теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей»

Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.

Рассмотрим две пересекающиеся плоскости. При пересечении они образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Вспомним, что из себя представляет двугранный угол.

В реальности мы встречаемся с предметами, которые имеют форму двугранного угла: например, приоткрытая дверь или полураскрытая папка.

При пересечении двух плоскостей альфа и бета получим четыре двугранных угла. Пусть один из двугранных углов равен (фи), тогда второй равен (180 0 –), третий, четвертый (180 0 -).

α и β, 0°< 90 °

Рассмотрим случай, когда один из двугранных углов равен 90 0 .

Тогда, все двугранные углы в этом случае равны по 90 0 .

двугранный угол между плоскостями α и β,

90º

Введем определение перпендикулярных плоскостей:

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

Угол между плоскостями сигма и эпсилон равен 90 градусов, значит плоскости перпендикулярны

Т.к. =90°

Приведем примеры перпендикулярных плоскостей.

Стена и потолок.

Боковая стенка и крышка стола.

Стена и потолок

Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей:

ТЕОРЕМА: Если одна их двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Докажем этот признак.

По условию известно что прямая АМ лежит в плоскости α, прямая АМ перпендикулярна плоскости β,

Доказать: плоскости α и β перпендикулярны.

Доказательство:

1) Плоскости α и β пересекаются по прямой АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.

2) Проведем в плоскости β прямую A Т перпендикулярную A Р.

Получим угол Т A М – линейный угол двугранного угла. Но угол Т A М = 90°, так как МА β. Значит, α β.

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АМ α, АМβ, АМ∩=А

Доказать: αβ.

Доказательство:

1) α ∩ β = АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.

2) АТβ, A Т A Р.

ТАМ– линейный угол двугранного угла. ТАМ = 90°, т.к. МА β. Значит, α β.

Что и требовалось доказать

Из признака перпендикулярности двух плоскостей имеем важное следствие:

СЛЕДСТВИЕ: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Докажем это следствие: если плоскость гамма перпендикулрна к прямой с то по признаку параллельностидвух плоскостей гамма перпендикулярна к альфа. Аналогично и гамма перпендикулярна бета

То есть: если α∩β=с и γс, то γα и γβ.

т.к. γс и сα из признака перпендикулярности γα.

Аналогично γ β

Указанное следствие переформулируем для двугранного угла:

Плоскость, проходящая через линейный угол двугранного угла перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла. Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то проходящая через него плоскость перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла.

Задача.

Дано: ΔАВС, С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC = 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см.

Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение:

1) Построим ВК α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость.

2) ВС АС (по условию), значит, по теореме о трех перпендикулярах (ТТП), КС АС. Следовательно, ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника АВС. То есть ВСК = 60°.

3) Из ΔВСА по теореме Пифагора:

Из ΔВКС:

Перпендикулярность плоскостей Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если линейный угол при ребре двугранного угла между этими плоскостями - прямой.
Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство. Пусть a и ? - две пересекающиеся плоскости, с - прямая их пересечения и а - прямая перпендикулярная плоскости ? и лежащая в плоскости a . А - точка пересечения прямых a и с. В плоскости ? из точки А восстановим перпендикуляр, и пусть это будет прямая b . Прямая а перпендикулярна плоскости ? , а значит она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, то есть прямые b и с перпендикулярны. Угол между прямыми а и Ь - линейный плоскостями a и ? и равен он 90°, так как прямая а перпендикулярна прямой b (подоказанному).Поопределениюплоскости a и ? перпендикулярны.

Теорема 1 . Еслииз точки,принадлежащейодной из двух перпендикулярных плоскостей,провести перпендикуляр к другой плоскости, то это перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
Доказательство. Пусть a и ? - перпендикулярные плоскости и с - прямая их пересечения, А - точка лежащаявплоскостиa и не принадлежащая прямой с. Пустьперпендикуляр к плоскости ? проведенный из точки А , не лежит в плоскости a , тогда точка С – основание этого перпендикуляра лежит в плоскости ? и не принадлежит прямой с. Из точки А опустим перпендикуляр АВ напрямую с. Прямая АВ перпендикулярна плоскости (использую теорему 2). Через прямую АВ и точку С проведем плоскость ? (прямая и точка определяют плоскость, причем только одну). Мы видим, что в плоскости ? из одной точки А на прямуюВС проведено два перпендикуляра, чего быть не может, значит прямая АС совпадает с прямой АВ, а прямая АВ в свою очередь полностью лежит в плоскости a .

Теорема 2 . Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
Доказательство. Пусть a и ? - две перпендикулярные плоскости, с - прямая их пересечения и а - прямая перпендикулярная прямой с и лежащая в плоскости a . А - точка пересечения прямых а и с. В плоскости ? из точки А восстановим перпендикуляр, и пусть это будет прямая b . Угол между прямыми а и b - линейный угол при ребре двугранного угла между плоскостями a и ? и равен он 90°, так как плоскости a и ? перпендикулярны. Прямая а перпендикулярна прямой b (по доказанному) и прямой с по условию. Значит прямая а перпендикулярна плоскости? (